淺談高中數學教學中的反例教學數學發現主要是提出證明和構造反例.在數學中，要證明一個命題成立，必須嚴格的在所給的條件下,用邏輯推理的方法推導出結論.要證明一個命題是錯誤的，極具有說服力而又簡明的方法就是舉出反例，去推翻它.在數學發展史上，恰當的反例推動了數學的發展。高中階段隨著研究性學習的普遍開展，高考試題中開放性試題的比例逐漸增大，反例在高中數學中的重要性日益凸現，在這幾年的數學教學中，我對反例教學的感觸也非常深刻,本文結合自己的教學實踐，對反例在數學教學中的運用做了一些研究。一、反例的定義數學中的反例，是指符合某個命題的條件，而又不符合該命題結論的例子。說得更簡潔一點，反例就是一種指出某命題不成立的例子。當然，從某種意義上來說，所有的例子都可以稱為反例，因為它總可以指出某命題（甚至是非常荒謬的命題）不成立。但這里，我們討論的反例，是建立在數學上已證實的理論與邏輯推理基礎上的，并且具有一定作用的反例。反例教學法中的反例有特定的內涵，這里的反例是指教師在教育實踐中收集的典型例題的典型誤解、重要知識點的典型錯誤認識，所謂典型是指它有豐富的教學價值，通過分析例題的錯解、知識點的錯誤認識能夠揭示出解題的規律和方法，掌握重要的知識點，鞏固學生所學知識的薄弱環節。反例教學比較耗費時間和精力，如果反例龐雜，則教師和學生會為反例的數量和細節所拖累，造成事倍功半，倘若是教師信手拈來的幾個反例，那么其教學意義就十分有限，因此，反例必須典型、精制、簡煉。二、適于開展反例教學的幾種典型情況數學教學就是要培養學生的邏輯思維能力。只有使學生具備條理性、邏輯性以及合情推理的能力，才能使學生正確地解答數學題。我們在實踐教學中得知，學生在實際的做題中會出現這樣或那樣的錯誤，造成題目做錯。學生做錯題，歸根到底是對概念模糊、或是缺乏嚴密的邏輯思維、或是對一些基本知識結構沒有真正地掌握。因此，在高中數學教學中，根據學生學習過程中容易出錯的原因，在以下幾種情況下應開展反例教學。1、 針對概念模糊易出錯開展反例教學。數學概念是學習性質、法則、公式等基礎知識的基礎，是判斷推理的依據，是計算、解題、作圖的前提，是發展學生思維能力的首要條件。因此，理解和掌握數學概念是學生學好數學的基礎，清晰的概念是正確思維的前提。如果概念模糊，對于數學試題中選擇、判斷、填空、計算及證明的處理，將會出現一系列的錯誤或曲解。因此，我們要針對學生容易出現的這一錯誤，開展反例教學，幫助學生理解和掌握數學概念。2、 針對對題目處理想當然的錯誤開展反例教學。數學是一門科學，它的重要特征是推理論證嚴密。在數學學習過程中，學生有時由于對知識結構掌握不夠完善，或缺乏嚴謹的學習態度，往往會出現在處理題目時想當然，引起做題出錯。所以，在教學過程中，要針對學生存在的這種毛病，開展反例教學，幫助他們樹立嚴謹的學習態度，養成論證嚴密、考慮周到而深刻的學風。3、針對忽略隱含條件出錯開展反例教學。數學題中的隱含條件不會在題設中直接給出，要靠在讀題中認真分析判斷，從而將隱含條件挖掘出來，使題設清晰化、具體化，找出正確的解題思路。然而這一點，恰恰是學生在做題時最容易忽略的。要針對學生這一實際情況，開展反例教學，引導學生正確找出和利用題設的隱含條件，從而培養學生發散思維和邏輯思維的綜合能力。三、在教學中運用反例應注意的問題在教學中重視和恰當的運用反例，不僅可以調動學生學習的積極性，養成重視條件，嚴格推理的習慣，還可提高學生的數學能力和學習能力。但在教學中應主要講授概念、定理和方法，對于基本的命題和結論應予以嚴格的證明和推導。舉反例重在說明結構，學生對反例的掌握要求不能太高，反例應是圍繞主要內容的有效輔助手段，應用反例應注意以下幾點：1、注意反例教學的引入。根據學生年齡、生理及心理特征，以及所學知識結構的不完整性，有時還不具備獨立系統地推理論證的能力，思維受到一定的局限，考慮問題可能還會不夠全面，在教學過程中要注意反例教學引入的合理性和可行性。第一、出示反例時機要適當。反例一般應在學生對新知識有了初步的認識后出示，以免受“先入為主”的影響，一般不要先出示反例然后再出示正例，或者以反例為主組織教學，也不要每一堂課都出示反例。第二、所舉反例要注意符合學生的實際。反例應是學生在學習中經常出現的錯誤，學生一般不會出錯，或者只有極個別學生出錯的就不必作為反例。第三、運用反例組織教學也要注意形式多樣。除了有機地結合教材充分利用反例組織課堂教學外，還可利用數學園地，開辟“數學門診”，讓學生當“小醫生”，治“病”改錯。練習的形式也可有改錯題、判斷題、選擇題等多種。一些數學上有名的謬論也可結合有關知識進行適當的介紹，以對學生產生啟發。2、注意反例教學的構建。