2025屆廣東省東莞市北京師范大學石竹附屬中學數學高三上期末教學質量檢測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設，滿足約束條件，則的最大值是（）A． B． C． D．2．已知,則()A． B． C． D．3．已知實數、滿足不等式組，則的最大值為（）A． B． C． D．4．已知滿足，則的取值范圍為（）A． B． C． D．5．若復數（為虛數單位）的實部與虛部相等，則的值為()A． B． C． D．6．已知無窮等比數列的公比為2，且，則（）A． B． C． D．7．音樂，是用聲音來展現美，給人以聽覺上的享受，熔鑄人們的美學趣味．著名數學家傅立葉研究了樂聲的本質，他證明了所有的樂聲都能用數學表達式來描述，它們是一些形如的簡單正弦函數的和，其中頻率最低的一項是基本音，其余的為泛音．由樂聲的數學表達式可知，所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數倍，稱為基本音的諧波．下列函數中不能與函數構成樂音的是（）A． B． C． D．8．已知雙曲線C：（）的左、右焦點分別為，過的直線l與雙曲線C的左支交于A、B兩點.若，則雙曲線C的漸近線方程為（）A． B． C． D．9．將一張邊長為的紙片按如圖(1)所示陰影部分裁去四個全等的等腰三角形，將余下部分沿虛線折疊并拼成一個有底的正四棱錐模型，如圖(2)放置，如果正四棱錐的主視圖是正三角形，如圖(3)所示，則正四棱錐的體積是()A． B． C． D．10．在中，角的對邊分別為，若．則角的大小為()A． B． C． D．11．一個正三棱柱的正（主）視圖如圖，則該正三棱柱的側面積是（）A．16 B．12 C．8 D．612．已知命題p：“”是“”的充要條件；，，則（）A．為真命題 B．為真命題C．為真命題 D．為假命題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若將函數的圖象沿軸向右平移個單位后所得的圖象與的圖象關于軸對稱，則的最小值為________________.14．已知橢圓C：1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1，F2，橢圓的焦距為2c，過C外一點P(c,2c)作線段PF1，PF2分別交橢圓C于點A、B，若|PA|＝|AF1|，則_____.15．設，則“”是“”的__________條件.16．滿足線性的約束條件的目標函數的最大值為________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在直角中，，，，點在線段上.（1）若，求的長；（2）點是線段上一點，，且，求的值.18．（12分）已知，，不等式恒成立.（1）求證:（2）求證:.19．（12分）在極坐標系中，曲線的極坐標方程為（1）求曲線與極軸所在直線圍成圖形的面積；（2）設曲線與曲線交于，兩點，求.20．（12分）改革開放40年，我國經濟取得飛速發展，城市汽車保有量在不斷增加，人們的交通安全意識也需要不斷加強.為了解某城市不同性別駕駛員的交通安全意識，某小組利用假期進行一次全市駕駛員交通安全意識調查.隨機抽取男女駕駛員各50人，進行問卷測評，所得分數的頻率分布直方圖如圖所示.規定得分在80分以上為交通安全意識強.安全意識強安全意識不強合計男性女性合計（Ⅰ）求的值，并估計該城市駕駛員交通安全意識強的概率；（Ⅱ）已知交通安全意識強的樣本中男女比例為4:1，完成2×2列聯表，并判斷有多大把握認為交通安全意識與性別有關；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，從交通安全意識強的駕駛員中隨機抽取2人，求抽到的女性人數的分布列及期望.附：，其中0.0100.0050.0016.6357.87910.82821．（12分）在平面直角坐標系中，已知橢圓的中心為坐標原點焦點在軸上，右頂點到右焦點的距離與它到右準線的距離之比為．（1）求橢圓的標準方程；（2）若是橢圓上關于軸對稱的任意兩點，設，連接交橢圓于另一點．求證：直線過定點并求出點的坐標；（3）在（2）的條件下，過點的直線交橢圓于兩點，求的取值范圍．22．（10分）設的內角、、的對邊長分別為、、.設為的面積，滿足.(1)求；(2)若，求的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

作出不等式對應的平面區域，由目標函數的幾何意義，通過平移即可求z的最大值．【詳解】作出不等式組的可行域，如圖陰影部分，作直線：在可行域內平移當過點時，取得最大值.由得：，故選：D【點睛】本題主要考查線性規劃的應用，利用數形結合是解決線性規劃題目的常用方法，屬于基礎題.2、B【解析】

