從實際問題到方程

知識技柜目標:復習列方程解應用題的方法；學會用檢驗的方法判斷一個數是

否為方程的解.

過程性目標:經歷用列方程的方法解決實際問題的過程，體會現實生活與數學

密不可分的關系.

教學重點：建立方程的概念

數學難點：根據具體間疽中的數量關系，列出方程和檢驗一個數是否為方程的

解

數學過程

一、創設情境

在現實生活中，有很多問題都跟數學有關，例如下面的問題,：

問題某校初一年級328名師生乘車外出春游，已有2輛校車可乘坐64人，

還娜租用44座的客車多少輛？

這個問題用數學中的什么方法來解決呢？

解（328-64）+44

=264+44

=6（柄）

答：還娜租用44座的客車6輛.

請?大家回憶一下，在小學里還學過什么方法可以解決上面的問題？

二、摞究歸納

方法是列方程解應用題的辦法.

解設還需■租用44座的客車x輛，則共可乘坐44x人.

根據題急列方程得

44x+64=328

你會解這個方程嗎？自己試試看.

評列方程解應用題的基本過程是：

觀察題急，找出等量關系；設未如數，并列出方程；解所列的方程；寫出

答案.

問題在課外活動中，張老師發現同學的年齡大多是13歲，就向同學：“我

今年45歲，幾年后你們的年齡是我年齡的三分之一?”

方法一：我們可以按年齡?的增長依次去誡.

1年后，老師的年齡是46歲，同學的牛輪是14歲，不是老師年齡的三分之一；

2隼后，老師的隼齡是47歲，同學的年齡是15歲，也不是老師年館的三分之

一—?

9

3年后，老師的年齡是48歲，同學的年齡是16歲，恰好是老師年齡的三分之

方法二：也可以用列方程的辦法來解.

解設x年后同學的年齡是老師年齡的三分之一，X年后同學的年齡是(13+x)

歲，老師年齡是(45+x)歲.

根據瓶怠，列出方程得

13+x=—(45+%)

這個方程不太好解，大家可以用強試、檢驗的方法找出它的解，即只要將x=l,

2,3,4,…代入方程的左右兩邊，看哪個數墟使左右兩邊的值相等，這樣得到方

程的解為x=3.

評速方程左右兩邊的值相等的未知數的值，虢是方程的解.

要檢驗一個數是否為方程的解，只要把這個數代入方程的左右兩邊，??柜

否使左右兩邊的值相等.如果左右兩邊的值相等，那么這個數就是方程的解.

三、實踐應用

例1甲、乙兩車間共生產電視機120臺，甲車間生產的臺數是乙車間的3倍少

16,求甲、乙兩率間各生產電視機多少臺(列出方程，不解方程)？

分析等置關系是：

甲車間生產的臺數+乙車間生產的臺數=電視機總臺數

解設乙車闞生產的臺數為x臺，則甲車間生產的臺數是(3x-16)

根據題怠列方程僵

x+(3x-16)=120

例2檢驗下面方程后面括號內所列各數是否為這個方程的解:

2(x+2)-5(l-2x)=-13,{x=-l,1}

解將x=-l代入方程的兩邊鏗

左邊=2(T+2)-5[l-2x(-1)]=-13

右邊=-13

因為左邊=右邊，所以x=T是方程的解.

將x=l代入方程的兩邊得

左邊=2(1+2)-5(1-2x1)=11

右邊=-13

因為左邊于右邊，所以x=l不是方程的解.

四、交流反思

這節課主要講了下面兩個問題：

1.復習了用列方程的方法來解應用題,；

2.檢驗一C數是否為方程的解的方法.

五、檢測反饋

練習：1、2題。

六、課后作業

習題6.1:1、2、3題。

教學反思：

數學：6.2.1方程的簡單變形（一）

知識技能目標

1.理解并掌握方程的兩個變形規則；

2.使學生了解移項法則，即移項后變號，并且能熬練運用移項法則解方程；

3.運用方程的兩個變形規則解簡單的方程.

過程性目標

1.通過實驗操作，經歷并獲得方程的兩個變形過程；

2.通過對方程的兩個變形和等式的性質的比較，感受新舊知識的聯系和遷移；

3.體會移項法則：移項后要支號.

