...wd......wd......wd...《生活中的數學》校本課程目錄第一講：生活中的趣味數學第二講：數學中的悖論第三講：對稱——自然美的根基第四講：斐波那契數列第五講：龜背上的學問第六講：巧用數學看現實第七講：運用數學函數方程解決生活中的問題第八講：生活中的優化問題舉例第一講：生活中的趣味數學1．“蕩秋千〞問題：我國明朝數學家程大位〔1533～1606年〕寫過一本數學著作叫做《直指算法統宗》，其中有一道與蕩秋千有關的數學問題是用《西江月》詞牌寫的：平地秋千未起，踏板一尺離地；送行二步與人齊，五尺人高曾記；仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉；良工高士素好奇，算出索長有幾詞寫得很優美，翻譯成現代漢語大意是：有一架秋千，當它靜止時，踏板離地1尺，將它往前推送10尺〔每5尺為一步〕，秋千的踏板就和人一樣高，這個人的身高為5尺，如果這時秋千的繩索拉得很直，試問它有多長下面我們用勾股定理知識求出答案：如圖，設繩索AC=AD=x〔尺〕，則AB=〔x+1〕-5〔尺〕，BD=10〔尺〕在Rt△ABD中，由勾股定理得AB2+BD2=AD2，即〔x-4〕2+102=x2，解得x=14.5，即繩索長為14.5尺．2．方程的應用：小青去植物園春游，回來以后爸爸問他春游花掉多少人民幣。小青并不直接答復，卻淘氣地說：“我帶出去的人民幣正好花了一半，剩下的元數是帶出去角數的一半，剩下的角數與帶出去元數一樣。〞爸爸躊躇一下，有些為難。你能否幫助他把人民幣數算出來，小青到底帶了多少人民幣花了多少人民幣還剩多少人民幣方法一：設帶出去x元,y角.根據"剩下的元數是帶出去角數的一半"知道y是偶數花了的人民幣分x為奇數與偶數情況〔1〕x是奇數時候,花一半就是花了=剩下=(x-1)/2元,(y/2+5)角根據后面兩句話知道,剩下=y/2元,x角有二元一次方程組:(x-1)/2=y/2,y/2+5=x解得x=9,y=8〔2〕x是偶數時候,花一半就是花了=剩下=x/2元,(y/2+5)角剩下的同上面情況有二元一次方程組:x/2=y/2,y/2+5=x解得x=y=10但是沒有10角人民幣說法不符合實際〔舍〕∴答案是9元8角方法二：設帶出去X元Y角，還剩a元b角按照用掉一半還剩一半的等式：10a+b=(10x+y)/2又因為：a=y/2b=x帶入等式化簡即可得：x/y=9/8因為y只能是小于10的整數所以，小青帶了9元8角！用了4元9角，還剩4元9角！3．工資的選擇：假設你得到一份新的工作，老板讓你在下面兩種工資方案中進展選擇：〔A〕工資以年薪計，第一年為4000美元以后每年加800美元；〔B〕工資以半年薪計，第一個半年為2000美元，以后每半年增加200美元。你選擇哪一種方案為什么答案：第二種方案要比第一種方案好得多4．我們大家一起來試營一家有80間套房的旅館，看看知識若何轉化為財富。經調查得知，假設我們把每日租金定價為160元，則可客滿；而租金每漲20元，就會失去3位客人。每間住了人的客房每日所需服務、維修等項支出共計40元。問題：我們該若何定價才能賺最多的人民幣答案：日租金360元。雖然比客滿價高出200元，因此失去30位客人，但余下的50位客人還是能給我們帶來360*50=18000元的收入；扣除50間房的支出40*50=2000元，每日凈賺16000元。而客滿時凈利潤160*80-40*80=9600元。當然，所謂“經調查得知〞的行情實乃本人杜撰，據此入市，風險自擔。第二講數學中的悖論“悖論〞也可叫“逆論〞，或“反論〞，這個詞的意義對比豐富，它包括一切與人的直覺和日常經歷相矛盾的數學結論，那些結論會使我們驚異無比。