PAGE2.3.2學習目標核心素養1.理解二面角的有關概念，會作二面角的平面角，能求簡潔二面角平面角的大小．(難點、易錯點)2.了解面面垂直的定義，駕馭面面垂直的判定定理，初步學會用定理證明垂直關系．(重點)3.熟識線面垂直、面面垂直的轉化．(重點)1.通過學習平面與平面垂直的判定，提升直觀想象、邏輯推理的數學核心素養．2.通過學習二面角，提升直觀想象、邏輯推理、數學運算的數學核心素養．1．二面角的概念(1)定義：從一條直線動身的兩個半平面所組成的圖形．(2)相關概念：①這條直線叫做二面角的棱，②這兩個半平面叫做二面角的面．(3)記法：二面角α-l-β或α-AB-β或P-l-Q或P-AB-Q.(4)二面角的平面角：若有①O∈l；②OA?α，OB?β；③OA⊥l，OB⊥l，則二面角α-l-β的平面角是∠AO B．(5)二面角θ的取值范圍為0°≤θ≤180°．當兩個二面角的兩個半平面重合時，規定二面角的大小為0°，當兩個二面角的兩個半平面合成一個平面時，規定二面角的大小為180°.思索：二面角的平面角的大小，是否與角的頂點在棱上的位置有關？[提示]無關．如圖，依據等角定理可知，∠AOB＝∠A′O′B′，即二面角的平面角的大小與角的頂點的位置無關，只與二面角的大小有關．2．平面與平面垂直(1)定義：一般地，兩個平面相交，假如它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面相互垂直．(2)畫法：(3)記作：α⊥β．(4)判定定理：文字語言一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直圖形語言符號語言l⊥α，l?β?α⊥β思索：兩個平面垂直，則一個平面內的任何一條直線都垂直于另一個平面嗎？[提示]不肯定，只有在一個平面內垂直于交線的直線才垂直于另一個平面．1．如圖所示的二面角可記為()A．α-β-l B．M-l-NC．l-M-N D．l-β-αB[依據二面角的記法規則可知B正確．]2．已知直線l⊥平面α，則經過l且和α垂直的平面()A．有一個 B．有兩個C．有多數個 D．不存在C[經過l的任一平面都和α垂直．]3．如圖所示，三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，則二面角B-PA-C的大小等于________．90°[∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，∴∠BAC為二面角B-PA-C的平面角，又∠BAC＝90°.所以所求二面角的大小為90°.]二面角的計算問題【例1】如圖，已知三棱錐A-BCD的各棱長均為2，求二面角A-CD-B的余弦值．[解]如圖，取CD的中點M，連接AM，BM，則AM⊥CD，BM⊥CD.由二面角的定義可知∠AMB為二面角A-CD-B的平面角．設點H是△BCD的重心，則AH⊥平面BCD，且點H在BM上．在Rt△AMH中，AM＝eq\f(\r(3),2)×2＝eq\r(3)，HM＝eq\f(\r(3),2)×2×eq\f(1,3)＝eq\f(\r(3),3)，則cos∠AMB＝eq\f(\f(\r(3),3),\r(3))＝eq\f(1,3)，即二面角的余弦值為eq\f(1,3).1．求二面角的大小關鍵是作出平面角求二面角大小的步驟是：(1)找出這個平面角；(2)證明這個角是二面角的平面角；(3)作出這個角所在的三角形，解這個三角形，求出角的大小．2．確定二面角的平面角的方法定義法在二面角的棱上找一個特別點，在兩個半平面內分別過該點作垂直于棱的射線垂面法過棱上一點作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個半平面產生交線，這兩條交線所成的角，即為二面角的平面角eq\a\vs4\al([跟進訓練])1．如圖，AC⊥平面BCD，BD⊥CD,AC＝eq\f(1,2)AD，求平面ABD與平面BCD所成的二面角的大小．[證明]因為AC⊥平面BCD，BD?平面BCD，所以BD⊥AC.又因為BD⊥CD，AC∩CD＝C，所以BD⊥平面ACD.因為AD?平面ACD，所以AD⊥BD，所以∠ADC即為平面ABD與平面BCD所成二面角的平面角．在Rt△ACD中，AC＝eq\f(1,2)AD，所以∠ADC＝30°.平面與平面垂直的判定【例2】如圖所示，在四面體ABCS中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.求證：平面ABC⊥平面SBC.[證明](1)法一：(利用定義證明)因為∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB和△ASC是等邊三角形，則有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值為a，則△ABC和△SBC為共底邊BC的等腰三角形．取BC的中點D，如圖所示，連接AD，SD，則AD⊥BC，SD⊥BC，所以∠ADS為二面角A-BC-S的平面角．在Rt△BSC中，因為SB＝SC＝a，所以SD＝eq\f(\r(2),2)a，BD＝eq\f(BC,2)＝eq\f(\r(2),2)a.