課后素養落實(四十三)幾個函數模型的比較(建議用時：40分鐘)一、選擇題1．(多選題)當a>1時，其中正確的結論是()A．指數函數y＝ax，當a越大時，其函數值的增長越快B．指數函數y＝ax，當a越小時，其函數值的增長越快C．對數函數y＝logax，當a越大時，其函數值的增長越快D．對數函數y＝logax，當a越小時，其函數值的增長越快AD[結合指數函數及對數函數的圖象可知AD正確．]2．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，當2<x<4時，有()A．y1>y2>y3B．y2>y1>y3C．y1>y3>y2D．y2>y3>y1B[在同一平面直角坐標系內畫出這三個函數的圖象(圖略)，在區間(2,4)內，從上到下圖象依次對應的函數為y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2>y1>y3.]3．某地區植被被破壞，土地沙化越來越嚴峻，最近三年測得沙漠增加值分別為0.2萬公頃、0.4萬公頃和0.76萬公頃，則沙漠增加數y(萬公頃)關于年數x(年)的函數關系較為近似的是()A．y＝0.2x B．y＝eq\f(1,10)(x2＋2x)C．y＝eq\f(2x,10) D．y＝0.2＋log16xC[將x＝1,2,3，y＝0.2,0.4,0.76分別代入驗算可知較為近似的是y＝eq\f(2x,10).]4．小明騎車上學，起先時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時間后，為了趕時間加快速度行駛．與以上事務吻合得最好的圖象是()ABCDC[小明勻速運動時，所得圖象為一條直線，且距離學校越來越近，故解除A.因交通堵塞停留了一段時間，與學校的距離不變，故解除D.后來為了趕時間加快速度行駛，故解除B.故選C.]5．某學校開展探討性學習活動，某同學獲得一組試驗數據如下表：x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01對于表中數據，現給出以下擬合曲線，其中擬合程度最好的是()A．y＝2x－2 B．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))xC．y＝log2x D．y＝eq\f(1,2)(x2－1)D[法一：相鄰的自變量之差大約為1，相鄰的函數值之差大約為2.5,3.5,4.5,6，基本上是漸漸增加的，二次曲線擬合程度最好，故選D.法二：比較四個函數值的大小，可以采納特別值代入法．可取x＝4，經檢驗易知選D.]二、填空題6．函數y＝x2與函數y＝xlnx在區間(0，＋∞)上增長較快的一個是________.y＝x2[當x變大時，x比lnx增長要快，∴x2要比xlnx增長的要快．]7．三個變量y1，y2，y3隨變量x的改變狀況如表：x1.003.005.007.009.0011.00y15135625171536456655y2529245218919685177149y35.006.106.616.957.207.40其中關于x呈對數函數型改變的變量是________，呈指數函數型改變的變量是________，呈冪函數型改變的變量是________．y3y2y1[依據三種模型的改變特點，視察表中數據可知，y2隨著x的增大而快速增加，呈指數函數型改變，y3隨著x的增大而增大，但改變緩慢，呈對數函數型改變，y1相對于y2的改變要慢一些，呈冪函數型改變．]8．生活閱歷告知我們，當水注入容器(設單位時間內進水量相同)時，水的高度隨著時間的改變而改變，在圖中請選擇與容器相匹配的圖象，A對應________；B對應________；C對應________；D對應________．ABCD(1)(2)(3)(4)(4)(1)(3)(2)[A容器下粗上細，水高度的改變先慢后快，故與(4)對應；B容器為球形，水高度改變為快—慢—快，應與(1)對應；C，D容器都是柱形的，水高度的改變速度都應是直線型，但C容器細，D容器粗，故水高度的改變為：C容器快，與(3)對應，D容器慢，與(2)對應．]三、解答題9．函數f(x)＝1.1x，g(x)＝lnx＋1，h(x)＝x的圖象如圖所示，試分別指出各曲線對應的函數，并比較三個函數的增長差異(以1，a，b，c，d，e為分界點)．[解]由指數爆炸、對數增長、冪函數增長的差異可得曲線C1對應的函數是f(x)＝1.1x，曲線C2對應的函數是h(x)＝x，曲線C3對應的函數是g(x)＝lnx＋1.由題圖知，當x<1時，f(x)>h(x)>g(x)；當1<x<e時，f(x)>g(x)>h(x)；當e<x<a時，g(x)>f(x)>h(x)；當a<x<b時，g(x)>h(x)>f(x)；當b<x<c時，h(x)>g(x)>f(x)；當c<x<d時，h(x)>f(x)>g(x)；當x>d時，f(x)>h(x)>g(x)．10．某地西紅柿從2月1日起起先上市，通過市場調查，得到西紅柿種植成本Q(單位：元/100kg)與上市時間t(單位：天)的數據如下表：時間t(天)60100180種植成本Q(元/100kg)11684116依據上表數據，從下列函數中選取一個函數描述西紅柿的種植成本Q與上市時間t的改變關系．Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.利用你選取的函數，回答下列問題：(1)求西紅柿種植成本最低時的上市天數；(2)求最低種植成本．[解]依據表中數據可知函數不單調，所以Q＝at2＋bt＋c，且開口向上．