悖論有三種主要形式。1．一種論斷看起來好似肯定錯了，但實際上卻是對的〔佯謬〕。2．一種論斷看起來好似肯定是對的，但實際上卻錯了〔似是而非的理論〕。3．一系列推理看起來好似無懈可擊，可是卻導致邏輯上自相矛盾。悖論有點像魔術中的變戲法，它使人們在看完之后，幾乎沒有—個不驚訝得馬上就想知道：“這套戲法是若何搞成的〞當把技巧告訴他時，他就會不知不覺地被引進深奧而有趣的數學世界之中。正因為如此，悖論就成了一種十分有價值的教學手段。悖論是屬于領域廣闊、定義嚴格的數學分支的一個組成局部，這一分支以“趣味數學〞知名于世。這就是說它帶有強烈的游戲色彩。然而，切莫以為大數學家都看不起“趣味數學〞問題。歐拉就是通過對bridge-crossing之謎的分析打下了拓撲學的根基。萊布尼茨也寫到過他在單獨玩插棍游戲〔一種在小方格中插小木條的游戲〕時分析問題的樂趣。希爾伯特證明了切割幾何圖形中的許多重要定理。馮·紐曼奠基了博弈論。最受群眾歡送的計算機游戲—生命是英國著名數學家康威創造的。愛因斯坦也收藏了整整一書架關于數學游戲和數學謎的書。悖論一覽

1．理發師悖論〔羅素悖論〕：某村只有一人理發，且該村的人都需要理發，理發師規定，給且只給村中不自己理發的人理發。試問：理發師給不給自己理發如果理發師給自己理發，則違背了自己的約定；如果理發師不給自己理發，那么按照他的規定，又應該給自己理發。這樣，理發師陷入了兩難的境地。2．芝諾悖論——阿基里斯與烏龜：公元前5世紀，芝諾用他的無窮、連續以及局部和的知識，引發出以下著名的悖論：他提出讓阿基里斯與烏龜之間舉行一場賽跑，并讓烏龜在阿基里斯前頭1000米開場。假定阿基里斯能夠跑得比烏龜快10倍。比賽開場，當阿基里斯跑了1000米時，烏龜仍前于他100米；當阿基里斯跑了下一個100米時，烏龜依然前于他10米……所以，阿基里斯永遠追不上烏龜。3．說謊者悖論：公元前6世紀，古希臘克里特島的哲學家伊壁門尼德斯有如此斷言：“所有克里特人所說的每一句話都是謊話。〞如果這句話是真的，那么也就是說，克里特人伊壁門尼德斯說了一句真話，但是卻與他的真話——所有克里特人所說的每一句話都是謊話——相悖；如果這句話不是真的，也就是說克里特人伊壁門尼德斯說了一句謊話，則真話應是：所有克里特人所說的每一句話都是真話，兩者又相悖。所以若何也難以自圓其說，這就是著名的說謊者悖論。公元前4世紀，希臘哲學家又提出了一個悖論：“我現在正在說的這句話是真的。〞同上，這又是難以自圓其說！4．跟無限相關的悖論：

{1，2，3，4，5，…}是自然數集：

{1，4，9，16，25，…}是自然數平方的數集。這兩個數集能夠很容易構成一一對應，那么，在每個集合中有一樣多的元素嗎

5．伽利略悖論：我們都知道整體大于局部。由線段BC上的點往頂點A連線，每一條線都會與線段DE(D點在AB上,E點在AC上)相交，因此可得DE與BC一樣長，與圖矛盾。為什么6．谷堆悖論：顯然，1粒谷子不是堆；如果1粒谷子不是堆，那么2粒谷子也不是堆；如果2粒谷子不是堆，那么3粒谷子也不是堆；……如果99999粒谷子不是堆，那么100000粒谷子也不是堆；7、“意外絞刑〞悖論：“一名囚犯被法官告知將于周一到周五間的某一天被絞死。法官并且聲明說：絞刑的具體日期將是完全出人意料的。這個囚犯非常聰明(也許以前是邏輯學教授)，他由此推斷出他基本不會被絞死，為什么他由此推斷出絞刑一定不會安排在周五，因為否則的話，前四天一過他就知道絞刑的具體日期了，但法官說過具體日期會是完全出人意料的。法官是不會撒謊的，因此絞刑不可能在周五。排除了周五，就只剩下四天了。但是依據同樣的推理，周四也可以被排除掉，...