遼寧省重點六校協(xié)作體2025屆數學高二上期末經典模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某公司門前有一排9個車位的停車場，從左往右數第三個，第七個車位分別停著A車和B車，同時進來C，D兩車．在C，D不相鄰的情況下，C和D至少有一輛與A和B車相鄰的概率是（）A. B.C. D.2．由1，2，3，4，5五個數組成沒有重復數字的五位數，其中1與2不能相鄰的排法總數為（）A.20 B.36C.60 D.723．如圖所示，已知是橢圓的左、右焦點，為橢圓的上頂點，在軸上，，且是的中點，為坐標原點，若點到直線的距離為3，則橢圓的方程為（）A B.C. D.4．曲線y=x3+11在點P（1，12）處的切線與y軸交點的縱坐標是（）A.﹣9 B.﹣3C.9 D.155．若兩直線與互相垂直，則k的值為（）A.1 B.-1C.-1或1 D.26．若雙曲線的離心率為3，則的最小值為（）A. B.1C. D.27．若直線與互相垂直，則實數a的值為（）A.-3 B.C. D.38．雙曲線：的漸近線與圓：在第一、二象限分別交于點、，若點滿足(其中為坐標原點)，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.9．已知E、F分別為橢圓的左、右焦點，傾斜角為的直線l過點E，且與橢圓交于A，B兩點，則的周長為A.10 B.12C.16 D.2010．等比數列的公比，中有連續(xù)四項在集合中，則等于（）A. B.C D.11．數列滿足，，則（）A. B.C. D.212．變量，滿足約束條件則的最小值為()A. B.C. D.5二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知等差數列的公差，等比數列的公比q為正整數，若，，且是正整數，則______14．函數在上的最大值為______________15．若命題P：對于任意，使不等式為真命題，則實數的取值范圍是___________.16．函數，其導函數為函數，則__________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某快遞公司收取快遞費用的標準是：重量不超過的包裹收費10元；重量超過的包裹，除收費10元之外，超過的部分，每超出（不足，按計算）需要再收費5元.該公司近60天每天攬件數量的頻率分布直方圖如下圖所示（同一組數據用該區(qū)間的中點值作代表）.（1）求這60天每天包裹數量的平均值和中位數；（2）該公司從收取的每件快遞的費用中抽取5元作為前臺工作人員的工資和公司利潤，剩余的作為其他費用.已知公司前臺有工作人員3人，每人每天工資100元，以樣本估計總體，試估計該公司每天的利潤有多少元？（3）小明打算將四件禮物隨機分成兩個包裹寄出，且每個包裹重量都不超過，求他支付的快遞費為45元的概率.18．（12分）設橢圓的左、右焦點分別為，.點滿足.（1）求橢圓的離心率；（2）設直線與橢圓相交于，兩點，若直線與圓相交于，兩點，且，求橢圓的方程.19．（12分）已知與定點，的距離比為的點P的軌跡為曲線C，過點的直線l與曲線C交于M，N兩點.（1）求曲線C的軌跡方程；（2）若，求.20．（12分）在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的左，右焦點分別為F1（﹣，0），F2（，0），且橢圓C過點（﹣）.（1）求橢圓C的標準方程；（2）設過（0，﹣2）的直線l與橢圓C交于M，N兩點，O為坐標原點，若，求直線l的方程.21．（12分）已知是公差不為0的等差數列，其前項和為，，且，，成等比數列.（1）求和；（2）若，數列的前項和為，且對任意的恒成立，求實數的取值范圍.22．（10分）如圖，已知直三棱柱中，，，E，F分別為AC和的中點，D為棱上的一點.（1）證明：；（2）當平面DEF與平面所成的銳二面角的余弦值為時，求點B到平面DFE距離.