第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年鄭州市高新區楓楊外國語學校九年級（上）第一次月考數學試卷一、選擇題：本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列圖形中，不是軸對稱圖形的是(

)A.矩形 B.菱形 C.平行四邊形 D.正方形2.如圖，一個小球從A點沿制定的軌道下落，在每個交叉口都有向左或向右兩種機會均相等的結果，那么，小球最終到達H點的概率是(

)A.12

B.14

C.163.用配方法解下列方程時，配方有錯誤的是(

)A.x2+8x+9=0化為(x+4)2=25

B.x2?2x?99=0化為(x?1)2=1004.下列說法中正確的是(

)A.對角線相等的四邊形是矩形

B.在大量重復試驗中，隨著試驗次數的增加，頻率就是概率

C.若順次連接某四邊形的四邊中點得到一個正方形，則原四邊形一定是正方形

D.如果一個三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形5.如圖，在正方形ABCD外側，作等邊三角形ADE，AC，BE相交于點F，則∠BFC為(

)A.75°

B.60°

C.55°

D.45°6.若方程8x2+2kx+k?1=0的兩個實數根是x1，x2且滿足x1A.?2或6 B.?2 C.6 D.47.如圖，在△ABC中，點D是邊BC上的點(與B，C兩點不重合)，過點D作DE//AC，DF//AB，分別交AB，AC于E，F兩點，下列說法正確的是(

)

A.若AD⊥BC，則四邊形AEDF是矩形

B.若AD垂直平分BC，則四邊形AEDF是矩形

C.若BD=CD，則四邊形AEDF是菱形

D.若AD平分∠BAC，則四邊形AEDF是菱形8.歐幾里得的《幾何原本》記載，對于形如x2+ax=b2的方程，可用如圖解法：作直角三角形ABC，其中∠C=90°，AC=b，BC=a2，在斜邊AB上截取A.線段AC的長 B.線段BC的長 C.線段AD的長 D.線段CD的長9.如圖，在正方形ABCD的邊CD上有一點E，連接AE，把AE繞點E逆時針旋轉90°，得到FE，連接CF并延長與AB的延長線交于點G.則FGCE的值為(

)A.2

B.3

C.310.如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=10cm，BC=16cm，動點P從點A開始沿邊AB向點B以1cm/s的速度移動，動點Q從點B開始沿邊BC向點C以2cm/s的速度移動，連接PQ.如果P，Q兩點分別從A，B兩點同時出發，出發時間為t(t>0，單位：s).有下列結論：

①△PBQ面積的最大值為25cm2．

②出發時間t有兩個不同的值滿足△PBQ的面積為9cm2．

③PQ的長可以是8cm．

其中，正確結論的個數是A.0 B.1 C.2 D.3二、填空題：本題共5小題，每小題3分，共15分。11.請寫出一個使一元二次方程x2+5x+b=0有實數根的b值：______．12.某農科所試驗田有3萬棵水稻.為了考察水稻穗長的情況，于同一天從中隨機抽取了50個稻穗進行測量，獲得了它們的長度x(單位：cm)，數據整理如下：稻穗長度x<5.05.0≤x<5.55.5≤x<6.06.0≤x<6.5x≥6.5稻穗個數5816147根據以上數據，估計此試驗田的3萬棵水稻中“良好”(穗長在5.5≤x<6.5范圍內)的水稻數量為______萬棵．13.方程x2?9x+18=0的兩個根是等腰三角形的底和腰，則這個等腰三角形的周長為______．14.如圖，在矩形ABCD中，AD=2，AB=4，E、F分別是AB、CD邊上的動點，EF⊥AC，則AF+CE的最小值為______．15.如圖，矩形ABCD中，AD=5，AB=7，點E為DC上一個動點，把△ADE沿AE折疊，當點D的對應點D′落在∠ABC的角平分線上時，DE的長為______．三、解答題：本題共8小題，共64分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。16.(本小題8分)

解方程：(1)(x?3)2?9=0；

(2)(x?317.(本小題8分)

