2023-2024學年浙江省寧波市余姚市高風中學九年級（上）期中數學試卷一.選擇題（本大題10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）下列函數中，是二次函數的是A． B． C． D．2．（3分）二次函數的圖象的頂點坐標是A． B． C． D．3．（3分）的值等于A． B． C．1 D．4．（3分）下列各事件中，是必然事件的是A．是實數，則 B．擲一枚硬幣時，正面朝上 C．三角形內角和是 D．任意買一張電影票，座位號是單號5．（3分）已知線段，，則線段和的比例中項為A．6.5 B． C．6 D．6．（3分）如圖，，，，則的長為A．9 B．15 C．18 D．127．（3分）已知點，是拋物線上的兩點，則，的大小關為A． B． C． D．無法確定8．（3分）如圖，四邊形內接于，為的直徑，點為的中點，若，則的度數為A． B． C． D．9．（3分）如圖，△中，，，，以點為圓心、為半徑畫弧，交于點，以點為圓心、為半徑畫弧，交于點，則陰影部分的面積為A． B． C． D．10．（3分）如圖，，、，分別是矩形四邊上的點，連結，相交于點，且，，設矩形、矩形、矩形、矩形的面積分別為、、，，矩形矩形，連接交，于點，．下列一定能求出△面積的條件是A． B． C． D．二.填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）11．（4分）若拋物線向左平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，則所得的拋物線的解析式是．12．（4分）某商店現推出三款杭州亞運會吉祥物盲盒，內分別含有吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“蓮蓮”，則小明任意抽一個盲盒，抽到“宸宸”的概率是．13．（4分）若扇形的圓心角為，半徑為6，則扇形的弧長為．14．（4分）如圖，△的頂點都是邊長為1的小正方形組成的網格的格點，則的正弦值為．15．（4分）如圖，在平行四邊形中，為中點，延長至，使，連結交于點，則．16．（4分）如圖，△內接于，，，是的中點，則的半徑為，的長度的最小值是．三.解答題（本大題共7小題，共66分）17．（6分）城市小區生活垃圾分為、、、四種不同的類型．（1）甲投放了一袋垃圾，恰好是的概率是．（2）甲、乙分別投放了一袋垃圾，利用樹狀圖或列表求恰好是同一類型垃圾的概率．18．（8分）如圖所示，是的一條弦，，垂足為，交于點，點在上．（1）若，求的度數；（2）若，，求的長．19．（8分）二次函數、為實數）的圖象經過點，點．（1）求該二次函數的表達式及頂點坐標．（2）當時，求該二次函數的最大值與最小值．20．（10分）某商家進購了一批鑰匙扣，每個進價為5元．若該鑰匙扣每個售價是7元時，每天可售出160個；經市場調研，若每個售價提高1元，則每天少賣20個．（1）設該鑰匙扣每個售價定為元時為正整數，且，求該商品利潤與之間的函數關系式；（2）物價局規定利潤率不得高于，求每個售價定為多少元時，每天銷售鑰匙扣所獲利潤最大？最大利潤是多少元？21．（10分）高風中學校門口安裝有汽車出入道閘．道閘關閉時，如圖1，四邊形為矩形，長3米，長1米，與水平地面垂直．道閘打開的過程中，邊固定，連桿，分別繞點，轉動，且邊始終與邊平行．（1）如圖2，當道閘打開至時，邊上一點，到的距離為2米，到地面的距離為1.1米，求點到地面的距離的長．（2）在（1）的條件下，一輛轎車過道閘，已知轎車的寬為1.9米，高為1.5米．當道閘打開至時，轎車能否駛入校區？請說明理由．（參考數據：，，22．（12分）定義：四邊形的一條對角線把這個四邊形分成了兩個三角形，如果這兩個三角形相似（不全等），就把這條對角線叫做這個四邊形的“相似對角線”．