，以此類推，最終每一天都可以排除掉。于是他得出令人欣慰的結論：他基本不會被絞死。可是到了周二法官卻突然宣布執行絞刑，大大出乎了他的意料！而這，恰恰證明法官確實沒有撒謊。〞1、小丁和小明、小紅三個小朋友并排在有灰塵的樓梯上同時從頂上向下走。小明一步下2階，小紅一步下3階，小丁一步下4階，如果樓頂和樓底均有所有三個人的腳印，那么僅有一個人腳印的樓梯最少有幾級2、偶數的難題在很久以前，一個年邁的國王要為自己的獨生公主選女婿，一時應者如云。國王于是想出了比武招親的方法。經過文試、武試，三個英俊的小伙子成為最后的人選。要從這三個難分上下的小伙子中選出一個女婿來，可真難為了國王。他絞盡腦汁想出了一個方法。國王命人拿出一個4*4的方格，將16枚棋子依次放在16個方格中。國王對三個小伙子說：“現在你們從這１６枚棋子中隨便拿去６個，但要保證縱、橫行列中留下的都是偶數枚棋子。這三個小伙子犯難了，最后，其中一個小伙子終于解開了這道難題，迎娶了公主。請問這個小伙子是若何解開這道難題的第三講：對稱——自然美的根基在豐富多彩的物質世界中，對于各式各樣的物體的外形，我們經常可以碰到完美勻稱的例子。它們引起人們的注意，令人賞心悅目。每一朵花，每一只蝴蝶，每一枚貝殼都使人著迷；蜂房的建筑藝術，向日葵上種子的排列，以及植物莖上葉子的螺旋狀頒都令我們驚訝。仔細的觀察說明，對稱性蘊含在上述各種事例之中，它從最簡單到最復雜的表現形式，是大自然形式的根基?；ǘ渚哂行D對稱的性征?；ǘ淅@花心旋轉適當位置，每一花瓣會占據它相鄰花瓣原來的位置，花朵就自相重合。旋轉時到達自相重合的最小角稱為元角。不同的花這個角不一樣。例如梅花為72°，水仙花為60°?！皩ΨQ〞在生物學上指生物體在對應的部位上有一樣的構造，分兩側對稱〔如蝴蝶〕，輻射對稱〔放射蟲，太陽蟲等〕。我國最早記載了雪花是六角星形。其實，雪花形狀千奇百怪，但又萬變不離其宗〔六角星〕。既是中心對稱，又是軸對稱。很多植物是螺旋對稱的，即旋轉某一個角度后，沿軸平移可以和自己的初始位置重合。例如樹葉沿莖桿呈螺旋狀排列，向四面八方伸展，不致彼此遮擋為存在所必需的陽光。這種有趣的現象叫葉序。向日葵的花序或者松球鱗片的螺線形排列是葉序的另一種表現形式。“晶體閃爍對稱的光芒〞，這是俄國學者費多洛夫的名言。無怪乎在古典童話故事中，奇妙的寶石交織著溫馨的幻境，精巧絕倫，雍容華貴。在王冠上，以其熠熠榮耀向世人炫耀，保持永久不衰的魅力。第四講：斐波那契數列斐波那契數列在自然界中的出現是如此地頻繁，人們深信這不是偶然的。〔1〕細察以下各種花，它們的花瓣的數目具有斐波那契數：延齡草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金鳳花、耬斗菜、百合花、蝴蝶花?！?〕細察以下花的類似花瓣局部，它們也具有斐波那契數：紫宛、大波斯菊、雛菊。斐波那契數經常與花瓣的數目相結合：

3………百合和蝴蝶花5………藍花耬斗菜、金鳳花、飛燕草8………翠雀花13………金盞草21………紫宛34，55，84……………雛菊〔3〕斐波那契數還可以在植物的葉、枝、莖等排列中發現。例如，在樹木的枝干上選一片葉子，記其為數0，然后依序點數葉子〔假定沒有折損〕，直到到達與那息葉子正對的位置，則其間的葉子數多半是斐波那契數。葉子從一個位置到達下一個正對的位置稱為一個循回。葉子在一個循回中旋轉的圈數也是斐波那契數。在一個循回中葉子數與葉子旋轉圈數的比稱為葉序〔源自希臘詞，意即葉子的排列〕比。多數的葉序比呈現為斐波那契數的比?！?〕斐波那契數有時也稱松果數，因為連續的斐波那契數會出現在松果的左和右的兩種螺旋形走向的數目之中。