已知四邊形ABCD為正方形，點E在BC邊上，連接AE．

(1)尺規作圖：過點B作BF⊥AE于點H，交CD于點F(保留作圖痕跡，不寫作法)；

(2)求證：AE=BF.(請補全下面的證明過程)

證明：∵在正方形ABCD中，

∴AB=BC，∠ABE=∠______=90°，

∴∠ABH+∠CBF=90°，

∵BF⊥AE，

∴∠AHB=∠EHB=90°，

∴∠ABH+∠BAE=90°，

∴______．

∴△ABE≌△BCF(ASA)，

∴AE=______．

通過上面的操作，進一步探究得到這樣的結論；兩端點在正方形的一組對邊上且______的線段長相等．18.(本小題8分)

已知關于x的一元二次方程x2?6mx+9m2?1=0．

(1)求證：方程有兩個不相等的實數根；

(2)設此方程的兩個根分別為x1，x2，且x19.(本小題8分)

如圖，某校食堂實行統一配餐，為方便學生取餐，食堂開設了4個窗口，分別記為①、②、③、④，學生可以從這4個窗口中任意選取一個窗口取餐．

(1)若小明去食堂用餐時4個窗口都沒有人，則小明選擇在②號窗口取餐的概率是______；

(2)若小紅和小麗一起去食堂用餐時4個窗口都沒有人，求小紅和小麗在相鄰窗口取餐的概率.(請用畫樹狀圖或列表等方法說明理由)20.(本小題8分)

如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AE⊥BD于點E，CG⊥BD于點F，FG=CF，連接AG．

(1)求證：四邊形AEFG是矩形；

(2)若∠ABD=30°，AG=2AE=6，求BD的長．21.(本小題8分)

閱讀材料，并解決問題．

【學習研究】我國古代數學家趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載了一元二次方程的幾何解法，以x2+2x?35=0為例，構造方法如下：

首先將方程x2+2x?35=0變形為x(x+2)=35，然后畫四個長為x+2，寬為x的矩形，按如圖①所示的方式拼成一個“空心”大正方形，則圖①中大正方形的面積可表示為(x+x+2)2，還可表示為四個矩形與一個邊長為2的小正方形面積之和，即4x(x+2)+22=4×35+4.因此，可得新方程(x+x+2)2=144.因為x表示邊長，所以2x+2=12，即x=5.遺憾的是，這樣的做法只能得到方程的其中一個正根．

【類比遷移】小穎根據以上解法解方程2x2+3x?2=0，請將其解答過程補充完整：

第一步：將原方程變形為x2+32x?1=0，即x(______)=1；

第二步：利用四個全等的矩形構造“空心”大正方形；(在畫圖區畫出示意圖，標明各邊長)

第三步：根據大正方形的面積可得新的方程______，解得原方程的一個根為______；

【拓展應用】一般地，對于形如22.(本小題8分)

東新社區為了解決社區停車難的問題，利用一塊矩形空地ABCD建了一個小型停車場，其布局如圖所示.已知AD=50m，AB=30m，陰影部分設計為停車位，要鋪花磚，其余部分均為寬度為x米的道路.已知鋪花磚的面積(即期影面積)為800m2．

(1)求道路的寬是多少米？

(2)該停車場共有車位50個，據調查分析，當每個車位的月租金為200元時，可全部租出；若每個車位的月租金每上漲5元，就會少租出1個車位.當每個車位的月租金上漲多少元時，停車場的月租金收入為1012023.(本小題8分)

定義：只有一組對角是直角的四邊形叫做損矩形，連接它的兩個非直角頂點的線段叫做這個損矩形的直徑．如圖1，∠ABC=∠ADC=90°，四邊形ABCD是損矩形，則該損矩形的直徑是線段AC.同時我們還發現損矩形中有公共邊的兩個三角形角的特點：在公共邊的同側的兩個角是相等的．如圖1中：△ABC和△ABD有公共邊AB，在AB同側有∠ADB和∠ACB，此時∠ADB=∠ACB；再比如△ABC和△BCD有公共邊BC，在CB同側有∠BAC和∠BDC，此時∠BAC=∠BDC．