理解：（1）如圖1，△的三個頂點均在正方形網格中的格點上，若四邊形是以為“相似對角線”的四邊形，請用無刻度的直尺在網格中畫出點（保留作圖痕跡，找出2個即可）；（2）如圖2，在四邊形中，，，，對角線平分．那么是四邊形的“相似對角線”嗎？請說明理由；運用：（3）如圖3，已知是四邊形的“相似對角線”，，平分．連接，若△的面積為，求的長．23．（12分）如圖，射線射線，、在射線上，在射線上，連結，．若，，設．過點，，的圓交的垂線于點，連結，直線，交于點．（1）求．（2）連結，記△的面積為．①求關于的函數表達式；②當時，求此時的值．（3）點關于直線的對稱點為，若落在△內部（不包括邊界）時，請直接寫出的取值范圍．

2023-2024學年浙江省寧波市余姚市高風中學九年級（上）期中數學試卷參考答案與試題解析一.選擇題（本大題10小題，每小題3分，共30分）1．（3分）下列函數中，是二次函數的是A． B． C． D．【分析】根據二次函數的定義求解，二次函數的一般式是，其中．【解答】解：、，是正比例函數，故本選項不符合題意；、，是反比例函數，故本選項不符合題意；、，符合定義，故本選項符合題意；、，是一次函數，故本選項不符合題意；故選．【點評】此題考查了二次函數的定義，熟記二次函數的定義及一般形式是解題的關鍵．2．（3分）二次函數的圖象的頂點坐標是A． B． C． D．【分析】二次函數的頂點坐標是．【解答】解：根據二次函數的頂點式方程知，該拋物線的頂點坐標：．故選：．【點評】本題考查了二次函數的性質和二次函數的三種形式．解答該題時，需熟悉二次函數的頂點式方程中的、所表示的意義．3．（3分）的值等于A． B． C．1 D．【分析】直接根據特殊角的三角函數值作答即可．【解答】解：．故選：．【點評】本題考查了特殊角的三角函數值，熟練掌握特殊角的三角函數值是解答本題的關鍵．4．（3分）下列各事件中，是必然事件的是A．是實數，則 B．擲一枚硬幣時，正面朝上 C．三角形內角和是 D．任意買一張電影票，座位號是單號【分析】根據隨機事件，必然事件，不可能事件的特點逐一判斷即可解答．【解答】解：、是實數，則，是不可能事件，故不符合題意；、擲一枚硬幣時，正面朝上，是隨機事件，故不符合題意；、三角形內角和是，是必然事件，故符合題意；、任意買一張電影票，座位號是單號，是隨機事件，故不符合題意；故選：．【點評】本題考查了隨機事件，絕對值的非負性，三角形內角和定理，熟練掌握這些數學知識是解題的關鍵．5．（3分）已知線段，，則線段和的比例中項為A．6.5 B． C．6 D．【分析】根據比例中項的概念，當兩個比例內項相同時，就叫比例中項，再列出比例式即可得出答案．【解答】解：設線段和的比例中項為，根據比例中項的概念，得，，線段不能是負數，應舍去，取．故選：．【點評】本題考查了比例線段，掌握比例中項的概念是解決問題的關鍵．6．（3分）如圖，，，，則的長為A．9 B．15 C．18 D．12【分析】利用相似三角形的性質求解即可．【解答】解：，△△，，，，，．故選：．【點評】本題考查相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是正確尋找相似三角形解決問題．7．（3分）已知點，是拋物線上的兩點，則，的大小關為A． B． C． D．無法確定【分析】依據題意，由拋物線為，從而拋物線開口向上，且拋物線的對稱軸是直線，故此拋物線上的點離對稱軸越近函數值越小，結合，進而可以判斷得解．【解答】解：拋物線為，拋物線開口向上，且拋物線的對稱軸是直線．拋物線上的點離對稱軸越近函數值越小．又，．故選：．【點評】本題主要考查了二次函數圖象上點的坐標特征，解題時要熟練掌握并能靈活運用二次函數的性質是關鍵．8．（3分）如圖，四邊形內接于，為的直徑，點為的中點，若，則的度數為A． B． C． D．