四川省成都市達標名校2025屆數學高二上期末監測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，為橢圓上關于短軸對稱的兩點，、分別為橢圓的上、下頂點，設，、分別為直線，的斜率，則的最小值為（）A. B.C. D.2．“，”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3．設R，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4．設函數，則（）A.4 B.5C.6 D.75．命題“存在，使得”的否定為（）A.存在， B.對任意，C對任意， D.對任意，6．在平面區域內隨機投入一點P，則點P的坐標滿足不等式的概率是（）A. B.C. D.7．設是等差數列，是其公差，是其前n項的和．若，，則下列結論不正確的是（）A. B.C. D.與均為的最大值8．甲乙兩個雷達獨立工作，它們發現飛行目標的概率分別是0.9和0.8，飛行目標被雷達發現的概率為（）A.0.72 B.0.26C.0.7 D.0.989．從裝有2個紅球和2個白球的口袋內任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是（）A.“至少有1個白球”和“都是紅球”B.“至少有2個白球”和“至多有1個紅球”C.“恰有1個白球”和“恰有2個白球”D.“至多有1個白球”和“都是紅球”10．曲線在處的切線的斜率為（）A.-1 B.1C.2 D.311．命題“，”否定形式是（）A.， B.，C.， D.，12．已知分別表示隨機事件發生的概率，那么是下列哪個事件的概率（）A事件同時發生B.事件至少有一個發生C.事件都不發生D事件至多有一個發生二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，已知，分別是橢圓的左、右焦點，現以為圓心作一個圓恰好經過橢圓的中心并且交橢圓于點，．若過點的直線是圓的切線，則橢圓的離心率為_________14．已知平面，過空間一定點P作一直線l，使得直線l與平面，所成的角都是30°，則這樣的直線l有______條15．已知定點，，P是橢圓上的動點，則的的最小值為______.16．如圖，正四棱錐的棱長均為2，點E為側棱PD的中點．若點M，N分別為直線AB，CE上的動點，則MN的最小值為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）小張在2020年初向建行貸款50萬元先購房，銀行貸款的年利率為4%，要求從貸款開始到2030年要分10年還清，每年年底等額歸還且每年1次，每年至少要還多少錢呢(保留兩位小數)？(提示：(1＋4%)10≈1.48)18．（12分）已知函數（1）討論函數的單調性；（2）若對任意的，都有成立，求的取值范圍19．（12分）已知數列是正項數列，，且.（1）求數列的通項公式；（2）設，數列的前項和為，若對恒成立，求實數的取值范圍.20．（12分）某書店剛剛上市了《中國古代數學史》，銷售前該書店擬定了5種單價進行試銷，每種單價（元）試銷l天，得到如表單價（元）與銷量（冊）數據：單價（元）1819202122銷量（冊）6156504845（l）根據表中數據，請建立關于的回歸直線方程：（2）預計今后的銷售中，銷量（冊）與單價（元）服從（l）中的回歸方程，已知每冊書的成本是12元，書店為了獲得最大利潤，該冊書的單價應定為多少元？附：，，，.21．（12分）在三棱柱中，側面正方形的中心為點平面，且，點滿足（1）若平面，求的值；（2）求點到平面的距離；（3）若平面與平面所成角的正弦值為，求的值22．（10分）2020年10月，中共中央辦公廳、國務院辦公廳印發了《關于全面加強和改進新時代學校體育工作的意見》，某地積極開展中小學健康促進行動，發揮以體育智、以體育心功能，決定在2021年體育中考中再增加一定的分數，規定：考生須參加立定跳遠、擲實心球、一分鐘跳繩三項測試，其中一分鐘跳繩滿分20分，某校為掌握九年級學生一分鐘跳繩情況，隨機抽取了100名學生測試，其一分一分鐘跳繩個數成績(分)1617181920頻率（1）若每分鐘跳繩成績不足18分，則認為該學生跳繩成績不及格，求在進行測試的100名學生中跳繩成績不及格的人數為多少？（2）該學校決定由這次跳繩測試一分鐘跳繩個數在205以上(包括205)的學生組成“小小教練員"團隊，小明和小華是該團隊的成員，現學校要從該團隊中選派2名同學參加某跳繩比賽，求小明和小華至少有一人被選派的概率

