江西省贛州市寧都縣第三中學2025屆高二數學第一學期期末監測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．圓（）上點到直線的最小距離為1，則A.4 B.3C.2 D.12．正數a,b滿足,若不等式對任意實數x恒成立,則實數m的取值范圍是A. B.C. D.3．已知等邊三角形的一個頂點在橢圓E上，另兩個頂點位于E的兩個焦點處，則E的離心率為（）A. B.C. D.4．已知正四面體的底面的中心為為的中點，則直線與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.5．設函數，則（）A.1 B.5C. D.06．如圖所示，在三棱錐中，E，F分別是AB，BC的中點，則等于（）A. B.C. D.7．如果命題為真命題，為假命題，那么（）A.命題，都是真命題 B.命題，都是假命題C.命題，至少有一個是真命題 D.命題，只有一個是真命題8．函數直線與的圖象相交于A、B兩點，則的最小值為（）A.3 B.C. D.9．楊輝三角是二項式系數在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數學家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現.在歐洲，帕斯卡（1623～1662）在1654年發現這一規律，比楊輝要遲了393年.如圖所示，在“楊輝三角”中，從1開始箭頭所指的數組成一個鋸齒形數列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，則在該數列中，第37項是A.153 B.171C.190 D.21010．甲、乙兩名同學8次考試的成績統計如圖所示，記甲、乙兩人成績的平均數分別為，，標準差分別為，，則（）A.＞，＜ B.＞，＞C.＜，＜ D.＜，＞11．已知是拋物線：的焦點，直線與拋物線相交于，兩點，滿足，記線段的中點到拋物線的準線的距離為，則的最大值為（）A. B.C. D.12．命題“若α=，則tanα=1”的逆否命題是A.若α≠，則tanα≠1 B.若α=，則tanα≠1C.若tanα≠1，則α≠ D.若tanα≠1，則α=二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數，則___________.14．在空間直角坐標系中，經過且法向量的平面方程為，經過且方向向量的直線方程為閱讀上面材料，并解決下列問題：給出平面的方程，經過點的直線的方程為，則直線l與平面所成角的余弦值為___________.15．已知曲線的焦距是10，曲線上的點到一個焦點的距離是2，則點到另一個焦點的距離為__________.16．歷史上第一個研究圓錐曲線的是梅納庫莫斯（公元前375年—325年），大約100年后，阿波羅尼奧更詳盡、系統地研究了圓錐曲線，并且他還進一步研究了這些圓錐曲線的光學性質，比如：從拋物線的焦點發出的光線或聲波在經過拋物線反射后，反射光線平行于拋物線的對稱軸：反之，平行于拋物線對稱軸的光線，經拋物線反射后，反射光線經過拋物線的焦點.已知拋物線，經過點一束平行于C對稱軸的光線，經C上點P反射后交C于點Q，則PQ的長度為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，三棱錐中，，，，，，點是PA的中點，點D是AC的中點，點N在PB上，且.（1）證明：平面CMN；（2）求平面MNC與平面ABC所成角的余弦值.18．（12分）已知圓.（1）若不過原點的直線與圓相切，且直線在兩坐標軸上的截距相等，求直線的方程；（2）求與圓和直線都相切的最小圓的方程.19．（12分）為了謳歌中華民族實現偉大復興的奮斗歷程，增進學生對中國共產黨的熱愛，某學校舉辦了一場黨史競賽活動，共有名學生參加了此次競賽活動．為了解本次競賽活動的成績，從中抽取了名學生的得分（得分均為整數，滿分為分）進行統計，所有學生的得分都不低于分，將這名學生的得分進行分組，第一組，第二組，第三組，第四組（單位：分），得到如下的頻率分布直方圖（1）求圖中的值，估計此次競賽活動學生得分的中位數；（2）根據頻率分布直方圖，估計此次競賽活動得分的平均值．