【分析】連接，根據圓周角定理得到，，根據直角三角形的性質計算即可．【解答】解：連接，四邊形內接于，，，，點為的中點，，是直徑，，，故選：．【點評】本題考查的是圓內接四邊形的性質，圓周角定理，掌握直徑所對的圓周角是直角是解題的關鍵．9．（3分）如圖，△中，，，，以點為圓心、為半徑畫弧，交于點，以點為圓心、為半徑畫弧，交于點，則陰影部分的面積為A． B． C． D．【分析】求出，根據三角函數求出；利用扇形的面積公式，根據“陰影部分的面積扇形的面積扇形的面積三角形的面積”計算即可．【解答】解：，，，，，，陰影部分的面積為．故答案為：．【點評】本題考查扇形面積的計算、含30度角的直角三角形、勾股定理，掌握特殊角的三角函數、扇形和三角形面積計算公式是解題的關鍵．10．（3分）如圖，，、，分別是矩形四邊上的點，連結，相交于點，且，，設矩形、矩形、矩形、矩形的面積分別為、、，，矩形矩形，連接交，于點，．下列一定能求出△面積的條件是A． B． C． D．【分析】根據相似矩形設相似比，再運用相似三角形得出關鍵線段長，運用三角形面積公式即可求解．【解答】解：矩形矩形，設矩形與矩形的相似比為，即，設，，則在矩形、矩形中，，，矩形、矩形、矩形的對邊互相平行，，，，，△△，△△，，，，，，，故選：．【點評】本題考查了矩形的性質、相似矩形、相似三角形的性質及判定，找到關鍵線段的長運用三角形面積公式是解題的關鍵．二.填空題（本大題共6小題，每小題4分，共24分）11．（4分）若拋物線向左平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，則所得的拋物線的解析式是．【分析】根據“左加右減，上加下減”的原則進行解答即可．【解答】解：平移后的拋物線的解析式是．故答案為：．【點評】本題考查的是二次函數圖象與幾何變換，熟知“上加下減，左加右減”的原則是解答此題的關鍵．12．（4分）某商店現推出三款杭州亞運會吉祥物盲盒，內分別含有吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“蓮蓮”，則小明任意抽一個盲盒，抽到“宸宸”的概率是．【分析】由題意知，共有3種等可能的結果，其中抽到“宸宸”的結果有1種，利用概率公式可得答案．【解答】解：由題意知，共有3種等可能的結果，其中抽到“宸宸”的結果有1種，小明任意抽一個盲盒，抽到“宸宸”的概率是．故答案為：．【點評】本題考查概率公式，熟練掌握概率公式是解答本題的關鍵．13．（4分）若扇形的圓心角為，半徑為6，則扇形的弧長為．【分析】根據弧長公式計算即可．【解答】解：，扇形的弧長為．故答案為：．【點評】本題考查弧長的計算，掌握弧長的計算公式是解題的關鍵．14．（4分）如圖，△的頂點都是邊長為1的小正方形組成的網格的格點，則的正弦值為．【分析】在△中，利用勾股定理可得，然后利用銳角三角函數的定義進行計算即可解答．【解答】解：如圖：在△中，，，，，故答案為：．【點評】本題考查了解直角三角形，勾股定理，熟練掌握銳角三角函數的定義是解題的關鍵．15．（4分）如圖，在平行四邊形中，為中點，延長至，使，連結交于點，則．【分析】先根據平行四邊形的性質得到，，再證明，接著證明△△，然后根據相似三角形的性質解決問題．【解答】解：四邊形為平行四邊形，，，，，為中點，，即，，△△，．故答案為：．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質：在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發揮基本圖形的作用；靈活運用相似三角形的性質是解決問題的關鍵．也考查了平行四邊形的性質．16．（4分）如圖，△內接于，，，是的中點，則的半徑為6，的長度的最小值是．