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】設出點，的坐標，并表示出兩個斜率、，把代數式轉化成與點的坐標相關的代數式，再與橢圓有公共點解決即可.【詳解】橢圓中：，設則，則，，令，則它對應直線由整理得由判別式解得即，則的最小值為故選：A2、A【解析】由正切函數性質，應用定義法判斷條件間充分、必要關系.【詳解】當，，則，當時，，.∴“，”是“”的充分不必要條件.故選：A3、A【解析】根據不等式性質判斷即可.【詳解】若“”，則成立；反之，若，當，時，不一定成立.如，但.故“”是“”的充分不必要條件.故答案為：A.【點睛】本題考查充分條件、必要調價的判斷，考查不等式與不等關系，屬于基礎題.4、D【解析】求出函數的導數，將x=1代入即可求得答案.【詳解】,故，故選：D.5、D【解析】根據特稱命題否定的方法求解，改變量詞，否定結論.【詳解】由題意可知命題“存在，使得”的否定為“對任意，”.故選：D.6、A【解析】根據題意作出圖形，進而根據幾何概型求概率的方法求得答案.【詳解】根據題意作出示意圖，如圖所示：于，所求概率.故選：A.7、C【解析】由已知條件可以得出，，，即可得公差，再利用等差數列的性質以及前n項的和的性質可判斷每個選項的正誤，進而可得正確選項.【詳解】由可得，由可得，故選項B正確；由可得，因為公差，故選項A正確，，所以，故選項C不正確；由于是等差數列，公差，，，，所以都是的最大值，故選項D正確；所以選項C不正確，故選：C8、D【解析】利用對立事件的概率求法求飛行目標被雷達發現的概率.【詳解】由題設，飛行目標不被甲、乙發現的概率分別為、，所以飛行目標被雷達發現的概率為.故選：D9、C【解析】結合互斥事件與對立事件的概念,對選項逐個分析可選出答案.【詳解】對于選項A,“至少有1個白球”和“都是紅球”是對立事件,不符合題意;對于選項B,“至少有2個白球”表示取出2個球都是白色的,而“至多有1個紅球”表示取出的球1個紅球1個白球,或者2個都是白球,二者不是互斥事件,不符合題意;對于選項C,“恰有1個白球”表示取出2個球1個紅球1個白球,與“恰有2個白球”是互斥而不對立的兩個事件,符合題意;對于選項D,“至多有1個白球”表示取出的2個球1個紅球1個白球,或者2個都是紅球,與“都是紅球”不是互斥事件,不符合題意.故選C.【點睛】本題考查了互斥事件和對立事件的定義的運用,考查了學生對知識的理解和掌握,屬于基礎題.10、D【解析】先求解出導函數，然后代入到導函數中，所求導數值即為切線斜率.【詳解】因為，所以，所以切線的斜率為.故選：D.11、C【解析】利用含有一個量詞的命題的否定的定義求解.【詳解】因為命題“，是特稱命題，所以其否定是全稱命題，即為，故選：C12、C【解析】表示事件至少有一個發生概率，據此得到答案.【詳解】分別表示隨機事件發生的概率，表示事件至少有一個發生的概率，故表示事件都不發生的概率.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】根據給定條件探求出橢圓長軸長與其焦距的關系即可計算作答.【詳解】設橢圓長軸長為，焦距為，即，依題意，，而直線是圓的切線，即，則有，又點在橢圓上，即，因此，，從而有，所以橢圓的離心率為.故答案為：14、4【解析】設平面，在平面內作于點O，在平面內過點O作，設OM是的角平分線，過棱m上一點P作，則過點O在平面OMQP上存在2條直線l，使得直線l與OB、OA成，直線l與平面且與平面，所成的角都是30°，在的補角一側也存在2條滿足條件的直線l，由此可得答案.