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】先求出基本事件總數，和至少有一輛與和車相鄰的對立事件是和都不與和車相鄰，由此能求出和至少有一輛與和車相鄰的概率【詳解】解：某公司門前有一排9個車位的停車場，從左往右數第三個，第七個車位分別停著車和車，同時進來，兩車，在，不相鄰的條件下，基本事件總數，和至少有一輛與和車相鄰的對立事件是和都不與和車相鄰，和至少有一輛與和車相鄰的概率：故選：B2、D【解析】先排3，4，5，然后利用插空法在4個位置上選2個排1，2.【詳解】先排3，4，5,,共有種排法，然后在4個位置上選2個排列1,2，有種排法，則1與2不能相鄰的排法總數為種，故選：D.3、D【解析】由題設可得，直線的方程為，點線距離公式表示到直線的距離，又聯立解得即可得出答案.【詳解】且，則△是等邊三角形，設，則①，∴直線方程為，即，∴到直線的距離為②，又③，聯立①②③，解得，，故橢圓方程為.故選：D.4、C【解析】y′＝3x2，則y′|x＝1＝3，所以曲線在P點處的切線方程為y－12＝3(x－1)即y＝3x＋9，它在y軸上的截距為9.5、B【解析】根據互相垂直的兩直線的性質進行求解即可.【詳解】由，因此直線的斜率為，直線的斜率為，因為兩直線與互相垂直，所以，故選：B6、D【解析】由雙曲線的離心率為3和，求得，化簡，結合基本不等式，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線的離心率為3，即，即，又由，可得，所以，當且僅當，即時，“”成立.故選：D【點睛】使用基本不等式解答問題的策略：1、利用基本不等式求最值時，要注意三點：一是各項為正；二是尋求定值；三是考慮等號成立的條件；2、若多次使用基本不等式時，容易忽視等號的條件的一致性，導致錯解；3、巧用“拆”“拼”“湊”：在使用基本不等式時，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中的“正、定、等”的條件.7、C【解析】根據給定條件利用兩條直線互相垂直的關系列式計算作答.【詳解】因直線與互相垂直，則，解得，所以實數a的值為.故選：C8、B【解析】由，得點為三角形的重心，可得，即可求解.【詳解】如圖：設雙曲線的焦距為，與軸交于點，由題可知，則，由，得點為三角形的重心，可得，即，，即，解得.故選：B【點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質，三角形的重心的向量表示，屬于中檔題.9、D【解析】利用橢圓的定義即可得到結果【詳解】橢圓，可得，三角形的周長，，所以：周長，由橢圓的第一定義，，所以，周長故選D【點睛】本題考查橢圓簡單性質的應用，橢圓的定義的應用，三角形的周長的求法，屬于基本知識的考查10、C【解析】經分析可得，等比數列各項的絕對值單調遞增，將五個數按絕對值的大小排列，計算相鄰兩項的比值，根據等比數列的定義即可求解.【詳解】因為等比數列中有連續(xù)四項在集合中，所以中既有正數項也有負數項，所以公比，因為，所以，且負數項為相隔兩項，所以等比數列各項的絕對值單調遞增，按絕對值排列可得，因，，，，所以是中連續(xù)四項，所以，故選：C.11、C【解析】根據已知分析數列周期性，可得答案【詳解】解：∵數列滿足，，∴，，，，故數列以4為周期呈現周期性變化，由，故，故選C【點睛】本題考查的知識點是數列的遞推公式，數列的周期性，難度中檔12、A【解析】根據不等式組，作出可行域，數形結合即可求z的最小值.【詳解】根據不等式組作出可行域如圖，，則直線過A(－1，0)時，z取最小值.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由已知等差、等比數列以及，，是正整數，可得，結合q為正整數，進而求.【詳解】由，，令，其中m為正整數，有，又為正整數，所以當時，解得，當時，解得不是正整數，故答案為：14、【解析】對原函數求導得，令，解得或，且所以原函數在上的最大值為考點：1．