若對得分不低于平均值的同學進行獎勵，請估計在參賽的名學生中有多少名學生獲獎20．（12分）芯片作為在集成電路上的載體，廣泛應用在手機、軍工、航天等多個領域，是能夠影響一個國家現代工業的重要因素．根據市場調研與統計，某公司七年時間里在芯片技術上的研發投入x（億元）與收益y（億元）的數據統計如下：（1）根據折線圖數據,求y關于x的線性回歸方程(系數精確到整數部分);（2）為鼓勵科技創新,當研發技術投入不少于16億元時,國家給予公司補貼5億元,預測當芯片的研發投入為17億元時公司的實際收益附:其回歸方程的斜率和截距的最小二乘法估計分別為,．參考數據,21．（12分）已知橢圓的長軸在軸上，長軸長為4，離心率為，（1）求橢圓的標準方程，并指出它的短軸長和焦距.（2）直線與橢圓交于兩點，求兩點的距離.22．（10分）某班主任對全班名學生進行了作業量多少與手機網游的調查，數據如下表：認為作業多認為作業不多總數喜歡手機網游不喜歡手機網游總數（1）若隨機地抽問這個班的一名學生，分別求事件“認為作業不多”和事件“喜歡手機網游且認為作業多”的概率；（2）若在“認為作業多”的學生中已經用分層抽樣的方法選取了名學生．現要從這名學生中任取名學生了解情況，求其中恰有名“不喜歡手機網游”的學生的概率

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據題意可得,圓心到直線的距離等于,即,求得,所以A選項是正確的.【點睛】判斷直線與圓的位置關系的常見方法：(1)幾何法：利用ｄ與ｒ的關系．(2)代數法：聯立方程之后利用判斷．(3)點與圓的位置關系法：若直線恒過定點且定點在圓內，可判斷直線與圓相交．上述方法中常用的是幾何法，點與圓的位置關系法適用于動直線問題2、A【解析】利用基本不等式求得的最小值，把問題轉化為恒成立的類型，求解的最大值即可.【詳解】,，且a,b為正數，，當且僅當，即時，，若不等式對任意實數x恒成立，則對任意實數x恒成立，即對任意實數x恒成立，，，故選：A【點睛】本題主要考查了恒成立問題，基本不等式求最值，二次函數求最值，屬于中檔題.3、B【解析】根據已知條件求得的關系式，從而求得橢圓的離心率.【詳解】依題意可知，所以.故選：B4、B【解析】連接，再取中點，連接，得到為直線與所成角，再解三角形即可.【詳解】連接，再取中點，連接，因為分別為VC，中點，則，且底面,所以為直線與所成角，令正四面體邊長為1，則，,，所以，故選：.5、B【解析】由題意結合導數的運算可得，再由導數的概念即可得解.【詳解】由題意，所以，所以原式等于.故選：B.6、D【解析】根據向量的線性運算公式化簡可得結果.【詳解】因為E，F分別是AB，AC的中點，所以，，所以，故選：D7、D【解析】由命題為真命題,可判斷二者至少有一個為真命題，由為假命題，可判斷二者至少有一個為假命題，由此可得答案.【詳解】命題為真命題，說明二者至少有一個為真命題，為假命題,說明二者至少有一個為假命題，綜合上述，可知命題，只有一個是真命題，故選：D8、C【解析】先求出AB坐標，表示出，規定函數，其中，利用導數求最小值.【詳解】聯立解得可得點．聯立解得可得點．由題意可得解得，令，其中，∴．∴函數單調遞減；．因此，的最小值為故選：C【點睛】距離的最值求解：（1）幾何法求最值；（2）代數法：表示出距離，利用函數求最值.9、C【解析】根據“楊輝三角”找出數列1，2，3，3，6，4，10，5，…之間的關系即可。【詳解】由題意可得從第3行起的每行第三個數：，所以第行的第三個數為在該數列中，第37項為第21行第三個數，所以該數列的第37項為故選：C【點睛】本題主要考查了歸納、推理的能力，屬于中等題。10、A【解析】根據折線統計圖，結合均值、方差的實際含義判斷、及、的大小.【詳解】由統計圖知：甲總成績比乙總成績要高，則＞，又甲成績的分布比乙均勻，故＜.故選：A.11、C【解析】設，過點，分別作拋物線的準線的垂線，垂足分別為，進而得，再結合余弦定理得，進而根據基本不等式求解得.【詳解】解：設，過點，分別作拋物線的準線的垂線，垂足分別為，則，因為點為線段中點，所以根據梯形中位線定理得點到拋物線的準線的距離為，因為，所以在中，由余弦定理得，所以，又因為，所以，當且僅當時等號成立，所以，故.所以的最大值為.故選：C【點睛】本題考查拋物線的定義，直線與拋物線的位置關系，余弦定理，基本不等式，考查運算求解能力，是中檔題.