這種情況在向日葵的種子盤中也會看到。此外，你能發現一些連續的魯卡斯數嗎〔5〕菠蘿是又一種可以檢驗斐波那契數的植物。對于菠蘿，我們可以去數一下它外表上六角形鱗片所形成的螺旋線數。斐波那契數列與黃金比值相繼的斐波那契數的比的數列：它們交織地或大于或小于黃金比的值。該數列的極限為。這種聯系暗示了無論〔尤其在自然現象中〕在哪里出現黃金比、黃金矩形或等角螺線，那里也就會出現斐波那契數，反之亦然。第五講：龜背上的學問傳說大禹治水時，在一次疏通河道中，挖出了一只大龜，人們很是驚訝，爭相觀看，只見龜背上清晰刻著圖1所示的一個數字方陣。這個方陣，按《孫子算經》中籌算記數的縱橫相間制：“凡算之法，先識其位。一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當。六不積算，五不單張。〞可譯成現代的數字，如圖2所示。方陣包括了九個數字，每一行一與列的數字和均為15，兩條對角線上的數也有一樣的性質。當時，人們以為是天神相助，治水有望了。后來，人們稱刻在龜背上的方陣為“幻方〞(國外稱為“拉丁方〞)，屬于組合數學范疇。使用整數1—9構成的3×3階“拉丁方〞唯一可能的和數是15，這一點只要把這“拉丁方〞中所有數加起來便可證明，1十2十3十4十5十6十7十8十9＝45，要把這幾個數分配到三行(或列)使得每行(或列)有同樣的和，那么，每行(或列)的和應為45／3＝150組合數學是數學中的一個分支，在實際生活中應用很廣泛，請看下面的例子。5名待業青年，有7項可供他們挑選的工作，他們是否能找到自己適宜的工作呢?由于每個人的文化水平、興趣愛好及性別等原因，每個人只能從七項工作中挑選某些工種，也就是說每個人都有一張志愿表，最后根據需求和志愿找到一個適宜的工作。組合數學把每一種分配方案叫一種安排。當然第一個問題是考慮安排的存在性，這就是存在問題；第二個問題是有多少種安排方法，這就是計數問題。接下去要考慮在眾多的安排中選擇一種最好的方案，這就是所謂的“最優化問題〞。存在問題、構造問題、計數問題和最優化問題就構成了全部組合數學的內容。如果你想了解更多的組合數學問題，那就要博覽有關書籍，你會得到許多非常有趣的知識，會給你許多的啟發和教益。第六講：巧用數學看現實在現實生活中，人們的生活越來越趨向于經濟化，合理化．但若何才能到達這樣的目的呢在數學活動組里，我就遇到了這樣一道實際生活中的問題：某報紙上報道了兩則廣告，甲商廈實行有獎銷售：特等獎10000元1名，一等獎1000元2名，二等獎100元10名，三等獎5元200名，乙商廈則實行九五折優惠銷售。請你想一想；哪一種銷售方式更吸引人哪一家商廈提供應銷費者的實惠大面對問題我們并不能一目了然。于是我們首先作了一個隨機調查。把全組的16名學員作為調查對象，其中8人愿意去甲家，6人喜歡去乙家，還有兩人則認為去兩家都可以。調查結果說明：甲商廈的銷售方式更吸引人，但事實是否如此呢在實際問題中，甲商厚每組設獎銷售的營業額和參加抽獎的人數都沒有限制。所以我們認為這個問題應該有幾種答案。一、苦甲商廈確定每組設獎，當參加人數較少時，少于213〔1十2＋10＋200=213人〕人，人們會認為獲獎機率較大，則甲商廈的銷售方式更吸引顧客。二、假設甲商廈的每組營業額較多時，它給顧客的優惠幅度就相應的小。因為甲商廈提供的優惠金額是固定的，共14000元〔10000＋2000＋1000＋1000=14000〕。假設兩商廈提供的優惠都是14000元，則可求乙商廈的營業額為280000元〔14000÷5％=280000〕。所以由此可得：〔l〕當兩商廈的營業額都為280000元時，兩家商廈所提供的優惠同樣多?！?