利用誘導公式以及同角三角函數基本關系式化簡求解即可．【詳解】，本題正確選項：【點睛】本題考查誘導公式的應用，同角三角函數基本關系式的應用，考查計算能力．3、A【解析】

畫出不等式組所表示的平面區域，結合圖形確定目標函數的最優解，代入即可求解，得到答案．【詳解】畫出不等式組所表示平面區域，如圖所示，由目標函數，化為直線，當直線過點A時，此時直線在y軸上的截距最大，目標函數取得最大值，又由，解得，所以目標函數的最大值為，故選A．【點睛】本題主要考查簡單線性規劃求解目標函數的最值問題．其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標函數的最優解是解答的關鍵，著重考查了數形結合思想，及推理與計算能力，屬于基礎題．4、C【解析】

設，則的幾何意義為點到點的斜率，利用數形結合即可得到結論.【詳解】解：設，則的幾何意義為點到點的斜率，作出不等式組對應的平面區域如圖：由圖可知當過點的直線平行于軸時，此時成立；取所有負值都成立；當過點時，取正值中的最小值，，此時；故的取值范圍為；故選：C.【點睛】本題考查簡單線性規劃的非線性目標函數函數問題，解題時作出可行域，利用目標函數的幾何意義求解是解題關鍵．對于直線斜率要注意斜率不存在的直線是否存在．5、C【解析】

利用復數的除法，以及復數的基本概念求解即可.【詳解】，又的實部與虛部相等，，解得.故選:C【點睛】本題主要考查復數的除法運算，復數的概念運用.6、A【解析】

依據無窮等比數列求和公式，先求出首項，再求出，利用無窮等比數列求和公式即可求出結果。【詳解】因為無窮等比數列的公比為2，則無窮等比數列的公比為。由有，，解得，所以，，故選A。【點睛】本題主要考查無窮等比數列求和公式的應用。7、C【解析】

由基本音的諧波的定義可得,利用可得,即可判斷選項.【詳解】由題,所有泛音的頻率都是基本音頻率的整數倍,稱為基本音的諧波,由,可知若,則必有,故選:C【點睛】本題考查三角函數的周期與頻率,考查理解分析能力.8、D【解析】

設，利用余弦定理，結合雙曲線的定義進行求解即可.【詳解】設，由雙曲線的定義可知：因此再由雙曲線的定義可知：，在三角形中，由余弦定理可知：，因此雙曲線的漸近線方程為：.故選：D【點睛】本題考查了雙曲線的定義的應用，考查了余弦定理的應用，考查了雙曲線的漸近線方程，考查了數學運算能力.9、B【解析】設折成的四棱錐的底面邊長為，高為，則，故由題設可得，所以四棱錐的體積，應選答案B．10、A【解析】

由正弦定理化簡已知等式可得，結合，可得，結合范圍，可得，可得，即可得解的值．【詳解】解：∵，∴由正弦定理可得：，∵，∴，∵，，∴，∴．故選A．【點睛】本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．11、B【解析】

根據正三棱柱的主視圖，以及長度，可知該幾何體的底面正三角形的邊長，然后根據矩形的面積公式，可得結果.【詳解】由題可知：該幾何體的底面正三角形的邊長為2所以該正三棱柱的三個側面均為邊長為2的正方形，所以該正三棱柱的側面積為故選：B【點睛】本題考查正三棱柱側面積的計算以及三視圖的認識，關鍵在于求得底面正三角形的邊長，掌握一些常見的幾何體的三視圖，比如：三棱錐，圓錐，圓柱等，屬基礎題.12、B【解析】

由的單調性，可判斷p是真命題；分類討論打開絕對值，可得q是假命題，依次分析即得解【詳解】由函數是R上的增函數，知命題p是真命題．對于命題q，當，即時，；當，即時，，由，得，無解，因此命題q是假命題．所以為假命題，A錯誤；為真命題，B正確；為假命題，C錯誤；為真命題，D錯誤．故選：B【點睛】本題考查了命題的邏輯連接詞，考查了學生邏輯推理，分類討論，數學運算的能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由題意利用函數的圖象變換規律，三角函數的圖像的對稱性，求得的最小值.【詳解】解：將函數的圖象沿軸向右平移個單位長度，可得的圖象.根據圖象與的圖象關于軸對稱，可得，，，即時，的最小值為.故答案為：.【點睛】本題主要考查函數的圖象變換規律，正弦函數圖像的對稱性，屬于基礎題.14、【解析】

