2025屆福建省龍巖市高二數學第一學期期末考試模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知直線，橢圓．若直線l與橢圓C交于A，B兩點，則線段AB的中點的坐標為（）A. B.C. D.2．設，分別為具有公共焦點與橢圓和雙曲線的離心率，為兩曲線的一個公共點，且滿足，則的值為A. B.1C.2 D.不確定3．“楊輝三角”是中國古代重要的數學成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數陣，記為圖中虛線上的數1，3，6，10，…構成的數列的第n項，則的值為（）A.1225 B.1275C.1326 D.13624．已知、是橢圓的兩個焦點，P為橢圓C上一點，且，若的面積為9，則的值為（）A.1 B.2C.3 D.45．已知數列的前n項和為，，，則=（）A. B.C. D.6．已知橢圓的離心率，為橢圓上的一個動點，若定點，則的最大值為A. B.C. D.7．某校去年有1100名同學參加高考，從中隨機抽取50名同學總成績進行分析，在這個調查中，下列敘述錯誤的是A.總體是：1100名同學的總成績 B.個體是：每一名同學C.樣本是：50名同學的總成績 D.樣本容量是：508．在矩形中，，在該矩形內任取一點M，則事件“”發生的概率為（）A. B.C. D.9．在等腰中，在線段斜邊上任取一點，則線段的長度大于的長度的概率（）A. B.C. D.10．若拋物線的焦點為，則其標準方程為（）A. B.C. D.11．已知在四棱錐中，平面，底面是邊長為4的正方形，，E為棱的中點，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.12．設是虛數單位，則復數對應的點在平面內位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，，且，則的值是_________.14．直線過點，且原點到直線l的距離為，則直線方程是______15．兩姐妹同時推銷某一商品，現抽取他們其中8天的銷售量（單位：臺），得到的莖葉圖如圖所示，已知妹妹的銷售量的平均數為14，姐姐的銷售量的中位數比妹妹的銷售量的眾數大2，則的值為______.16．，若2是與的等比中項，則的最小值為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）寫出下列命題的逆命題、否命題以及逆否命題：（1）若，則；（2）已知為實數，若，則18．（12分）已知拋物線上的點M（5，m）到焦點F的距離為6.（1）求拋物線C的方程；（2）過點作直線l交拋物線C于A，B兩點，且點P是線段AB的中點，求直線l方程.19．（12分）閱讀本題后面有待完善的問題，在下列三個條件：①，②，③中選擇一個作為條件，補充在題中橫線處，使問題完善，并解答你構造的問題.（如果選擇多個關系并分別解答，在不出現邏輯混亂的情況下，按照第一個解答給分）.問題：已知命題，，命題___________，若是的充分不必要條件，求實數的取值范圍.20．（12分）某中醫藥研究所研制出一種新型抗過敏藥物，服用后需要檢驗血液抗體是否為陽性，現有n（n∈N*）份血液樣本，每個樣本取到的可能性均等，有以下兩種檢驗方式：①逐份檢驗，需要檢驗n次；②混合檢驗，將其中k（k∈N*，2≤k≤n）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗，若結果為陰性，則這k份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只需檢驗一次就夠了，若檢驗結果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪份為陽性，就需要對這k份再逐份檢驗，此時這k份血液的檢驗次數總共為k+1次.假設在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結果是陽性還是陰性都是相互獨立的，且每份樣本是陽性的概率為p（0＜p＜1）.