數學重點：方程的兩種變形.

放學難點：由具體實例抽象出方程的兩種變形

教學過程

一、創設情境

同學們，你們還記得“■■沖稱象”的故事嗎？請同學說說這個故事.

小時候的曾?沖是多么地聰明啊！旗轄社會的進步，科學水平的發達，我們有越

來越多的方法測■?物體的黃量.

最咕見的方法是用天平測M-1*物體的質置.

我們來做這樣一個實驗，測一。物體的質置（設它的質■?為x）.首先把這個

物體放在天平的左盤內，然后在右盤內放上祛碼，并使天平處于平衡狀態，此町兩

逸的質■?相等，那么祛碼的質量就是所要稱的物體的質量.

二、探究歸納

請同學來做這樣一個實驗，如何移動天平左右兩盤內的法碼，測物體的質置.

I向Q向/I向向向向向）（向/I向上向/

.、TI-

EZS

x+2=5>x=5-2

圖⑴

實驗1：如圖（1）在天平的兩邊盤內同時取下2個小祛碼，天平依然平衡，所測物體

的質量等于3個小祛碼的質量.

I向囪邑I向向扃向/1向」I扃.向)

『八I

ZSZX

3x=2x+2〉3x-2x=2

圖⑵

實驗2：如圖(2)在天平的兩邊盤內同時取下2個所測物體，天平依然平衡，所測物

體的質量等于2個小祛碼的質量.

1向向)1向向平向向/1甲J1向甲向J

2x=6=>*6+2

圖⑶

實驗3：如圖(3)將天平兩邊盤內物體的質量同時縮少到原來的二分之一，天平依然

平衡，所測物體的質量等于3個小祛碼的質量.

上面的實驗操作過程，反映了方程的變形過程，從這個變形過程，你發現了什么一般

規律？

方程是這樣變形的：

方程的兩邊都加上或都減去同一個數或同一個整式，方程的解不變.

方程兩邊都乘以或都除以同一個不為零的數，方程的解不變.

請同學們回憶等式的性質和方程的變形規律有何相同之處？并請思考為什么它們有

相同之處？

通過實驗操作，可求得物體的質量，同樣通過對方程進行適當的變形，可以求得方程

的解.

三、實踐應用

例1解下列方程.

⑴x-5=7；(2)4x=3x—4.

分析：(1)利用方程的變形規律，在方程％—5=7的兩邊同時加上5,即x—5+5=7+5,

可求得方程的解.

⑵利用方程的變形規律，在方程4x=3x—4的兩邊同時減去3x,即4x—3x=3x—3x—

4,可求得方程的解.

解⑴由

兩邊都加上5,得x=7(+5),

即x=12.

⑵由4x=4,

兩邊都減去3x,得4x~4,

即x=-4.

像上面，將方程中的某些項改變符號后，從方程的一邊移到另一邊的變形叫做移項

(transposition).

注(1)上面兩小題方程變形中，均把含未知數x的項，移到方程的左邊，而把常數項移

到了方程的右邊.

(2)移項需變號，即：躍過等號，改變符號.

例2解下列方程：

31

-X——

(l)-5x=2;(2)23；

分析：(1)利用方程的變形規律，在方程-5x=2的兩邊洞除以-5,即-5x

-5x22

+(-5)=2+(-5)(或-5--5),也就是x=-5,可求得方程的解.

3132

—X——————

(2)利用方程的變形規律，在方程23的兩邊間除以2成同乘以3,即

33133212

—X+—=—+——XX—=-X—

2232(或2333),可求得方程的解.

解(1)方程兩邊都除以一5,得

_2

X=5.

3

(2)方程兩邊都除以萬，得

X=3233,

2

即x=9.

2

或解方程兩邊同乘以得

122

—x—二一

X=339.

注：1.上面兩題的變形通常稱作“將未知數的系數化為1”.

2.上面兩個解方程的過程，都是對方程進行適當的變形，得到x=a的形

式.

例3下面是方程x+3=8的三種解法，請指出對與錯，并說明為什么？

(l)x+3=8=x=8-3=5;

(2)x+3=8,移項得x=8+3,所以x=11;

(3)x+3=8移項得x=8-3,所以x=5.