根據條件可得判斷OA∥PF2，且|PF2|＝2|OA|，從而得到點A為橢圓上頂點，則有b＝c，解出B的坐標即可得到比值.【詳解】因為|PA|＝|AF1|，所以點A是線段PF1的中點，又因為點O為線段F1F2的中點，所以OA∥PF2，且|PF2|＝2|OA|，因為點P（c，2c），所以PF2⊥x軸，則|PF2|＝2c，所以OA⊥x軸，則點A為橢圓上頂點，所以|OA|＝b，則2b＝2c，所以b＝c，ac，設B（c，m）（m＞0），則，解得mc，所以|BF2|c，則.故答案為：2.【點睛】本題考查橢圓的基本性質，考查直線位置關系的判斷，方程思想，屬于中檔題.15、充分必要【解析】

根據充分條件和必要條件的定義可判斷兩者之間的條件關系.【詳解】當時，有，故“”是“”的充分條件.當時，有，故“”是“”的必要條件.故“”是“”的充分必要條件，故答案為：充分必要.【點睛】本題考查充分必要條件的判斷，可利用定義來判斷，也可以根據兩個條件構成命題及逆命題的真假來判斷，還可以利用兩個條件對應的集合的包含關系來判斷，本題屬于容易題.16、1【解析】

作出不等式組表示的平面區域，將直線進行平移，利用的幾何意義，可求出目標函數的最大值。【詳解】由，得，作出可行域，如圖所示：平移直線，由圖像知，當直線經過點時，截距最小，此時取得最大值。由，解得，代入直線，得。【點睛】本題主要考查簡單的線性規劃問題的解法——平移法。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）3；（2）.【解析】

（1）在中，利用正弦定理即可得到答案；（2）由可得，在中，利用及余弦定理得，解方程組即可.【詳解】（1）在中，已知，，，由正弦定理，得，解得.（2）因為，所以，解得.在中，由余弦定理得，，即，，故.【點睛】本題考查正余弦定理在解三角形中的應用，考查學生的計算能力，是一道中檔題.18、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】

（1）先根據絕對值不等式求得的最大值，從而得到，再利用基本不等式進行證明；（2）利用基本不等式變形得，兩邊開平方得到新的不等式，利用同理可得另外兩個不等式，再進行不等式相加，即可得答案.【詳解】（1）∵，∴.∵，，，∴，∴，∴.（2）∵，，即兩邊開平方得.同理可得，.三式相加，得.【點睛】本題考查絕對值不等式、應用基本不等式證明不等式，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和推理論證能力.19、（1）；（2）【解析】

（1）利用互化公式，將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程，得出曲線與極軸所在直線圍成的圖形是一個半徑為1的圓周及一個兩直角邊分別為1與的直角三角形，即可求出面積；（2）聯立方程組，分別求出和的坐標，即可求出.【詳解】解：（1）由于的極坐標方程為，根據互化公式得，曲線的直角坐標方程為：當時，，當時，，則曲線與極軸所在直線圍成的圖形，是一個半徑為1的圓周及一個兩直角邊分別為1與的直角三角形，∴圍成圖形的面積.（2）由得，其直角坐標為，化直角坐標方程為，化直角坐標方程為，∴，∴.【點睛】本題考查利用互化公式將極坐標方程化為直角坐標方程，以及聯立方程組求交點坐標，考查計算能力.20、（Ⅰ）.0.2（Ⅱ）見解析，有的把握認為交通安全意識與性別有關（Ⅲ）見解析，【解析】

（Ⅰ）直接根據頻率和為1計算得到答案.（Ⅱ）完善列聯表，計算，對比臨界值表得到答案.（Ⅲ）的取值為，計算概率得到分布列，計算數學期望得到答案.【詳解】（Ⅰ），解得.所以該城市駕駛員交通安全意識強的概率.（Ⅱ）安全意識強安全意識不強合計男性163450女性44650合計2080100，所以有的把握認為交通安全意識與性別有關（Ⅲ）的取值為所以的分布列為期望.【點睛】本題考查了獨立性檢驗，分布列，數學期望，意在考查學生的計算能力和綜合應用能力.21、（1）；（2）證明詳見解析，；（3）.【解析】

(1)根據題意列出關于的等式求解即可.(2)先根據對稱性,直線過的定點一定在軸上,再設直線的方程為,聯立直線與橢圓的方程,進而求得的方程,并代入,化簡分析即可.(3)先分析過點的直線斜率