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文檔簡介

習題課級數的收斂、求和與展開三、冪級數和函數的求法四、函數的冪級數法一、數項級數的審斂法二、求冪級數收斂域的方法

第8章

求和展開(在收斂域內進行)基本問題：判別斂散；求收斂域；求和函數；級數展開.為傅里葉級數.為傅氏系數)時,時為數項級數;時為冪級數;一、數項級數的審斂法1.利用部分和數列的極限判別級數的斂散性2.正項級數審斂法必要條件不滿足發散滿足比值審斂法根值審斂法收斂發散不定比較審斂法用它法判別積分審斂法部分和極限3.任意項級數審斂法為收斂級數Leibniz審斂法:若且則交錯級數收斂,概念:且余項若收斂,稱絕對收斂若發散,稱條件收斂例1.

若級數均收斂,且證明級數收斂.證:

則由題設收斂收斂收斂判別下列級數的斂散性:提示:(1)據比較審斂法的極限形式,原級數發散.∴原級數發散故原級數收斂發散,收斂,用洛必達法則,原級數發散時收斂;時,為p

級數時收斂;時發散.時發散.設正項級數和也收斂.法1

由題設根據比較審斂法的極限形式知結論正確.都收斂,證明級數法2

因故存在N>0,當n>N時從而再利用比較法可得結論設級數收斂,且是否也收斂？說明理由.但對任意項級數卻不一定收斂.問級數提示:

對正項級數,由比較判別法可知級數收斂,收斂,級數發散.例如,取討論下列級數的絕對收斂性與條件收斂性:提示:(1)p>1

時,絕對收斂;0<p≤1

時,條件收斂;p≤0

時,發散.(2)故原級數絕對收斂.因單調遞減,且但對所以原級數僅條件收斂

.由Leibniz審斂法知級數收斂

;因所以原級數絕對收斂.二、求冪級數收斂域的方法?

標準形式冪級數:先求收斂半徑R:再討論?非標準形式冪級數通過換元轉化為標準形式直接用比值法或根值法處的斂散性.求下列級數的斂散域:練習:(自證)

解:當因此級數在端點發散,時,時原級數收斂.故收斂域為解:

因故收斂域為級數收斂;一般項不趨于0,級數發散;例2.解:

分別考慮偶次冪與奇次冪組成的級數極限不存在∵原級數=∴其收斂半徑注意:此題?求部分和式極限三、冪級數和函數的求法求和?

映射變換法逐項求導或求積分對和函數求積或求導難直接求和:直接變換,間接求和:轉化成冪級數求和,再代值求部分和等?初等變換法:分解、套用公式（在收斂區間內）?

數項級數求和例3.

求冪級數法1

易求出級數的收斂域為法2先求出收斂區間則設和函數為練習:解:(1)顯然x=0

時上式也正確,故和函數為而在x≠0求下列冪級數的和函數：級數發散,(4)x≠0顯然x=0

時,級數收斂于0,根據和函數的連續性,有x=1時,級數也收斂.即得又練習:解:

原式=的和.求級數例3四、函數的冪級數展開法?

直接展開法?間接展開法練習:1)

將函數展開成

x

的冪級數.—利用已知展式的函數及冪級

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