解⑴這種解法是錯的.變形后新方程兩邊的值布原方程兩邊的值不相明所

以解方程時不能連等；

(2)這種解法也是錯誤的，移項要支號；

(3)這種解法是正確的.

四、交流反思

本強課我們通過實驗得到了方程的變形規律：

(1)方程的兩邊都加上或都減去同一個數或同一個整式，方程的解不變；

(2)方程兩邊都乘以成都除以同一個不為零的數，方程的解不變.

通過上面幾例解方程我們得出解簡單方程的一般步騷：

(1)移項：通常把含有未知數的項移到方程的左邊，把咕數項移到方程的右邊；

(2)系數化為1：方程兩邊同除以未知數的系數(或同乘以未知數系數的倒數),

得到x=a的形式.

必須牢記：移項要支號！

五、檢涮反憒

練習：1題

六、課后作業

練習：2題

數學反思:

6.2.1方程的簡單變形(2)

數學目標：

知識目標：讓學生進一步熟度方程的變形法則，體會方程的不府解法所經歷的

轉化思愁。

能力目標：使學生掌握解方程的基本方法，體驗方法的多樣性，培養學生的實

踐能力和創新?精神。

情感目標：演透楂化的數學思慈。

數學重點：

由方程的變形法則在解方程的過程自主探索、歸納解方程的一般步藤。

教學難點：

方法的靈活應用和多樣性。

教學過程：

創設情境，弓I入新課：

你還記僵上節課我們通樣的變形來解方程的嗎?

解下列方程：

(1)3x+2=4x

⑵M2

3.P6做一做

學生自學，發現問題，

自學指導：

閱讀教材P6-7例3,弁回答云圖中所提出的問題。

運用知識，訓練技能

完成課后練習題1-6.

通過例題的學習和練習的解答，思考如何來解方程？

拓質深化，鞏固提高

解下列方程：

(1)3x-7+4x=6x-2

(2)a-l=5+2a

(3)2y+3=ll-6y

(4)4x-l-2x=-1

已知：yi=3x+2,y2=4-x,當x率何值時，y=y2?

單項式2a2x+lb2與-8ax+3b2的和仍是單項式，求x的值。

5

將6x=7x兩邊都除以x,得到6=7,面對這個可笑的結論，四名同學分別指出

了錯誤的原因，其中正確的是()

A.甲：“方程本與就是錯誤的。”

B.乙：“這個方程沒有解。”

C.丙：“因為6x小于7x。”

D.丁：“因為方程兩邊都除以了0。”

五、場談收獲，分享成果：

1.解方程的一般步喝■:

移項——合弁同類項——未知數系數化為1

2.解方程的結果一定晏轉化為x=a的形式。

3.在學習的過程中，你還有什么疑問或收獲？

六、布Jt作業：

P7習題6.2.1

1.2.3.

板書設計

6.2.1(2)

解方程的一放步驟：

移項——合并同類項——未知數系數化為1

教學反思：

6.2.2解一元一次方程(一)

數學目標：

知識目標：了解一元一次方程的概念，掌握含有括號的一元一次方程的解法。

能力目標：使學生掌握有括號的一元一次方程的解法，體驗方法的多樣性，培

養學生的實踐能力加創新精神。

情感目標：滲透轉化的數學思慈。

教學重點：解含有括號的一元一次方程的解法。

教學難點：括號前面是負號時，去括號時忘記變號。

教學過程設計

一、復習提問

1.解下列方程：

(l)5x-2=8(2)5+2x=4x

2.去括號法則是什么？“移項”要注意什么？

一、新投

一元一次方程的概念

前面我們遇到的一些方程，例如44x+64=3283+x=j(45+x)y-5=2y+I

問：大家觀察這些方程，它們有什么共同特征？

(提示：觀察未知數的個數和未知數的次數。)

只含有一個未知數，并且含有未知數的式子都是整式，未知數的次數是1,這樣的方

程叫做一元一次方程。

例1.判斷下列哪些是一元一次方程

31c.112x,

4x=23x—23x—g=y—I

5x2—3x+l=02x+y=I—3y

下面我們再一起來解幾個一元一次方程。

例2.解方程(1)-2a-1)=4

(2)3(x-2)+l=x-(2x-l)