【詳解】解：設平面，在平面內作于點O，在平面內過點O作，因為平面，所以，設OM是的角平分線，則，過棱m上一點P作，則過點O在平面OMQP上存在2條直線l，使得直線l與OB、OA成，此時直線l與平面且與平面，所成的角都是30°，同理，在的補角一側也存在2條滿足條件的直線l，所以這樣的直線l有4條，故答案為：4.15、##【解析】根據橢圓的定義可知，化簡并結合基本不等式可求的的最小值.【詳解】由題可知：點，是橢圓的焦點，所以，所以，即，當且僅當時等號成立，即時等號成立.所以的最小值為，故答案為：.16、【解析】根據題意，先建立空間直角坐標系，然后寫出相關點的坐標，再寫出相關的向量，然后根據點分別為直線上寫出點的坐標，這樣就得到，然后根據的取值范圍而確定【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，則有：，，，，，可得：設，且則有：，可得：則有：故則當且僅當時，故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、每年至少要還6.17萬元.【解析】根據貸款總額和還款總額相等，50(1＋4%)10=x·(1＋4%)9＋x·(1＋4%)8＋…＋x，求解即可.【詳解】50萬元10年產生本息和與每年還x萬元的本息和相等，故有購房款50萬元十年的本息和：50(1＋4%)10，每年還x萬元的本息和：x·(1＋4%)9＋x·(1＋4%)8＋…＋x＝，從而有50(1＋4%)10＝，解得x≈6.17，即每年至少要還6.17萬元.18、（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）求，分別討論不同范圍下的正負，分別求單調性；（2）由（1）所求的單調性，結合，分別求出的范圍再求并集即可.【詳解】解：（1）由已知定義域為，當，即時，恒成立，則在上單調遞增；當，即時，（舍）或，所以在上單調遞減，在上單調遞增.所以時，在上單調遞增；時，在上單調遞減，在上單調遞增.（2）由（1）可知，當時，在上單調遞增，若對任意的恒成立，只需，而恒成立，所以成立；當時，若，即，則在上單調遞增，又，所以成立；若，則在上單調遞減，在上單調遞增，又，所以，，不滿足對任意的恒成立.所以綜上所述：.19、（1）（2）【解析】（1）由條件因式分解可得，從而得到，即可得出答案.（2）由（1）可得，由錯位相減法求和得到，由題意即即對恒成立，分析數列的單調性，得出答案.【小問1詳解】由，得∵∴∴∴數列是公比為2的等比數列.∵，∴.【小問2詳解】由（1）知，∴∴①∴②①-②得∴∴由對恒成立得對恒成立即對恒成立，又是遞減數列∴時得到最大值∴，即∴的取值范圍是.20、(1)(2)當單價應定為22.5元時，可獲得最大利潤【解析】（l）先計算的平均值，再代入公式計算得到（2）計算利潤為：計算最大值.【詳解】解：（1），，，所以對的回歸直線方程為：（2）設獲得的利潤為，，因為二次函數的開口向下，所以當時，取最大值，所以當單價應定為22.5元時，可獲得最大利潤【點睛】本題考查了回歸方程，函數的最值，意在考查學生的計算能力.21、（1）；（2）；（3）或.【解析】(1)連接ME，證明即可計算作答.(2)以為原點，的方向分別為軸正方向建立空間直角坐標系，借助空間向量計算點到平面的距離即可.(3)由(2)中空間直角坐標系，借助空間向量求平面與平面所成角的余弦即可計算作答.【小問1詳解】在三棱柱中，因，即點在上，連接ME，如圖，因平面面，面面，則有，而為中點，于是得為的中點，所以.【小問2詳解】在三棱柱中，面面，則點到平面的距離等于點到平面的距離，又為正方形，即，而平面，以為原點，的方向分別為軸正方向建立空間直角坐標系，如圖，依題意，，則，，設平面的法向量為，則，令，得，又，則到平面的距離，所以點到平面的距離為.【小問3詳解】因，則，，設面的法向量為，則，令，得，于是得，而平面與平面所成角的正弦值為，則，即，整理得，解得或，所以的值是或.【點睛】易錯點睛：空間向量求二面角時，一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想進行向量運算，要認真細心，準確計算.22、（1）14人；（2）.【解析】（1）根據頻率直方表區間成績及其對應的頻率，即可求每分鐘跳繩成績不足18分的人數.（2）由表格數據求出一