專題5.4相交線與垂線（考點分類拓展）【考點目錄】【考點1】旋轉問題；【考點2】折疊與重合問題；【考點3】最值問題；【考點4】三角板角度計算問題；單選題【考點1】旋轉問題1．（2022上·內蒙古烏海·七年級校考期末）如圖，點O在直線AB上，過O作射線OC，∠BOC＝120°，一直角三角板的直角頂點與點O重合，邊OM與OB重合，邊ON在直線AB的下方．若三角板繞點O按每秒10°的速度沿逆時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，第t秒時，直線ON恰好平分銳角∠AOC，則t的值為（

）A．5 B．6 C．5或23 D．6或242．（2022下·北京·七年級北理工附中校考期中）如圖，直線，相交于點，在內部畫射線OA，使OC恰為的平分線，在內部畫射線OB，使，將直線繞點旋轉，下列數據與大小變化無關的是（

）的度數 B．的度數 C．的度數 D．的度數3．（2021下·北京海淀·七年級統考期中）如圖，直線AB，CD相交于點O，分別作∠AOD，∠BOD的平分線OE，OF．將直線CD繞點O旋轉，下列數據與∠BOD大小變化無關的是（

）A．∠AOD的度數 B．∠AOC的度數C．∠EOF的度數 D．∠DOF的度數【考點2】折疊與重合問題4．（2022下·山東濟南·六年級統考期末）如圖，在紙片上有一直線l，點A在直線l上，過點A作直線l的垂線、嘉嘉使用了量角器，過90°刻度線的直線a即為所求；淇淇過點A將紙片折疊，使得以A為端點的兩條射線重合，折痕a即為所求，下列判斷正確的是（

）A．只有嘉嘉對 B．只有淇淇對C．兩人都對 D．兩人都不對5．（2018下·七年級課時練習）在同一平面內，直線a、b相交于O，b∥c，則a與c的位置關系是（

）A．平行 B．相交 C．重合 D．平行或重合【考點3】最值問題6．（2023下·陜西西安·七年級校考期中）如圖，在中，，于點D，，若點E在邊AB上（不與點A，B重合）移動，則線段最短為（

）

A．3 B．4 C．5 D．67．（2023上·江蘇無錫·八年級無錫市太湖格致中學校考階段練習）如圖，直線，垂足為O，點A是射線上一點，，以為邊在右側作，且滿足，若點B是射線上的一個動點（不與點O重合），連結，作的兩個外角平分線交于點C，在點B在運動過程中，當線段取最小值時，的度數為（

）

A． B． C． D．【考點4】三角板角度計算問題8．（2021上·浙江嘉興·七年級統考期末）將一把直尺和一塊三角板如圖疊放，直尺的一邊剛好經過直角三角板的直角頂點且與斜邊相交，則與一定滿足的數量關系是（）A． B． C． D．9．（2015下·湖北武漢·七年級階段練習）將一直角三角板與兩邊平行的紙條如圖所示放置，若∠1=2∠2，則∠3的度數是（

）A．100° B．120° C．130° D．150°填空題【考點1】旋轉問題10．（2023下·山東威海·六年級統考期末）如圖①，點O在直線上，，，將繞點O以每秒的速度按逆時針方向旋轉（如圖②），當旋轉到第t秒時，平分，則t的值為．11．（2023上·河南南陽·七年級校聯考期末）【動手操作】如圖，點為直線上一點，過點作射線，使．將直角三角板繞點旋轉一周，當直線與直線互相垂直時，的度數是．