方程(1)該怎樣解?由學生獨立探索解法，并互相交流

此方程既可以先去括號求解，也可以看作關于(x—l)的一元一次方程進行求解。

第⑵題可由學生自己完成后講評，講評時，強調去括號時把括號外的因數分別乘以

括號內的每一項，若括號前面是“一”號，注意去掉括號，要改變括號內的每一項的符

號。

補充例題：解方程3x—[3(x+l)—(l+4)]=l

方程中有多重括號，你會解這個方程嗎？

說明：方程中有多重括號時，一般應按先去小括號，再去中括號，最后去大括號的方法

去括號，每去一層括號合并同類項一次，以簡便運算。

三、鞏固練習

練習，1、2、3o

四、小結

本節課我們學習了一元一次方程的概念，并學習了含有括號的一元一次方程的解法。

用分配律去括號時，不要漏乘括號中的項，并且不要搞錯符號。

五、作業

6.2,2第1題。

數學反思：

6.2.2解一元一次方程（二）

數學目標：

知識目標：使學生掌握去分母解方程的方法，并從中體會到轉化的思想。

能力目標：對于求解較復雜的方程，要注意培養學生自覺反思求解的過程和自

覺檢驗方程的解是否正確的良好習慣。

情感目標：滲透轉化的數學恩慈。

教學重點：掌握去分母解方程的方法。

教學難點：求各分母的最小公倍數，去分母時，有時要添括號。

數學過程

一、復習提問

1.去括號和添括號法則。

2.求幾個數的最小公倍數的方法。

二、新授

例1：解方程苧一竽=1

分析：如何解這個方程呢?此方程可改寫成

\(X—3)—|(2x+l)=l

所以可以去括號解這個方程，先讓學生自己解。

同學們，想一想還有其他方法嗎?能否把方程變形成沒有分母的一元一次方程，這樣,

我們就可以用已學過的方法解它了。

解法二；把方程兩邊都乘以6,去分母。

比較兩種解法，可知解法二簡便。

想一想，解一元一次方程有哪些步驟？

先讓學生自己總結，然后互相交流，得出結論。

解一元一次方程，一般要通過去分母，去括號，移項，合并同類項，未知數的系數

化為1等步驟，把一個一元一次方程“轉化”成x=a的形式。解題時，要靈活運用這些

步驟。

補充例2：解方程I(x+15)=|—|(x—7)

問：如果先去分母，方程兩邊應同乘以一個什么數？

應乘以各分母的最小公倍數，5、2、3的最小公倍數。

三、鞏固練習

練習1、20

(練習第1題是辨析題，引導學生進行分析、討論，幫助學生在實踐

中自我認識和糾正解題中的錯誤)