〕當兩商廈的營業額都缺乏280000元時，乙商廈的優惠則小于14000元，所以這時甲商廈提供的優惠仍是14000元，優惠較大。〔3〕當兩家的營業額都超過280000元時，乙商廈的優惠則大于14000元，而甲商廈的優惠仍保持14000元時，乙商廈所提供的實惠大。像這樣的問題，我們在日常生活中隨處可見。例如，有兩家液化氣站，每瓶液化氣的質和量一樣，開場定的價也一樣。為了爭取更多的用戶，兩站分別推出優惠政策。甲站的方法是實行七五折錯售，乙站的方法是對客戶自第二次換氣以后以7折銷售。兩站的優惠期限都是一年。你作為用戶，應該選哪家好這個問題與前面的問題有很大一樣之處。只要通過你所需要的罐數來分析討論，這樣，問題便可迎刃而解了。隨著市場經濟的逐步完善，人們日常生活中的經濟活動越來越豐富多彩。買與賣，存款與保險，股票與債券，……都已進入我們的生活．同時與這一系列經濟活動相關的數學，利比和比例，利息與利率，統計與概率。運籌與優化，以及系統分析和決策，都將成為數學課程中的“座上客〞。作為跨世紀的中學生，我們不僅要學會數學知識，而且要會應用數學知識去分析、解決生活中遇到的問題．這樣才能更好地適應社會的開展和需要?？雌眱r問題：某音樂廳五月決定在暑假期間舉辦學生專場音樂會，入場券分為團體票和零售票，其中團體票占總票數的。假設提前購票，則給予不同程度的優惠。在五月份內，團體票每張12元，共售出團體票的；零售票每張16元，共售出零售票的一半。如果在六月份內，團體票按每張16元出售，并方案在六月份內售出全部余票，那么零售票應按每張多少元定價才能使這兩個月的票款收入持平解析：此題中數量較多，關系復雜，為了便于弄清它們之間的關系首先要分別列出五、六月份售出的團體票、零售票的張數及票款的代數式。設總票數為a張，六月份零售票應按每張x元定價，則五月份團體票售出數為：，票款收入為：〔元〕零售票售出數為：，票款收入為：〔元〕六月份團體票所剩票數為：，票款收入為：〔元〕零售票所剩票數為：，票款收入為：〔元〕根據題意，得解之，得：答：六月份零售票應按每張19.2元定價第七講運用數學函數方程解決生活中的問題以現實社會的生產、生活問題為背景的數學應用題愈來愈受到關注。由于這類問題涉及的背景材料十分廣泛，涉及社會生活方方面面，所以要求解題者具有豐富的社會常識和較強的閱讀理解能力，再加之有些題目中名詞、術語專業性太強，使許多同學望而生畏。為此，本文就列一元一次方程解決生活中的一些數學問題舉幾例進展解析，供同學們參考。一、納稅問題例1依法納稅是公民應盡的義務。根據我國稅法規定，公民全月工資、薪金所得不超過929元不必納稅，超過929元的局部為全月應納稅所得額，此項稅款按下表累加計算：全月應納稅所得額稅率不超過500元局部5％超過500元至2000元的局部10％超過2000元至5000元的局部15％…………某人本月納稅150.1元。則他本月工資收入為。解析：解答此題首先要弄清題意讀懂圖表，從中應理解稅款是分段計算累加求和而得的。因為500×5％＜150.1＜2000×10％，所以可以判斷此人的全月納稅應按表中第一檔和第二檔累加計算。設此人的本月工資為x元。根據題意得：500×5％＋〔－929－500〕×10％=150.1解得，=2680即此人的本月工資是2680元。二、銷售利潤問題例2某企業生產一種產品，每件成本EQ400元，銷售價為510元，本季度銷售m件。為了進一步擴大市場，該企業決定下季度銷售價降低4％，預計銷售量將提高10％。要使銷售利潤〔銷售價－成本價〕保持不變，該產品每件的成本價應降低多少元解析：解答此題的關鍵是要弄清降低、提高的百分數的含義。