(1)請在圖1中再找出一對這樣的角來：______=______；

(2)如圖2，△ABC中，∠ABC=90°，以AC為一邊向外作菱形ACEF，D為菱形ACEF對角線的交點，連接BD．

①四邊形ABCD______損矩形(填“是”或“不是”)；

②當BD平分∠ABC時，判斷四邊形ACEF為何種特殊的四邊形？請說明理由；

③若∠ACE=60°，AB=4，BD=53，求BC的長．

參考答案1.C

2.B

3.A

4.D

5.B

6.B

7.D

8.C

9.A

10.B

11.5(答案不唯一)

12.1.8

13.15

14.5

15.52或516.解：(1)方程變形得：(x?3)2=9，

開方得：x?3=3或x?3=?3，

解得：x1=6，x2=0；

(2)方程變形得：(x?3)(5x?3)=0，

可得x?3=0或5x?3=0，17.(1)解：如圖，BF即為所求；

(2)證明：∵正方形ABCD，

∴AB=BC，∠ABE=∠C=90°，

∴∠ABH+∠CBF=90°，

∵BF⊥AE，

∴∠AHB=∠EHB=90°，

∴∠ABH+∠BAE=90°，

∴∠CBF=∠BAE，

∴△ABE≌△BCF(ASA)，

∴AE=BF；

通過上面的操作，進一步探究得到這樣的結論：兩端點在正方形的一組對邊上且垂直的線段長相等．

18.(1)證明：∵Δ=(?6m)2?4(9m2?1)

=4>0，

∴方程有兩個不相等的實數根；

(2)解：x=6m±42×1=3m±1，

∵x1<x2，

∴x1=3m?1，19.(1)14；

(2)畫樹狀圖如下：

共有16種等可能的結果，其中小紅和小麗在相鄰窗口取餐的結果有6種，即①②、②①、②③、③②、③④、④③，

∴小紅和小麗在相鄰窗口取餐的概率為620.(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD，AB//CD，

∴∠ABE=∠CDF，

∵AE⊥BD，CG⊥BD，

∴AE//CG，∠AEB=∠AEF=∠CFD=90°，

∴△ABE≌△CDF(AAS)，

∴AE=CF，

∵FG=CF，

∴四邊形AEFG是平行四邊形，

又∵∠AEF=90°，

∴平行四邊形AEFG是矩形；

(2)解：∵AG=2AE=6，

∴AE=3，

由(1)可知，四邊形AEFG是矩形，

∴EF=AG=6，

∵∠ABD=30°，

∴AB=2AE=6，

∴BE=AB2?AE2=62?32=321.解：【類比遷移】x+32，(x+x+32)2=4×1+(32)2，x=12；

【拓展應用】∵x2+ax=b，

∴x2+ax=b，

∴x(x+a)=b，

∴四個小矩形的面積各為b，大正方形的面積是(x+x+a)2，其中它又等于四個矩形的面積加上中間小正方形的面積，即4×b+a2，

∵圖②是由4個面積為3的相同矩形構成，中間圍成的正方形面積為4，

∴b=3，a2=4，

解得：b=3，a=±2，

當a=2時，(x+x+2)2=4×3+4，2x+2=4，x=1，方程的一個正根為1；

22.解：(1)道路的寬為x米，

由題意得：(50?2x)(30?2x)=800，

整理得：x2?40x+175=0，

解得：x1=35(不合題意，舍去)，x2=5，

答：道路的寬是5米；

(2)設每個車位的月租金上漲y元時，停車場的月租金收入為10120元，

由題意得：(200+y)(50?y5)=10120，

整理得：y2?50y+600=0，

解得：y1=20，y223.(1)∠ABD，∠ACD(或∠DAC，∠DBC)；

(2)①是；

②四邊形ACEF為正方形