教師在進行教學時，不但要適當地使用反例，更重要的是要善于引導學生構建反例，反例構建是猜想、試驗、推理等多重并舉的一項綜合性創作性活動，這實際上是為學生創設了一種探索情景，又由于在通常情況下，許多反例的構建不是惟一的，這就需要學生對所學知識有深刻、透徹的理解，并調動他們全部的數學功底，充分展開想象。因此，構建反例的過程也是學生思維發揮和訓練過程。反例往往是伴隨著數學教學中命題的推廣，正面證明失效后產生的，所以反例構建不能就事論事，而要把問題的產生過程，如何構建出反例的思維過程充分展現給學生，使反例構建與整個推理過程有機地結合，從而培養學生思維的深刻性。教師在日常教學中，可經常選擇一些典型的數學知識或問題，通過創設問題情景，引導學生構建反例，引導學生敢于和善于發現問題或提出問題，愛護、支持和鼓勵學生中的一切含有創造因素的思想和活動，從而提高學生的思維能力。3、注意反例教學的逐層深入性。教師在進行教學時，反例的構建要根據學生的認知發展水平和已有的知識結構逐層深入地進行，把某些難度較大的問題分解為一些小的梯度題。四、實施反例教學的具體操作步驟采用反例教學法進行數學教學時，在教學過程中，教師的施教方法和學生的學習方法上都有一系列規范，主要反映在以下幾個操作步驟之中：反例編好之后，存入反例庫中，隨時供教學使用。反例必須從教學實踐中來，真實、生動，教師自己編寫的也必須符合客觀實際。選擇反例的數量不宜多，必須精煉，運用反例的目的是為了使學生掌握抽象的數學概念、性質，不能不加選擇地大量地羅列反例，只需要選擇那些高質量的少數典型反例。反例要能代表概念性質對象的特點，必須典型，倘若隨手拈來幾個反例，則其意義和教育價值就有局限性，典型的反例可以是綜合知識量大的部分，也可以是概念、知識點的某個性質。在教學中選用的反例應該相互聯系，由簡單到復雜，分層次、有序地編排，反例整體排列結構的合理化能發揮反例教學法的最大教育功效。2、 應用反例。反例的應用應放在講授基礎知識之后，既可以在講授某一塊知識時顯現，也可以在講完一個單元或一個章節之后顯現，顯現的方式有以下幾種：第一、給每個學生印發一份文字反例。第二、教師利用多媒體技術呈現反例。第三、教師利用即時刺激或環境請學生板演制造真實的反例。3、 分析評價反例。對于同一個反例，每個學生可以發揮出不同的意義，有人只能找到淺層的信息，有人則能得到透徹的知識面，從而對癥下藥,教師要引導學生發現揭示反例的本質錯誤。分析反例的關鍵是學生和教師共同努力，把反例中的內容與相應的一個或幾個知識點聯系起來。為此，教師要做好啟發引導工作，讓學生綜合運用所學的知識積極地去獨立思考，大膽地交流研討，同時教師要創設民主和諧的教學氣氛，即使學生的思考和回答偏離了正確答案，也不要急于評判，可以讓他們自己反省，自我更正，使學生在沒有壓力和顧忌的良好心態下進行創造性的探索。評價反例是對反例分析的總結，一般由教師來完成，教師可以指出學生分析反例的成績和不足，進行補充與提高性講授，評論反例也可以發動學生在教師指導下開展，使他們得到進一步的鍛煉。五、反例在數學教學中的作用1、 反例是理解概念的重要工具。2、 反例能正確地把握數學原理。原理通常指某一領域或學科中具有普遍意義的基本規律。高中數學知識除概念外還有數學原理。數學原理包括數學公里、定理、法則、定律、公式等內容。他們既具有一定的形式符號化的抽象性和概括性等特征，又是促進學生認知水平發展的重要學習載體。在學習數學原理時，若只側重記憶其結論，而不注意數學原理的使用范圍，使用時不注意分析具體條件而生搬硬套，常會出現錯誤。對于數學原理，不僅要弄清其條件和結論的實際意義和適用范圍，還應通過一些反例幫助學生牢固掌握所學的數學原理，靈活地設置反例，有時可起到事半功倍，立竿見影的效果。3、 反例是否定一個命題的最佳途徑。要使一個數學命題成立，必須進行分析與嚴格的證明，而要推翻一個命題，只需要找出這個命題在特殊情況下不成立的實例即可。反例也是發現錯誤，修正命題與解法，激發人們思維的一種好方法。為了澄清學習數學中的模糊認識，常常需要從正反兩個方面進行探索。4、反例是克服思維定勢抑制負遷移的有力手段。舉反例可直接促進數學新概念、新定理與新理論的形成和發展。微積分創建初始，數學界曾長期錯誤認為：“連續函數除了個別點外總是處處可導”，但是1860年德國數學家維爾斯特拉斯構造了一個“處處連續卻處處不可導的函數”，這一反例震驚了數學界，給了思維定勢傳統觀念致命一擊。在教學過程中，學生在教師習慣性程序的影響下容易形成固定的思維模式，即定勢。定勢會產生“墨守成規”、“機械記憶”等負面效應，此時求異的反例恰恰是解決這一弊端的得力方法。5、