四、小結

1.解一元一次方程有哪些步驟？

2.同學們要靈活運用這些解法步驟，掌握移項要變號，去分母時，方程兩邊每一項

都要乘各分母的最小公倍數，切勿漏乘不含有分母的項，另外分數線有兩層意義，一方

面它是除號，另一方面它又代表著括號，所以在去分母時，應該將分子用括號括上。

五、作業

習題6.2,2第2題。

教學反思：

6.2.2解一元一次方程（三）

數學目標：

知識目標：理解一元一次方程解簡單應用題的方法和步驟；并會列一元一次方程解

簡單應用題。

能力目標：使學生學摳解一元一次方程解簡單應用題的方法和步驟，體融方法

的多樣性，培養學生的實踐能力和創新精神。

情感目標：滲透榜化的數學思想。

教學重點：弄清應用題題意列出方程。

教學難點：弄清應用題題意列出方程。

教學過程

一、復習

1、什么叫一元一次方程？

2、解一元一次方程的理論根據是什么？

二、新授。

例1、如圖（課本第10頁）天平的兩個盤內分別盛有51克，45克食鹽，問應該從

盤A內拿出多少鹽放到月盤內，才能兩盤所盛的鹽的質量相等？

先讓學生思考，引導學生結合填表，體會解決實際問題，重在學會探索：已知量和

未知量的關系，主要的等量關系，建立方程，轉化為數學問題。

分析：設應從A盤內拿出鹽x,可列表幫助分析。

等量關系；A盤現有鹽=8盤現有鹽

完成后，可讓學生反思，檢驗所求出的解是否合理。

（盤A現有鹽為51—3=48,盤B現有鹽為45+3=48。）

培養學生自覺反思求解過程和自覺檢驗方程的解是否正確的良好習慣。

例2.學校團委組織65名團員為學校建花壇搬磚，初一同學每人搬6塊，其他年級同

學每人搬8塊，總共搬了400塊，問初一同學有多少人參加了搬磚？

引導學生弄清題意，疏理已知量和未知量：

1.題目中有哪些已知量？

(1)參加搬磚的初一同學和其他年級同學共65名。

(2)初一同學每人搬6塊，其他年級同學每人搬8塊。

(3)初一和其他年級同學一共搬了400塊。

2.求什么？

初一同學有多少人參加搬磚？

3.等量關系是什么？

初一同學搬磚的塊數十其他年級同學的搬磚數=400

如果設初一同學有工人參加搬磚，那么由已知量⑴可得，其他年級同學有(65—x)人

參加搬磚；再由已知量⑵和等量關系可列出方程

6x+8(65-x)=400

也可以按照教科書上的列表法分析。

三、鞏固練習

練習1、2、3

第I題：可引導學生畫線圖分析

等量關系是：AC十CB=400

若設小剛在沖刺階段花了x秒，即tl=x秒，貝！jt2(65—x)秒，再

由等量關系就可列出方程：

6(65-x)+8x=400

四、小結

本節課我們學習了用一元一次方程解答實際問題，列方程解應用題的關鍵在于抓住

能表示問題含意的一個主要等量關系，對于這個等量關系中涉及的量，哪些是已知的，

哪些是未知的，用字母表示適當的未知數（設元），再將其余未知量用這個字母的代數式表

示，最后根據等量關系，得到方程，解這個方程求得未知數的值，并檢驗是否合理。最

后寫出答案。

五、作業

3、4、5題。

數學反思：

6.3實踐與探索（一）

數學目標：

知識目標：使學生掌握國成的長方形的長和寬在發生變化，但在圖的過程中，

長方形的周長不變，由此便可瘦立“等*關系”同時根據計算，發現嬉昔長方形長

與寬的變化，長方形的面積也發生變化，且長方形的長與寬越接近時，面積越大.

能力目標：讓學生通過獨立思考，積極探索，培養學生積極思考，解決問題的

能力。

情感目標：通過解決問題，培養積極進取的人生態度

數學置點；通過分析圖形問題中的數丑關系，速立方程解決問題

教學難點：找出“等量關系”列出方程.。

數學過程

一、復習提問

1.列一元一次方程解應用題的步驟是什么？

2.長方形的周長公式、面積公式.

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懈驟'）

本節課同學們認真思考，積極探索，通過分析圖形問題中的數置關系，&立方

程解決問題，進一步體會到運用方程解決問題的關鍵是抓住等量關系，有些等?《?關

系是隱藏的，不明顯，同學們要聯系實際，積極摞索，找出等量關系.

五、作業

習題6.3.1第1、2、3.

數學反思：

6.3實踐與探索（二）

數學目標：

知識目標：逋過分析儲蓄中的數置關系，以及商品利潤等有關知識，經歷運用

方程解決實際問題的過程，使學生進一步體會方程是刻畫現實世界的多效數學模

at.

能力目標：讓學生通過獨立思考，積極摞索，培養學生積極思考，解決問題的

能力。

情感目標：通過解決問題，培養積極進承的人生態度

教學重點：探索這些實際問趣中的等置關系，由此等■?關系列出方程.數學難

點：找出能表示整個題急的等量關系

數學過程：

一、復習

1.儲蓄中的利息、本金、利率、本利和等含義，它們之間的數量關系利

A,=本金X年利率X年■數

本利和=本金X利度X年數+本金

2.商品利潤等有關知識.

商品利潤

利潤=售價一成本————=商品利潤率

成本

二、新投

在本章6.1練習中討論過的效*儲蓄，是我國目前皆不征收利息稅的儲種，國

家對其他儲蓄所產生的利息征收20%的個人所得稅，即利凡稅.今天我們來探索一

般的儲蓄問題.