12．（2022下·北京·七年級校考階段練習）如圖，為直線上一點，將一直角三角板的直角頂點放在點處，一邊在射線上，另一邊在直線的上方．將三角板繞點以每秒3°的速度沿逆時針方向旋轉一周．則經過秒后，．13．（2022上·江西贛州·七年級統考期末）如圖，點O在直線AB上，過O作射線OC，∠BOC=100°，一直角三角板的直角頂點與點O重合，邊OM與OB重合，邊ON在直線AB的下方．若三角板繞點O按每秒10°的速度沿逆時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，第t秒時，直線ON恰好平分銳角∠AOC，則t的值為．【考點2】折疊與重合問題14．（2015下·七年級課時練習）如圖所示，矩形ABCD沿EF折疊，若∠DEF＝72°，則∠AEG的度數為．15．（2021上·北京通州·七年級統考期末）點為線段上一點，不與點、重合，于點，若，則的度數為．【考點3】最值問題16．（2023上·山東濟寧·八年級統考期中）如圖，中，，D為邊上的任意一點，連接，E為線段上的一個動點，過點E作，垂足為F點．如果，，，則的最小值為．17．（2022下·湖北孝感·七年級統考期末）如圖，于點D，，，，點E是線段上的一個動點（包括端點），連接，那么的最小值是．

【考點4】三角板角度計算問題18．（2023上·山西太原·七年級統考期末）如圖，將直角三角板的直角頂點落在直線上，射線平分，，將三角板繞點旋轉（旋轉過程中與均指大于且小于的角）．

請從A，B兩題中任選一題作答．我選擇題．A．當三角板整體都在直線上方時，的度數為（用含的代數式表示）．B．將三角板繞點旋轉一周，的度數為（用含的代數式表示）．19．（2023下·江蘇蘇州·七年級星海實驗中學校考開學考試）如圖，某位同學將一副三角板隨意擺放在桌上，則圖中的度數．解答題【考點1】旋轉問題20．（2022上·四川成都·七年級統考期末）已知：O是直線上的一點，是直角，平分鈍角．

