第十章數理統計基礎

第一節樣本及其分布

從歷史的典籍中，人們不難發現許多關于錢糧、戶口、地震、水災等等的記載，說明人們很早就開始了統計的工作.但是當時的統計，只是對有關事實的簡單記錄和整理，而沒有在一定理論的指導下，作出超越這些數據范圍之外的推斷.

到了十九世紀末二十世紀初，隨著近代數學和概率論的發展，才真正誕生了數理統計學這門學科.

數理統計學是一門應用性很強的學科.它是研究怎樣以有效的方式收集、整理和分析帶有隨機性的數據，以便對所考察的問題作出推斷和預測，直至為采取一定的決策和行動提供依據和建議.

數理統計不同于一般的資料統計，它更側重于應用隨機現象本身的規律性進行資料的收集、整理和分析.

由于大量隨機現象必然呈現出它的規律性，因而從理論上講，只要對隨機現象進行足夠多次觀察，被研究的隨機現象的規律性一定能清楚地呈現出來.

只允許我們對隨機現象進行次數不多的觀察試驗，也就是說,我們獲得的只是局部觀察資料.

數理統計的任務就是研究怎樣有效地收集、整理、分析所獲得的有限的資料，對所研究的問題,盡可能地作出精確而可靠的結論.它們構成了統計推斷的兩種基本形式.這兩種推斷滲透到了數理統計的每個分支.

現實世界中存在著形形色色的數據,分析這些數據需要多種多樣的方法.

因此,數理統計中的方法和支持這些方法的相應理論是相當豐富的.概括起來可以歸納成兩大類:參數估計──根據數據,用一些方法對分布的未知參數進行估計.假設檢驗──根據數據,用一些方法對分布的未知參數進行檢驗.總體:研究對象的某項數量指標的全部可能的觀察值某學校男生的身高的全體一個總體，每個男生的身高是一個個體。某工廠生產的燈泡的壽命是一個總體，每一個燈泡的壽命是一個個體；個體：每一個可能觀察值為個體。容量：總體所包含的個體的個數稱為總體的容量有限總體：容量有限的稱為有限總體無限總體：容量無限的稱為無限總體則稱為從總體X中得到的容量為n的簡單隨機樣本，簡稱為樣本，其觀察值稱為樣本值。簡單隨機樣本：設X是具有分布函數F的隨機變量，若是具有同一分布函數F的相互獨立的隨機變量，樣本：被抽取的部分個體叫做總體的一個樣本總體一般被看作隨機變量

定理：若為X的一個樣本，則的聯合分布函數為：nXX,,1L若設X的概率密度為f，則的聯合概率密度為：一.概念x1,x2,…,xn是相應于樣本X1,X2,…,Xn的樣本值,則稱g(x1,x2,…,xn)是g(X1,X2,…,Xn)的觀察值。

注：統計量是隨機變量。是一統計量。若X1,X2,…,Xn是來自總體X的一個樣本,g(X1,X2,…,Xn)是X1,X2,…,Xn的函數，不含任何未知參數，則稱g(X1,X2,…,Xn)若g中1.設為來自總體的一個樣本，

問下列隨機變量中那些是統計量思考？2.常用統計量樣本均值樣本方差它反映了總體均值的信息它反映了總體方差的信息樣本k階原點矩樣本k階中心矩

k=1,2,…它反映了總體k階矩的信息它反映了總體k階中心矩的信息它們的觀察值分別為：樣本均值樣本方差樣本標準差樣本k階矩樣本k階中心矩依概率收斂的序列性質知道證由辛欽定理說明3.經驗分布函數與總體分布函數F(x)相對應的統計量的觀察值的觀察值對于經驗分布函數格里汶科在1933年證明了如下定理統計量是樣本的函數，它是一個隨機變量，統計量的分布稱為抽樣分布。

X1,X2,…Xn

是來自總體N(0,1)的樣本,則稱統計量二.來自正態總體的幾個常用統計量的分布服從自由度為n的

2分布.(一)

2分布記為2

～2(n).分布是由正態分布派生出來的一種分布.1.定義及概率密度分布的密度函數為來定義.其中伽瑪函數通過積分

2分布的密度函數的圖形如右圖.(1)

設相互獨立,都服從正態分布則(2)設且X1,X2相互獨立，則分布的可加性2.3.期望和方差4.上分位點(二)t分布設X

～N(0,1),Y～2(n),

且X,Y相互獨立,稱統計量

服從自由度為n的t分布.記為t～t(n).T的密度函數為：1.定義及概率密度當n充分大時，其圖形類似于標準正態分布密度函數的圖形.t分布的密度函數關于x=0對稱，且

當n充分大時，t分布近似N

(0,1)分布.但對于較小的n，t分布與N(0,1)分布相差很大.2.上分位點(三)F分布設U～2(n1),V～2(n2),

且U,V相互獨立,服從自由度為(n1,n2)的F分布.記為F～F(n1,n2).~1.定義稱統計量2.上分位點特別地,若X

～N(,2),有(四)正態總體的樣本均值與樣本方差的分布設總體X的均值為

,方差為2,X1,X2,…Xn是X的一個樣本.n取不同值時樣本均值的分布

對于正態總體的樣本方差S2,有以下定理:定理1X1,X2,…Xn是總體N(,2)

的一個樣本.(1)(n-1)S2/

2

～2(n-1)(2)n取不同值時的分布

設X1,X2,…,Xn是取自正態總體的樣本,分別為樣本均值和樣本方差,則有定理2證明定理2:由定理1,(n-1)S2/

2

～2(n-1)即XY由t分布的定義，

定理3(兩總體樣本均值差的分布)分別是這兩個樣本的樣本均值,且X與Y獨立,X1,X2,…,是取自X的樣本,取自Y的樣本,分別是這兩個樣本的樣本方差,則有Y1,Y2,…,是

定理4(兩總體樣本方差比的分布)分別是這兩個樣本的且X與Y獨立,X1,X2,…,是取自X的樣本,取自Y的樣本,分別是這兩個樣本的樣本方差,均值，則有Y1,Y2,…,是樣本

假設某物體的實際重量為

,但它是未知的.現在用一架天平去稱它,共稱了n次,得到X1,X2,

,Xn.根據基本定理,例1通常我們用樣本均值:假設每次稱量過程彼此獨立且沒有系統誤差,則可以認為這些測量值都服從正態分布N(,2),方差

2反映了天平及測量過程的總精度.如

=0.1時,若取n=10.則:“3σ規則”于是根據第二章講過:隨著稱量次數n的增加,這個偏差界限還是

=0.1時,若取n=100.則:

在設計導彈發射裝置時,重要事情之一是研究彈著點偏離目標中心的距離的方差.

對于一類導彈發射裝置,彈著點偏離目標中心的距離服