高中數學精選資源3/3《正態分布》教學設計教學設計教學環節教學內容師生活動設計意圖情境引入教材第87頁“嘗試與發現”：已知服從參數為的二項分布,即,你能手工計算出的值嗎?教師請學生閱讀教材“嘗試與發現”欄目內容，并思考、嘗試進行回答.學生閱讀，思考，回答.預設學生求不出來，使用一般的計算器也不行.教師借助計算機軟件算出結果，引出課題.開門見山，提出問題，引發學生思考,為引入新知做好鋪墊.新知探究一、正態曲線1.概念.一般地,對應的圖像稱為正態曲線(或鐘形曲線),其中,即的均值;,即的標準差.2.正態曲線的性質.（1）正態曲線關于對稱(即決定正態曲線對稱軸的位置),具有中間高、兩邊低的特點;（2）正態曲線與軸所圍成的圖形面積為1；（3）決定正態曲線的“胖瘦”:越大,說明標準差越大,數據的集中程度越弱,所以曲線越“胖”;越小,說明標準差越小,數據的集中程度越強,所以曲線越“瘦”.例1求正態曲線與軸在下列區間內所圍的面積:（1）;（2）（3）;（4）,,.解（1）因為正態曲線是關于對稱的,而且正態曲線與軸所圍成的圖形面積為1,因此所求面積為.（2）利用對稱性可知,所求面積為區間內面積的2倍,即約為（3）利用對稱性可知,所求面積約為（4）利用對稱性可知,所求面積約為二、正態分布1.概念.一般地,如果隨機變量落在區間內的概率,總是等于對應的正態曲線與軸在區間內圍成的面積,則稱服從參數為與的正態分布,記作,此時稱為的概率密度函數.更進一步的研究表明,此時是的均值,而是的標準差,是的方差.原則.若,那么：（1）;（2）;（3）（4）最后的式子意味著,約有的可能會落在距均值3個標準差的范圍之內,也就是說只有約的可能會落入這一范圍之外（這樣的事件可看成小概率事件),這一結論通常稱為正態分布的“原則”例2假設某個地區高二學生的身高服從正態分布,且均值為170(單位:,下同),標準差為.在該地區任意抽取一名高二學生,求這名學生的身高：（1）不高于170的概率;（2）在區間內的概率;（3）不高于180的概率.解設該學生的身高為,由題意可知.（1）易知.（2）因為均值為170,標準差為10,而,所以（3）由概率的加法公式可知.又由(2)以及正態曲線的對稱性可知，因此.例3假設某廠包裝食鹽的生產線,正常情況下生產出來的食鹽質量服從正態分布(單位:,該生產線上的檢測員某天隨機抽取了兩包食鹽,稱得其質量均大于.（1）求正常情況下,任意抽取一包食鹽,質量大于的概率為多少;（2）檢測員根據抽檢結果,判斷出該生產線出現異常,要求立即停產檢修.檢測員的判斷是否合理?請說明理由.解設正常情況下,該生產線上包裝出來的食鹽質量為,由題意可知.（1）由于,所以根據正態分布的對稱性與“原則”可知（2）檢測員的判斷是合理的.因為如果生產線不出現異常,由(1)可知,隨機抽取兩包檢查,質量都大于的概率約為.幾乎為零,但這樣的事件竟然發生了.所以有理由認為生產線出現了異常,檢測員的判斷是合理的.三、標準正態分布且的正態分布稱為標準正態分布,其在正態分布中扮演著核心角色,這是因為如果,那么令,可得,即任意正態分布通過變換都可化為標準正態分布.2.如果,那么對于任意,通常記,也就是說表示對應的正態曲線與軸在區間內所圍的面積.例4已知,利用教材第92頁上的表格求以下概率值;（1）;（2）;（3）.解（1）.（2）因為,而,且由教材中表格可知,所以（3）由概率的加法公式以及教材中表格可知.教師請學生求的分布列,并用直觀圖表示出來.學生計算概率分布,并畫出直觀圖.教師引導學生觀察概率分布直觀圖,探索性質.學生思考,得出性質:（1）中間高、兩邊低;（2）圖形關于直線對稱,而且;（3）某一整數上方的矩形面積正好等于,其中,,;（4）所有矩形的面積之和為.教師提供計算機軟件請學生類比作出,的概率分布直觀圖,并分析直觀圖的性質.學生利用作圖,對比、分析,發現共性.教師介紹正態曲線的概念,并引導歸納正態曲線的性質.學生分析、總結.教師給出如下數據,請學生完成例.學生根據提供的數據及圖像特征完成例1的解答.教師對學生的解答進行點評,強調要利用正態曲線的性質解題.教師介紹正態分布的概念，請學生理解概念.學生從定義及參數意義等方面理解概念.教師給出正態分布的“原則”，并出示例2、例3，請兩組學生進行板演.教師巡視課堂，了解學生解題過程中存在的問題，并進行適時指導，對學困生進行關注和思路點撥.學生完成例2、例3，并對板演結果進行補充.教師點評學生的答案，進行補充和完善，強調答題的規范性.師生共同總結解題的步驟，尋找通性通法.教師介紹標準正態分布的概念及的性質和相關圖像，引導學生結合標準正態分布表思考、得出正態分布的概率求法，并請學生完成例4，以提問的方式檢查學生的完成情況.學生理解概念，學會查表求概率，完成例4的解答，并積極回答.教師對學生的回答進行點評，并同學生一起梳理解題方法.教師通過例題介紹正態分布的作用，學生體會正態分布在近似計算中的作用.通過借助計算機軟件，類比找出共同點，自然生成正態曲線的概念，同時通過極限思想觀察得出正態曲線的性質，并結合例1進行理解，達到掌握正態曲線的目的，同時也能在學習過程中較自然地提升學生的數學抽象、邏輯推理與直觀想象核心素養.學習正態分布的定義及性質，通過例題進一步理解正態分布的概念以及學會使用“原則”解題，積累基本的解題經驗，培養學生利用所學知識解決實際問題的能力，突破重難點，提升學生的數學運算與邏輯推理核心素養.理解正態分布與標準正態分布間的聯系，學會將正態分布轉化為標準正態分布，并通過查標準正態分布表求解概率問題，通過例題及實例，體會正態分布的實用性，提升學生數學建模核心素養.歸納小結1.正態曲線.2.正態分布.3.標準正態分布.教師引導學生分組回答，小組評價.培養學生概括總結的能力.布置作業教材第93~94頁練習A第1，34題.學生獨立完成，教師批改.鞏固知識.板書設計4.2.5正態分布一、正態曲線1.概念一般地對應的圖像稱為正態曲線（或鐘形曲線），其中即X的均值;,即的標準差2.正態曲線的性質（1）正態曲線關于對稱（即決定正態曲線對稱軸的位置）,具有中間高兩邊低的特點;（2）正態曲線與x軸所圍成的圖形面積為1；（3）決定正態曲線的“胖瘦”：越大，說明標準差越大,數據的集中程度越弱，所以曲線越“胖”；越小，說明標準差越小，數據的集中程度越強，所以曲線越“瘦”例1二、正態分布1.概念一般地,如果隨機變量X落在區間內的概率，總是等于對應的正態曲線與x軸在區間內圍成面積,則稱服從參數為與的正態分布,記作,此時稱為X的概率密度函數.更進一步的研究表明,此時是X的均值,而是X的標準差,是X的方差原則若,那么：（1）;（2）（3）;（4）.最后的式子意味著,約有的可能會落在距均值3個標準差的范用之內,也就是說只有約的可能會落入這一范圍之外（這樣