(1)函數圖象的對稱軸方程為t＝－eq\f(b,2a)＝eq\f(60＋180,2)＝120，所以西紅柿種植成本最低時的上市天數是120.(2)將表格中的數據代入Q＝at2＋bt＋c，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3600a＋60b＋c＝116，,10000a＋100b＋c＝84，,32400a＋180b＋c＝116，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－2.4，,c＝224，,a＝0.01.))所以Q＝0.01t2－2.4t＋224，所以最低種植成本是14400a＋120b＋c＝14400×0.01＋120×(－2.4)＋224＝80(元/100kg1．某林區的森林蓄積量每年比上一年平均增長10.4%，要增長到原來的x倍，需經過y年，則函數y＝f(x)的圖象大致為()ABCDD[設該林區的森林原有蓄積量為a，由題意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，所以函數y＝f(x)的圖象大致為D中的圖象，故選D.]2．(多選題)某池塘中野生水葫蘆的面積與時間的函數關系的圖象如圖所示，假設其關系為指數函數，給出的下列說法正確的是()A．此指數函數的底數為2B．在第5個月時，野生水葫蘆的面積就會超過30mC．野生水葫蘆從4m2擴散到12mD．設野生水葫蘆擴散到2m2,3m2,6m2所需的時間分別為t1，t2，t3，則有t1＋t2ABD[易知該指數函數的解析式為f(x)＝2x，所以A正確；當x＝5時，f(5)＝32>30，所以B正確；由f(x1)＝2x1＝4和f(x2)＝2x2＝12，得x1＝2，x2＝log212＝2＋log23，所以x2－x1＝log23>1.5，所以C錯誤；設2t1＝2,2t2＝3,2t3＝6，則t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，則t1＋t2＝1＋log23＝log2(2×3)＝log26＝t3，所以D正確．]3．若已知16<x<20，利用圖象可推斷出x和log2x的大小關系為________．x>log2x[作出f(x)＝x和g(x)＝log2x的圖象，如圖所示：由圖象可知，在(0,4)內，x>log2x；x＝4或x＝16時，x＝log2x；在(4,16)內，x<log2x；在(16,20)內，x>log2x.]4．已知某工廠生產某種產品的月產量y與月份x滿意關系y＝a·0.5x＋b，現已知該廠今年1月、2月生產該產品分別為1萬件、1.5萬件．則此廠3月份該產品的產量為________萬件．1.75[∵y＝a·0.5x＋b，且當x＝1時，y＝1，當x＝2時，y＝1.5，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝a×0.5＋b，,1.5＝a×0.25＋b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝2，))∴y＝－2×0.5x＋2.當x＝3時，y＝－2×0.125＋2＝1.75(萬件)．]某鞋廠從今年1月份起先投產，并且前四個月的產量分別為1萬件、1.2萬件、1.3萬件、1.37萬件．由于產品質量好，款式受歡迎，前幾個月的產品銷售狀況良好．為了使推銷員在推銷產品時，接受訂單不至于過多或過少，須要估測以后幾個月的產量．以這四個月的產品數據為依據，用一個函數模擬產品的月產量y與月份x的關系，模擬函數有三個備選：①一次函數f(x)＝kx＋b(k≠0)，②二次函數g(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數，a≠0)，③指數型函數m(x)＝abx＋c(a，b，c為常數，a≠0，b>0，b≠1)．廠里分析，產量的增加是由于工人生產嫻熟和理順了生產流程．廠里也短暫不打算增加設備和工人，假如你是廠長，將會采納什么方法估計以后幾個月的產量？[解]將已知前四個月的月產量y與月份x的關系記為A(1,1)，B(2,1.2)，C(3,1.3)，D(4,1.37)．①對于一次函數f(x)＝kx＋b(k≠0)，將B，C兩點的坐標代入，有f(2)＝2k＋b＝1.2，f(3)＝3k＋b＝1.3，解得k＝0.1，b＝1，故f(x)＝0.1x＋1.所以f(1)＝1.1，與實際誤差為0.1，f(4)＝1.4，與實際誤差為0.03.②對于二次函數g(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數，a≠0)，將A，B，C三點的坐標代入，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝1，,4a＋2b＋c＝1.2，,9a＋3b＋c＝1.3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－0.05，,b＝0.35，,c＝0.7，))故g(x)＝－0.05x2＋0.35x＋0.7，所以g(4)＝－0.05×42＋0.35×4＋0.7＝1.3，與實際誤差為0.07，③對于指數型函數m(x)＝abx＋c(a，b，c為常數，a≠0，b>0，b≠1)，將A，B，C三點的坐標代入，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab＋c＝1，,ab2＋c＝1.2，,ab3＋c＝1.3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－0.8，,b＝0.5，,c＝1.4.))故m(x)＝－0.8