（1）如圖1，若，求的度數；（2）如圖2，平分，求的度數；（3）當時，繞點O以每秒沿逆時針方向旋轉t秒（），請探究和之間的數量關系．21．（2022上·遼寧沈陽·七年級沈陽市第四十三中學校考期末）如圖1，已知，點O為直線上一點；在直線的上方，．一直角三角板的直角頂點放在點C處，三角板一邊在射線上，另一邊ON在直線的下方．（1）在圖1的時刻，的度數為，的度數為；（2）如圖2，當三角板繞點O旋轉至一邊恰好平分時，的度數為；（3）如圖3，當三角板繞點O旋轉至一邊在的內部時，的度數為；（4）在三角板繞點O旋轉一周的過程中，與的關系為．【考點2】折疊與重合問題22．（2015下·七年級課時練習）如圖，取一張正方形紙片ABCD．如圖①，折疊∠A，設頂點A落在點A′的位置，折痕為EF；如圖②，折疊∠B，使EB沿EA′的方向落下，折痕為EG．試判斷∠FEG的度數是否是定值，并說明理由．23．（2022上·江蘇·七年級專題練習）點O為直線l上一點，射線均與直線l重合，如圖1所示，過點O作射線和射線，使得，，作的平分線．（1）求與的度數；（2）作射線，使得，請在圖2中畫出圖形，并求出的度數；（3）如圖3，將射線從圖1位置開始，繞點O以每秒的速度逆時針旋轉一周，作的平分線，當時，求旋轉的時間．【考點3】最值問題24．（2018上·江蘇鹽城·七年級校聯考期末）如圖，、、是平面內三點.（1）按要求作圖：①作射線，過點作直線，使、兩點在直線兩旁；②點為直線上任意一點，點為直線上任意一點，連結線段、；在（1）所作圖形中，若點到直線的距離為2，點到直線的距離為5，點、之間的距離為8，點、之間的距離為6，則的最小值為_______，依據是_______.25．（2022下·北京·七年級北京市第二中學分校校聯考期中）如圖，A、B、C是平面內三點．（1）按要求作圖：①作射線BC，過點B作直線l，使A、C兩點在直線l兩旁；②點P為直線l上任意一點，點Q為直線BC上任意一點，連接線段AP、PQ；（2）在（1）所作圖形中，若點A到直線l的距離為2，點A到直線BC的距離為5，點A、B之間的距離為8，點A、C之間的距離為6，則AP+PQ的最小值為__________，依據是__________【考點4】三角板角度計算問題26．（2023下·河北邯鄲·七年級統考期中）如圖，將一塊直角三角板的直角頂點O放在直線上．（1）若線段的長是點C到直線的距離，則點D在直線______（填“上”或“外”）．（2）比較與的大小，并說明理由．27．（2022上·重慶潼南·七年級統考期末）如圖，點是直線上一點，在直線的上方作射線，使，將一個直角三角板的直角頂點放在點處（注：），且直角三角板始終保持在直線的上方．（1）如圖1，若直角三角板的一邊在射線上，則的度數=______；（2）如圖2，若直角三角板的邊在的內部．當平分時，試判斷平分嗎？并說明理由．（3）若，求的度數．參考答案：1．D【分析】分別討論ON的反向延長線恰好平分銳角∠AOC和ON在∠AOC的內部；兩種情況，根據角平分線的定義及角的和差關系即可得答案．解：∵∠BOC=120°，∴∠AOC=60°，①如圖，當ON的反向延長線恰好平分銳角∠AOC時，∴∠BON=∠AOC=30°，此時，三角板旋轉的角度為90°?30°=60°，∴t=60°÷10°=6；②如圖，當ON在∠AOC的內部時，∴∠CON=∠AOC=30°，∴三角板旋轉的角度為90°+120°+30°=240°，∴t=240°÷10°=24；∴t的值為：6或24．故選：D．【點撥】此題考查了角平分線的定義及角的運算，解題的關鍵是靈活運用分類討論的思想．2．B【分析】根據角平分線和對頂角相等分別找到與各個選項的角度的關系即可．解：∵，相交于點，∴=，A選項不符合題意；∵OC恰為的平分線，∴=，D選項不符合題意；∵=180°∴=180°，C選項不符合題意；故選：B【點撥】本題主要考查對頂角相等、角平分線的定義，準確找到與各個選項的角度的關系最后利用排除法得到正確答案是解題的關鍵．3．C【分析】由角平分線性質解得，根據對角線性質、平角性質解得，，據此解題．解：OE，OF平分∠AOD，∠BOD都與∠BOD大小變化有關，只有∠EOF的度數與∠BOD大小變化無關，故選：C．【點撥】本題考查角平分線的性質、涉及對頂角、平角等知識，是基礎考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵．4．C【分析】根據垂直的定義即可解答．解：嘉嘉利用量角器畫90°角，可以畫垂線，方法正確；淇淇過點A將紙片折疊，使得以A為端點的兩條射線重合，折痕a垂直直線l，方法正確，故選：C．【點撥】本題主要考查了作圖、垂線的定義，掌握垂直的定義是解答本題的關鍵．5．B解：根據平面內的直線之間的關系，由題意可知a與c相交.如圖：故選B.6．D【分析】根據垂線段最短得到時，線段最短，利用三角形的面積計算方法求出最小值.解：根據垂線段最短可知，當時，線段最短，這時，∵，∴，故選D.【點撥】此題考查了垂線段最短，三角形的面積，熟練掌握線段的性質是解本題的關鍵．7．D【分析】作，，，作射線，由角平分線的性質得，可得平分，進而知，，當時，最小，此時點C在處，再由可得答案．解：作于點E，作于點G，作于點H，作射線．