函數求導；2．利用導函數求最值15、【解析】根據題意，結合指數函數不等式，將原問題轉化為關于的不等式，對于任意恒成立，即可求解.【詳解】根據題意，知對于任意，恒成立，即，化簡得，令，，則恒成立，即，解得，故.故答案為：.16、【解析】根據解析式，可求得解析式，代入數據，即可得答案.詳解】∵，∴，∴.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)公司每天包裹的平均數和中位數都為260件.(2)該公司平均每天的利潤有1000元．(3).【解析】（1）對于平均數，運用平均數的公式即可；由于中位數將頻率分布直方圖分成面積相等的兩部分，先確定中位數位于哪一組，然后建立關于中位數的方程即可求出.（2）利用每天的總收入減去工資的支出，即可得到公司每天的利潤.（3）該為古典概型，根據題意分別確定總的基本事件個數，以及事件“快遞費為45元”包括的基本事件個數，即可求出概率.【詳解】（1）每天包裹數量的平均數為；或：由圖可知每天攬50、150、250、350、450件的天數分別為6、6、30、12、6，所以每天包裹數量的平均數為設中位數為x，易知，則，解得x=260.所以公司每天包裹的平均數和中位數都為260件.（2）由（1）可知平均每天的攬件數為260，利潤為(元)，所以該公司平均每天的利潤有1000元（3）設四件禮物分為二個包裹E、F，因為禮物A、C、D共重（千克），禮物B、C、D共重（千克），都超過5千克，故E和F的重量數分別有，，，，共5種，對應的快遞費分別為45、45、50，45，50（單位：元）故所求概率為.【點睛】主要考查了頻率分布直方圖的平均數，中位數求解，以及古典概型，屬于中檔題.18、（1）；（2）【解析】（1）由及兩點間距離公式可建立等式，消去b，即可求解出，主要兩個根的的要舍去;（2）聯立直線和橢圓的方程，利用弦長公式求得，再利用幾何關系求得，代入，可解得c，從而得到橢圓的方程.【詳解】（1）設，，因為，所以，整理得，得（舍），或，所以；（2）由（1）知，，可得橢圓方程為，直線的方程為，A，B兩點的坐標滿足方程組為，消去y并整理，得，解得：，，得方程組的解和,不妨設：，，所以，于是，圓心到直線的距離為，因為，所以，整理得：，得（舍），或，所以橢圓方程為：.【點睛】關鍵點點睛：本題考查求橢圓的離心率解題關鍵是找到關于a，b，c的等量關系，第二問的關鍵是聯立直線與橢圓方程求出交點坐標，利用距離公式建立等量關系，求出c是求出橢圓方程的關鍵.19、（1）（2）或【解析】（1）設曲線上的任意一點，由題意可得，化簡即可得出（2）分直線的斜率不存在與存在兩種情況討論，當斜率不存在時，即可求出、的坐標，從而求出，當直線的斜率存在，設直線方程為，，，聯立直線與圓的方程，消元列出韋達定理，則，即可求出，從而求出直線方程，由圓心在直線上，即可求出弦長；【小問1詳解】解：（1）設曲線上的任意一點，由題意可得：，即，整理得【小問2詳解】解：依題意當直線的斜率不存在時，直線方程為，則，則或，即、，所以、，所以滿足條件，此時，當直線的斜率存在，設直線方程為，，，則，消去整理得，由，解得或，所以、，因為，，所以，解得，所以直線方程為，又直線過圓心，所以，綜上可得或；20、（1）（2）或.【解析】（1）設標準方程代入點的坐標，解方程組得解.（2）設直線方程代入橢圓方程消元，韋達定理整體思想，可得直線斜率得解.【小問1詳解】因為橢圓C的焦點為，可設橢圓C的方程為，又點在橢圓C上，所以，解得，因此，橢圓C的方程為；【小問2詳解】當直線的斜率不存在時，顯然不滿足題意；當直線的斜率存在時，設直線的方程為，設，，因為，所以，因為，，所以，所以，①聯立方程，消去得，則，代入①，得，解得，經檢驗，此時直線與橢圓相交，所以直線l的方程是或.21、（1），；（2）.【解析】（1）求出，即得數列的和；（2）由題得，再利用分組求和求出，得到，令，判斷函數的單調性得解.【詳解】（1）設數列的公差為，由已知得，，即，整理得，又，，；（2）由題意：，，，令，則，即對任意