在Rt△ABD中，AD＝eq\f(\r(2),2)a，在△ADS中，因為SD2＋AD2＝SA2，所以∠ADS＝90°，即二面角A-BC-S為直二面角，故平面ABC⊥平面SBC.法二：(利用判定定理)因為SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°，所以SA＝AB＝AC，所以點A在平面SBC上的射影為△SBC的外心．因為△SBC為等腰直角三角形，所以點A在△SBC上的射影D為斜邊BC的中點，所以AD⊥平面SBC.又因為AD?平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC.證明面面垂直常用的方法定義法即說明兩個半平面所成的二面角是直二面角判定定理法在其中一個平面內找尋一條直線與另一個平面垂直，即把問題轉化為線面垂直性質法兩個平行平面中的一個垂直于第三個平面，則另一個也垂直于此平面eq\a\vs4\al([跟進訓練])2．如圖所示，四邊形ABCD是邊長為a的菱形，PC⊥平面ABCD，E是PA的中點，求證：平面BDE⊥平面ABCD.[證明]連接AC，設AC∩BD＝O，連接OE.因為O為AC中點，E為PA的中點，所以EO是△PAC的中位線，所以EO∥PC.因為PC⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD.又因為EO?平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.線面、面面垂直的綜合[探究問題]1．如圖所示，如何作出二面角P-AB-Q的平面角？[提示]過點P作平面ABQ的垂線，垂足為H.過H作HO⊥棱AB于點O，連接OP，則∠POH即為二面角P-AB-Q的平面角．2．線面、面面垂直關系是如何轉化的？[提示]欲證面面垂直，可轉化為證明線面垂直，再轉化為證明線線垂直即可．【例3】如圖所示，已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱CC1(1)求證：A1E⊥BD；(2)當E恰為棱CC1的中點時，求證：平面A1BD⊥平面EBD.思路探究：(1)欲證A1E⊥BD，只需證明BD垂直A1E所在平面即可；(2)要證平面A1BD⊥平面EBD，只需求出二面角為直二面角即可，或證明一個平面內的某始終線垂直于另一個面．[證明]連接AC，設AC∩DB＝O，連接A1O，OE，(1)因為AA1⊥底面ABCD，所以BD⊥A1A，又BD⊥AC，A1A∩AC＝所以BD⊥平面ACEA1，因為A1E?平面ACEA1，所以A1E⊥BD.(2)在等邊三角形A1BD中，BD⊥A1O，因為BD⊥平面ACEA1，OE?平面ACEA1，所以BD⊥OE，所以∠A1OE為二面角A1-BD-E的平面角．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，設棱長為2a，因為E為棱CC1的中點，由平面幾何學問，得EO＝eq\r(3)a，A1O＝eq\r(6)a，A1E＝3a，滿意A1E2＝A1O2＋EO2，所以∠A1OE＝90°，即平面A1BD⊥平面EBD.本例中，條件不變，試求二面角E-BD-C的正切值．[解]連接AC交BD于O，連接OE(圖略).由例題中(2)知，BD⊥OE，BD⊥OC.∴∠EOC為二面角E-BD-C的平面角．設正方體棱長為a，則CE＝eq\f(a,2)，OC＝eq\f(\r(2),2)a.在Rt△OCE中，tan∠EOC＝eq\f(CE,OC)＝eq\f(\f(a,2),\f(\r(2),2)a)＝eq\f(\r(2),2).所以二面角E-BD-C的正切值為eq\f(\r(2),2).線面、面面垂直的綜合問題的解題策略(1)重視轉化涉及線面垂直、面面垂直的綜合問題的解題關鍵是轉化，即證面面垂直轉化為證線面垂直；證線面垂直轉化為證線線垂直.(2)充分挖掘線面垂直關系解答線面垂直、面面垂直的綜合問題時，通常要先證出一個關鍵的線面垂直關系，由此動身才能證出其他線線垂直、線面垂直關系，因此要留意線面垂直在解題過程中的樞紐作用．1．求二面角大小的步驟簡稱為“一作、二證、三求”．2．平面與平面垂直的判定定理的應用思路(1)本質：通過直線與平面垂直來證明平面與平面垂直，即線面垂直?面面垂直．(2)證題思路：處理面面垂直問題轉化為處理線面垂直問題，進一步轉化為處理線線垂直問題來解決．1．直線l⊥平面α，l?平面β，則α與β的位置關系是()A．平行 B．可能重合C．相交且垂直 D．相交不垂直C[由面面垂直的判定定理，得α與β垂直，故選C.]2．從二面角內一點分別向二面角的兩個面引垂線，則這兩條垂線所夾的角與二面角的平面角的關系是()A．互為余角 B．相等C．其和為周角 D．互為補角D[畫圖知從二面角內一點分別向二面角的兩個面引垂線，則這兩條垂線所夾的角與二面角的平面角互為補角，所以選D.]3．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，二面角A-BC-A145°[依據長方體中的位置關系可知，AB⊥BC