∵平分，，，，∴．同理：，∴，∴平分，∴．∵，∴．根據題意可知點C在的平分線上運動，當時，最小，此時點C在處．在中，．所以，當線段最小時，的度數是．故選：D．【點撥】本題主要考查了角平分線的性質定理和逆定理，垂線段最短，角的和差等，構造輔助線是解題的關鍵．8．D【分析】根據直角和鄰補角的定義列出關系式，從而利用等式的性質計算求解．解：由題意可得：∠1+∠3=90°，∠2+∠3=180°∴∠3=90°∠1，∠3=180°∠2∴90°∠1=180°∠2∴故選：D．【點撥】本題考查直角和鄰補角的概念及等式的性質，掌握相關性質正確列關系式求解是關鍵．9．D解：試題分析：根據圖形可得：∠1+∠2=90°，又∠1=2∠2，所以3∠2=90°，所以∠2=30°，又∠3+∠2=180°，所以∠3=180°30°=150°，故選D．考點：1．互余，2．互補．10．60【分析】本題考查角平分線的定義、一元一次方程的幾何應用，先求得，再根據角平分線的定義得到，然后根據題意列方程求解即可．正確得到關于t的方程是解答的關鍵．解：∵，∴，∵，∴，∵將繞點O以每秒的速度按逆時針方向旋轉t秒時，平分，∴，則，解得，故答案為：60．11．或【分析】分在直線的右側和在直線的左側兩種情況求解即可．解：∵，∴．當在直線的右側時，如圖，

∵，∴，∴．當在直線的左側時，如圖，

∵，∴，∴．故答案為：或．【點撥】本題考查了垂直的定義，角的和差計算，數形結合是解答本題的關鍵．12．10或70/70或10【分析】分兩種情況討論，利用旋轉的性質即可求解．解：如圖，，∵，，∴，，∵將三角板繞點以每秒3°的速度沿逆時針方向旋轉，∴（秒）；如圖，，∵，，∴，，∵將三角板繞點以每秒3°的速度沿逆時針方向旋轉，∴旋轉角為，∴（秒）；故答案為：10或70．【點撥】本題考查了垂直的定義、角的和差等知識，解題的關鍵是理解題意，畫出圖形，利用垂直的定義求解即可．13．5或23/23或5【分析】分兩種情況進行討論，分別依據直線ON恰好平分銳角∠AOC，得到三角板旋轉的度數，進而得到t的值．解：∵∠BOC=100°，∴∠AOC=80°，當直線ON恰好平分銳角∠AOC時，如下圖：∠BON=∠AOC=40°，此時，三角板旋轉的角度為90°40°=50°，∴t=50°÷10°=5；當ON在∠AOC的內部時，如下圖：三角板旋轉的角度為360°90°40°=230°，∴t=230°÷10°=23；∴t的值為：5或23．故答案為：5或23．【點撥】本題考查了角平分線的定義，應該認真審題并仔細觀察圖形，找到各個量之間的關系，是解題的關鍵．14．36°解：根據圖形的折疊變換可得∠DEG＝2∠DEF＝144°，根據鄰補角的性質可知∠AEG＝180°－∠DEG＝36°．15．或【分析】分OC，OD在AB的同側和異側兩種情況討論來求解．解：如圖,當OC，OD在線段AB的同側時，，，，，∵，∴,當OC，OD在線段AB的異側時，反向延長OD到E，，，，，∵，∴,，綜上，或；故答案為：或【點撥】本題主要考查了平角定義，垂線定義及角的計算，討論OC，OD在線段AB的同側和異側是解本題的關鍵．16．/【分析】本題考查了軸對稱最短路線問題，正確運用三角形等面積法是解題的關鍵．過C作于F，交于E．則的最小值為，利用三角形等面積法求出，即為的最小值．解：過C作于F，交于E，則的最小值為．∵，，，∴，∴CF=，即的最小值為：，故答案為：．17．3【分析】根據垂線段最短的性質，即可得到當時，取最小值，即可解答．解：由題意得，當時，取最小值，此時，故答案為：3．【點撥】本題考查了垂線段最短，熟知本概念是解題的關鍵．18．A或B或【分析】選A：根據補角的定義求出，再根據角平分線的定義求出，結合三角板的度數計算即可；選B：同A的方法計算即可．解：選A：∵，∴，∵平分，∴，∵，∴；選B：當在上方時，同A可得：；