設該產品每件的成本價應降低x元，則每件降低后的成本是〔〕元，銷售價為510〔1－4％〕元，根據題意得，[510〔1－4％〕－〔〕]〔1+10％〕m=〔510-400〕m解之，得x=10.4答：該產品每件得成本價應降低10.4元三、方案設計問題例3某牛奶加工廠有鮮奶9噸，假設在市場上直接銷售鮮奶，每噸可獲取利潤500元；制成酸奶銷售，每噸可獲取利潤1200元；制成奶片銷售，每噸可獲取利潤2000元。該工廠的生產能力是：如制成酸奶，每天可加工3噸；制成奶片每天可加工1噸；但受人員限制，兩種加工方式不可同時進展，又受氣溫條件限制，這批牛奶必須在4天內全部銷售或加工完畢。為此，該廠設計了兩種可行性方案：方案一：盡可能多的制成奶片，其余直接銷售鮮牛奶；方案二：將一局部制成奶片，其余制成酸奶銷售，并恰好4天完成。你認為選擇哪種方案獲利最多，為什么解析：此題看似很復雜，限制條件較多，但如將此題分解為分別求出方案一、方案二的總利潤就很容易解答。假設選擇方案一，總利潤=4×2000+〔9－4〕×500=10500〔元〕假設選擇方案二，設4天內加工酸奶x噸，則加工奶片〔9－x〕噸，根據題意，得解之，得x=7.5總利潤1200×7.5+2000×1.5=12000〔元〕對比方案一、方案二所獲得的總利潤可知，選擇方案二獲利多。四、節約用水問題例4〔1〕據《北京日報》報道：北京市人均水資源占有量只有300立方米，僅是全國人均占有量的，是世界人均占有量的。問全國人均水資源占有量是多少立方米世界人均水資源占有量是多少立方米〔2〕北京市一年漏掉的水相當于新建一個自來水廠全年的產量。據不完全統計，全市至少有6×105個水龍頭和2×105個抽水馬桶漏水，如果一個關不緊的水龍頭，一個月能漏掉a立方米的水；一個漏水馬桶，一個月漏掉b立方米水，那么一個月造成的水流失量至少多少立方米〔用含a、b的代數式表示〕；〔3〕水資源透支令人擔憂，節約用水迫在眉睫。針對居民用水浪費現象，北京市制定居民用水新標準，規定三口之家每月標準用水量，超標局部加價受費。假設不超標局部每立方米水費1.3元，超標局部每立方米水費2.9元，某三口之家某月用水12立方米，交水費22元，請你通過列方程求出北京市規定三口之家每月標準用水量為多少立方米解析：〔1〕2400立方米、9600立方米〔2〕立方米〔3〕由于12×1.3＜22，所以12立方米水中有超標局部。設北京市規定三口之家每月標準用水量為x立方米，根據題意，得解之，得x=8答北京市規定三口之家每月標準用水量為8立方米，五、與家長做的游戲：54張撲克牌，兩個人拿，每次只能拿1至4只，拿到最后1只的輸，先拿的人若何樣拿才會贏先拿3張，在以后的那牌中，都與對方湊5，即可獲勝。這是一道湊數題，最大的數加最小的數等于要湊的數〔此題為1+4=5〕?？倲?湊的數=商…..余數〔此題即54/5=10……4〕，有余數必須先拿余數，然后和對方湊數。〔如果沒有余數就讓對方先拿，然后和對方湊數〕第八講：生活中的優化問題舉例生活中經常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優化問題．通過前面的學習，我們知道，導數是求函數最大〔小〕值的強有力工具．這一節，我們利用導數，解決一些生活中的優化問題．問題1:面積問題例1、學校或班級舉行活動，通常需要張貼海報進展宣傳．現讓你設計一張如以以下圖的豎向張貼的海報，要求版心面積為128dm2，上、下兩邊各空2dm．左、右兩邊各空1dm.若何設計海報的尺寸，才能使四周空白的面積最小解：設版心的高為xdm，則版心的寬為dm此時四周空白面積為求導數，得令，解得。于是寬為當時，；當