問題4.小明爸爸前年有了年利率為2.43%的二年期定期儲蓄，今年到期后，

扣除利息稅，所得利息正好為小明買了一只價值48.6元的計算器，向小明爸爸為

隼存了多少元？

先讓學生思考，試詈列出方程，對有困難的學生，數師可引導他們進行分析，

找出分置關系.

利息-利息稅=48.6

可設小明爸爸前年存了X元，那么二年后共得利凡為

2.43%xXx2,利息稅為2.43%Xx2x20%

根據關系，得2.43%x?2-2.43%xx2x20%=48.6

問，扣除利息的20%,那么實際得到的利息是多少？你能否列出

校簡單的方程？

扣除利息的20%,實際得到利息的80%,因此可得

2.43%x,2?80%=48.6

解方程，得x=1250

例1.一家商店將某種服裝按成本價提高40%后標價，又以8折（即按標價的

80%）優惠賣出，結果每件仍獲利15元，那么這種服裝每件的成本是多少元？

大家慈一慈這15元的利潤是怎么來的？

標價的80%（即售黃）-成本=15

若設這種服裝每件的成本是x元，那么

每件服裝的標價為：（1+40%）x

有■件服裝的實際售價為：（1+40%）x?80%

每件服裝的利潤為：（l+40%）x?80%-x

由等量關系，列出方程：

（l+40%）x?80%-x=15

解方程，售x=125

答：每件服裝的成本是125元.

三、鞏固練習

練習1、2.

四、小結

本節課我們利用一元一次方程解決有關儲蓄、商品利潤等實際問題，當運用方

程解決實際問題時，首先要弄清題意，從實際問題中抽象出數學問叫然后分析數

學問題中的等■?關系，并由此列出方程；求出所列方程的解；檢驗解的合理性.應

用一元一次方程解決實際問題的關鍵是：根據題意首先尋找“等■?關系”.

五、作業

習題6.3.1,第4、5題.

數學反思：

6.3實踐與探索（三）

數學目標：

知識目標：使學生理解用一元一次方程解工程問題的本質規律;通過對“工程

問題”的分析進一步培養學生用代數方法解決實際問題的艇力。

能力目標：使學生在自主探索與合作交流的過程中理解和卷握基本的數學知

識、技能、數學思想方法，獲得廣泛的數學活動經驗，提高解決問題的能力。

情感目標：通過解決問題，培養積極進取■的人生態度

數學宜:點：工程中的工作置、工作的效率和工作時間的關系.

數學難點：把全部工作■?看作“1”.

教學過程：

一、復習提問

1.一件工作，如果甲單獨做2小時窕成，那么甲獨做I小時完成全部工作置

的多少？

2.一件工作，如果甲單獨做.小時完成，那么甲獨做1小時，完成全部工作置

的多少？

3.工作置、工作效率、工作時間之間有怎樣的關系？

?—W3X

讓學生閱讀散科書第18頁中的問題6.

分析：1.這是一個關于工程問題的實際問題，在這個問題中，已經知道了什

么？小劉提出什么問疽？

已知：制作一塊廣告牌，師傅單獨完成哪4天，徒弟單獨做要6天.

小劉提出的問題是：兩人合作娜要幾天完成？

2.怎樣用列方程解決這個問題？本瓶中的等??關系是什么？

［等*關系是：師傅做的工作■?+徒弟做的工作??=1）

若設兩人合作姆要x天完成，那么甲、乙分別做了幾天？甲、乙的工作效率是

多少？

本題中工作總■?沒有告訴，我們把它看成“1”，那么師傅每天完;，徒弟每

1

天完成片，根據等量關系可得.

0

XX

一十一=1

46

解得x=2.4（天）

3.你還能提出什么問題？試試看，并解答這整問題.

讓學生充分思考，大膽提出問題,，互相交流，對于合理的問題，讓大家共

同解答，對于不合理的問題，讓大家探討為什么不合理？應改為怎樣提？

4.李老師把兩位同學的問題，合起來后，已知條件增加了什么？求什么？

［“