當在下方時，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴；

故答案為：；或．【點撥】本題考查了角平分線的定義，鄰補角，分類討論等知識；熟練掌握角平分線定義是解題的關鍵．19．/度【分析】先根據三角形內角和定理得到，再由對頂角相等得到，由此即可得到答案．解：如圖所示，由題意得，，∴，∵，∴，故答案為：．【點撥】本題主要考查了對頂角相等，三角板中角度的計算，正確推出是解題的關鍵．20．（1）；（2）；（3），；，【分析】（1）根據是直角和交平分線的性質求解即可；（2）根據是直角和交平分線的性質求解即可；（3）分兩種情況討論：時，時．（1）解：∵，∴，∵是直角，∴，∵平分．，∴，∴；（2）解：∵平分，平分，∴，∴，∵是直角，∴；（3）解：①時，由題意得，

∴∴；②時，

由題意得∴∴；【點撥】本題考查相交線，涉及到角平分線的性質、垂直的性質等，靈活運用所學知識是關鍵．21．（1）120，150；（2）30；（3）30；（4）或，或，或【分析】本題考查了角的計算，角平分線的定義，認真審題并仔細觀察圖形，熟記角平分線的定義，找到各個角之間的關系是解題的關鍵．（1）由平角的定義可求和的度數，進而可求的度數；（2）由角平分線的定義求出，再根據角的和差關系解答即可；（3）由，，可得，然后作差即可；（4）分兩種情況：當三角板繞點O旋轉至一邊在的內部時；當三角板繞點O旋轉至一邊不在的內部時，分別根據對頂角相等和周角的定義計算即可．（1）解：∵，，∴，∴；故答案為：120，150；（2）解：∵，∴，又∵平分，∴，∵，∴；故答案為：30；（3）解：，理由如下：∵，，∴，∴，即；故答案為：30；（4）解：分兩種情況：當三角板繞點O旋轉至一邊在的內部時，如圖，設的延長線為，則，∵，∴，∵，∴．當三角板繞點O旋轉至一邊不在的內部時，如圖：∵，，∴；都在內時，；都在的對頂角內時，．綜上所述，∠COM與∠AON的關系為：或，或，或．故答案為：或，或，或．22．為定值．解：由折疊可知，∠FEA′＝∠FEA，∠GEB＝∠GEA′，所以，．因為∠A′EB＋∠A′EA＝180°，所以，即∠FEG的度數為定值．23．（1），；（2）或；（3）6秒或秒【分析】（1）根據，，即可得出的度數，根據角平分線的定義得出，然后根據得出的度數；（2）根據題意得出的度數，然后分兩種情況進行討論：①當射線在內部時；②當射線在外部時；分別進行計算即可；（3）根據平分得出，根據題意畫出圖形，計算的角度，然后計算時間即可．（1）解：由題意可知，，∵，∴，∵平分，∴，∴；（2）由（1）知，，∴，①當射線在內部時，如圖2（1），；②當射線在外部時，如圖2（2），，綜上所述，的度數為或；（3）∵平分，∴，①如圖3，，∵平分，∴，∴，∴旋轉的時間（秒）；②如圖3（1），此時，，∵平分，∴，∴，∴，∴旋轉的時間（秒）；綜上所述，旋轉的時間為6秒或秒．【點撥】本題主要考查角度的計算，角平分線的定義等內容；第（2）問進行合適的分類討論是解題的關鍵；第（3）問，搞清楚在射線旋轉的過程中，和的相對位置在不斷的變化，以此進行分類畫圖．24．（1）見分析；（2）5；兩點之間，線段最短；垂線段最短.【分析】（1）根據直線、射線、線段的特點按要求