（1）假設有5份血液樣本，其中只有兩份樣本為陽性，若采取逐份檢驗的方式，求恰好經過3次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的概率.（2）現取其中的k（k∈N*，2≤k≤n）份血液樣本，采用逐份檢驗的方式，樣本需要檢驗的次數記為ξ1；采用混合檢驗的方式，樣本需要檢驗的總次數記為ξ2.（i）若k＝4，且，試運用概率與統計的知識，求p的值；（ii）若，證明：.21．（12分）已知函數（1）當時，討論的單調性；（2）當時，證明22．（10分）中國共產黨建黨100周年華誕之際，某高校積極響應黨和國家的號召，通過“增強防疫意識，激發愛國情懷”知識競賽活動，來回顧中國共產黨從成立到發展壯大的心路歷程，表達對建黨100周年以來的豐功偉績的傳頌．教務處為了解學生對相關知識的掌握情況，隨機抽取了100名學生的競賽成績，并以此為樣本繪制了如下樣本頻率分布直方圖（1）求值并估計中位數所在區間（2）需要從參賽選手中選出6人代表學校參與省里的此類比賽，你認為怎么選最合理，并說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】聯立直線方程與橢圓方程，消y得到關于x的一元二次方程，根據韋達定理可得，進而得出中點的橫坐標，代入直線方程求出中點的縱坐標即可.【詳解】由題意知，，消去y，得，則，，所以A、B兩點中點的橫坐標為：，所以中點的縱坐標為：，即線段AB的中點的坐標為.故選：B2、C【解析】根據題意，設它們共同的焦距為2c、橢圓的長軸長2a、雙曲線的實軸長為2m，由橢圓和雙曲線的定義及勾弦定理建立關于a、c、m的方程，聯解可得a2+m2=2c2，再根據離心率的定義求解【詳解】由題意設焦距為2c，橢圓的長軸長2a，雙曲線的實軸長為2m，設P在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義得|PF1|﹣|PF2|=2m①由橢圓的定義|PF1|+|PF2|=2a②又∵，∴，可得∠F1PF2=900，故|PF1|2+|PF2|2=4c2③，①平方+②平方，得|PF1|2+|PF2|2=2a2+2m2④將④代入③，化簡得a2+m2=2c2，即，可得，所以=.故選：C3、B【解析】觀察前4項可得，從而可求得結果【詳解】由題意可得，……，觀察規律可得，所以，故選：B4、C【解析】根據橢圓定義，和條件列式，再通過變形計算求解.【詳解】由條件可知，，即，解得：.故選：C【點睛】本題考查橢圓的定義，焦點三角形的性質，重點考查轉化與變形，計算能力，屬于基礎題型.5、D【解析】利用公式計算得到，得到答案【詳解】由已知得，即，而，所以故選：D6、C【解析】首先求得橢圓方程，然后確定的最大值即可.【詳解】由題意可得：，據此可得：，橢圓方程為，設橢圓上點的坐標為，則，故：，當時，.本題選擇C選項.【點睛】本題主要考查橢圓方程問題，橢圓中的最值問題等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.7、B【解析】采用逐一驗證法，根據總體，個體，樣本的概念，可得結果.【詳解】據題意：總體是1100名同學的總成績，故A正確個體是每名同學的總成績，故B錯樣本是50名同學的總成績，故C正確樣本容量是：50，故D正確故選：B【點睛】本題考查總體，個體，樣本的概念，屬基礎題.8、D【解析】利用幾何概型的概率公式，轉化為面積比直接求解.【詳解】以AB為直徑作圓，當點M在圓外時，.所以事件“”發生的概率為.故選：D9、C【解析】利用幾何概型的長度比值，即可計算.【詳解】設直角邊長，斜邊，則線段的長度大于的長度的概率.故選：C10、D【解析】由題意設出拋物線的標準方程，再利用焦點為建立，解方程即可.【詳解】由題意，設拋物線標準方程為，所以，解得，所以拋物線標準方程為.故選：D11、B【解析】建立空間直角坐標系，以向量法去求直線與平面所成角的正弦值即可.