本題解題的關鍵在于根據題意，設，進而結合拋物線的定于與余弦定理得，，再求最值.12、C【解析】因為“若，則”的逆否命題為“若，則”，所以“若α=，則tanα=1”的逆否命題是“若tanα≠1，則α≠”.【點評】本題考查了“若p，則q”形式的命題的逆命題、否命題與逆否命題，考查分析問題的能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先求導數，代入可得.【詳解】因為所以，則，故.故答案為：14、##【解析】根據材料結合已知條件求得平面的法向量以及直線的方向向量，即可用向量法求得線面角.【詳解】因為平面的方程，不妨令，則，故其過點,設其法向量為，根據題意則，即，又平面的方程為，則，不妨取，則，則平面的法向量；經過點的直線的方程為，不妨取，則，則該直線過點，則直線的方向向量.設直線與平面所成的角為，則.又，故，即直線l與平面所成角的余弦值為.故答案為：.15、或10.【解析】對參數a進行討論，考慮曲線是橢圓和雙曲線的情況，進而結合橢圓與雙曲線的定義和性質求得答案.【詳解】由題意，曲線的半焦距為5，若曲線是焦點在x軸上的橢圓，則a>16，所以，而橢圓上的點到一個焦點距離是2，則點到另一個焦點的距離為；若曲線是焦點在y軸上的橢圓，則0<a<16，所以，舍去；若曲線是雙曲線，則a<0，容易判斷雙曲線的焦點在y軸，所以，不妨設點P在雙曲線的上半支，上下焦點分別為，因為實半軸長為4，容易判斷點P到下焦點的距離的最小值為4+5=9>2，不合題意，所以點P到上焦點的距離為2，則它到下焦點的距離.故答案為：或10.16、####【解析】根據題意，求得點以及拋物線焦點的坐標，即可求得所在直線方程，聯立其與拋物線方程，求得點的坐標，即可求得.【詳解】因為經過點一束平行于C對稱軸的光線交拋物線于點，故對，令，則可得，也即的坐標為，又拋物線的焦點的坐標為，故可得直線方程為，聯立拋物線方程可得：，，解得或，將代入，可得，即的坐標為，則.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】建立如圖所示空間直角坐標系，得到相關點和相關向量的坐標,（1）求出平面的法向量，利用證明即可；（2）由（1）知平面的法向量，再求平面的法向量，利用向量的夾角公式即可求解.【小問1詳解】證明：三棱錐中，，，∴分別以，，，，軸建立如圖所示空間直角坐標系∵，，點M是PA的中點，點D是AC的中點，點N在PB上且∴，，，，，設平面的法向量，，，，由得令得∴∵∴又平面∴平面；【小問2詳解】，，∴平面∴為平面的法向量則與的夾角的補角是平面與平面所成二面角的平面角.∴平面與平面所成角的余弦值為.18、（1）或；（2）.【解析】（1）根據題意設出直線的方程，然后根據直線與圓相切，即可求出答案；（2）首先根據題意判斷出最小圓的圓心在直線上，且最小圓的半徑為，然后設出最小圓的圓心為，則圓心到直線的距離為，從而可求出答案.【小問1詳解】因為直線不過原點，設直線的方程為，圓的標準方程為，若直線與圓相切，則，即，解得或者3，所以直線的方程為或者；【小問2詳解】因為，所以直線與圓相離，所以所求最小圓的圓心一定在圓的圓心到直線的垂線段上，即最小圓的圓心在直線上，且最小圓的半徑為，設最小圓的圓心為，則圓心到直線的距離為，所以，即，解得(舍)或，所以最小的圓的方程為.19、（1），中位數為；（2）得分的平均值為，估計有260名學生獲獎.【解析】(1)根據給定的頻率分布直方圖，利用各小矩形面積和為1計算得值；再由在中位數兩側所對小矩形面積相等即可計算得解.(2)由頻率分布直方圖求平均數的方法求出得分平均值即可估計；再求出不低于平均分的頻率即可估計獲獎人數.【小問1詳解】由頻率分布直方圖知：，解得，設此次競賽活動學生得分的中位數為，因數據落在內的頻率為0.4，落在內的頻率為0.8，從而可得，由得：，所以，估計此次競賽活動學生得分的中位數為.【小問2詳解】由頻率分布直方圖及(1)知：數據落在，，，的頻率分別為，，此次競賽活動學生得分不低于82的頻率為，則，所以估計此次競賽活動得分的平均值為，在參賽的名學生中估計有260名學生獲獎.20、（1）（2）85億元【解析】(1)利用公式和數據計算即可(2)代入回歸直線計算即可小問1詳解】由折線圖中數據知,,,因為