【詳解】平面，底面是邊長為4的正方形，則有，而，故平面，以A為原點，分別以AB、AD、AP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系如圖：則，，，設直線與平面所成角為，又由題可知為平面的一個法向量，則故選：B12、A【解析】計算出復數即可得出結果.【詳解】由于，對應的點的坐標為，在第一象限，故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據空間向量可得，結合計算即可.【詳解】由題意知，，所以，解得.故答案：314、【解析】直線斜率不存在不滿足題意，即設直線的點斜式方程，再利用點到直線的距離公式，求出的值，即可求出直線方程.【詳解】①當直線斜率不存在時，顯然不滿足題意.②當直線斜率存在時，設直線為.原點到直線l的距離為，即直線方程為.故答案為：.15、13【解析】先根據妹妹的銷售量的平均數為14，求得y,進而得到其眾數，然后再根據姐姐的銷售量的中位數比妹妹的銷售量的眾數大2，得到姐姐的銷售量的中位數.【詳解】因為妹妹的銷售量的平均數為14，所以，解得，由莖葉圖知：妹妹的銷售量的眾數是14，因為姐姐的銷售量的中位數比妹妹的銷售量的眾數大2，所以姐姐的銷售量的中位數是16，所以，解得，所以，故答案為：1316、3【解析】根據等比中項列方程，結合基本不等式求得的最小值.【詳解】由題可得，則，當且僅當時等號成立.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）答案見解析（2）答案見解析【解析】（1）（2）根據逆命題、否命題以及逆否命題的定義作答即可；【小問1詳解】解：逆命題：若，則；否命題：若，則；逆否命題：若，則【小問2詳解】解：逆命題：已知為實數，若，則；否命題：已知為實數，若或，則；逆否命題：已知實數，若，則或18、（1）（2）【解析】（1）由拋物線定義有求參數，即可寫出拋物線方程.（2）由題意設，聯立拋物線方程，結合韋達定理、中點坐標求參數k，即可得直線l方程【小問1詳解】由題設，拋物線準線方程為，∴拋物線定義知：可得，故【小問2詳解】由題設，直線l的斜率存在且不為0，設聯立方程，得，整理得，則.又P是線段AB的中點，∴，即故l19、【解析】分別在、和的情況下得命題對應的集合；選條件后可求得命題對應的集合；根據充分不必要條件的定義可知，分別在、和的情況下得到結果.【詳解】由得：，當時，不等式解集；當時，不等式解集為；當時，不等式解集為；是的充分不必要條件，命題對應集合是命題對應集合的真子集，即；若選條件①：由得：，；若選條件②：由得：，解得：，；若選條件③：由得：，解得：，；當時，，符合題意；當時，由知：，；當時，由知：，；綜上所述：，即實數的取值范圍為.20、（1）；（2）（i）；（ii）證明見解析.【解析】（1）設恰好經過3次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來為事件A，由古典概型概率計算公式可得答案；（2）（i）由已知，可能取值分別為1，，求解概率然后求期望推出關于的關系式；（ii）由，計算出，再由，構造函數，利用導數判斷函數的最值可得答案..【詳解】（1）設恰好經過3次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來為事件A，所以前2次檢驗中有一陽性有一陰性樣本第三次為陽性樣本，或者前3次均為陰性樣本，則.（2）（i），所以，可能取值分別為1，，，，因為得，因為，所以，.（ii）因為，由（i）知，所以，設，，所以在單調遞增，所以由于，所以，即，得證.【（4）（5）選做】21、（1）單調遞減，在單調遞增；（2）見解析.【解析】(1)求f(x)導數，討論導數的正負即可求其單調性；(2)由于，則，只需證明，構造函數，證明其最小值大于0即可.【小問1詳解】時，，當時，，∴，當時，，∴，∴在單調遞減，在單調遞增；【小問2詳解】由于，∴，∴只需證明，令，則，∴在上為增函數，而，∴在上有唯一零點，且，當時，，g(x)單調遞減，當時，，g(x)單調遞增，∴的最小值為，由，得，則，∴，當且僅當時取等號，而，∴，∴，即，∴當時，.【點睛】本題考察了利用導數研究函