【分析】連接并延長交于，連接，則，，得到延長到，使，作于，連接，，，根據三角形的中位線定理得到，當長最小時，長最小，當的延長線過圓心時，長最小，根據勾股定理得到，于是得到結論．【解答】解：連接并延長交于，連接，則，，，，即的半徑為6，當時，的長度的最小，是的中點，延長到，使，作于，連接，，，是的中點，是△的中位線，，當長最小時，長最小，當的延長線過圓心時，長最小，，，，，，，，，，，，的長度的最小值是，故答案為：6，．【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心，求線段長的最大值，圓周角定理，勾股定理，關鍵是延長到使，連接構造△的中位線，當過圓心時，即可求得長的最小值．三.解答題（本大題共7小題，共66分）17．（6分）城市小區生活垃圾分為、、、四種不同的類型．（1）甲投放了一袋垃圾，恰好是的概率是．（2）甲、乙分別投放了一袋垃圾，利用樹狀圖或列表求恰好是同一類型垃圾的概率．【分析】（1）由題意知，共有4種等可能的結果，其中恰好是的結果有1種，利用概率公式可得答案．（2）列表可得出所有等可能的結果數以及恰好是同一類型垃圾的結果數，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）由題意知，共有4種等可能的結果，其中恰好是的結果有1種，甲投放了一袋垃圾，恰好是的概率是．故答案為：．（2）列表如下：共有16種等可能的結果，其中恰好是同一類型垃圾的結果有4種，恰好是同一類型垃圾的概率為．【點評】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關鍵．18．（8分）如圖所示，是的一條弦，，垂足為，交于點，點在上．（1）若，求的度數；（2）若，，求的長．【分析】（1）由垂徑定理得，由圓周角定理推論可求；（2）由垂徑定理得，應用勾股定理即可計算．【解答】解：（1），，；（2），，，，，．【點評】本題考查圓周角定理的推論，垂徑定理和勾股定理，關鍵是掌握并熟練應用以上知識點．19．（8分）二次函數、為實數）的圖象經過點，點．（1）求該二次函數的表達式及頂點坐標．（2）當時，求該二次函數的最大值與最小值．【分析】（1）利用待定系數法確定函數的解析式，利用配方法即可求得頂點坐標；（2）根據的取值范圍可知拋物線的頂點二次函數可取得最大值，再由二次函數的對稱性和圖象，即可得出找到最小值．【解答】解：（1）二次函數的圖象經過點，，，解得，該二次函數的解析式，，頂點坐標為；（2）的頂點坐標為，當時，函數的最大值為5，根據二次函數的對稱性，由圖象可知：當時，函數有最小值，最小值．【點評】本題主要考查了求二次函數的解析式、二次函數的圖象和性質，利用二次函數圖象上點的坐標特征，確定二次函數的極值和函數的解析式是解題的關鍵．20．（10分）某商家進購了一批鑰匙扣，每個進價為5元．若該鑰匙扣每個售價是7元時，每天可售出160個；經市場調研，若每個售價提高1元，則每天少賣20個．（1）設該鑰匙扣每個售價定為元時為正整數，且，求該商品利潤與之間的函數關系式；（2）物價局規定利潤率不得高于，求每個售價定為多少元時，每天銷售鑰匙扣所獲利潤最大？最大利潤是多少元？【分析】（1）因為售出每個鑰匙扣可獲利潤元，每天可售出個，所以，即為正整數，且；（2）因為，由利潤率不得高于，可求得，所以當時，，即每個售價定為9元時，每天銷售鑰匙扣所獲利潤最大，最大利潤是560元．【解答】解：（1）根據題意得，整理得，答：該商品利潤與之間的函數關系式為為正整數，且．（2），利潤率不得高于，，，，當時，，答：每個售價定為9元時，每天銷售鑰匙扣所獲利潤最大，最大利潤是560元．【點評】此題重點考查二次函數的應用，正確地求出該商品利潤與之間的函數關系式是解題的關鍵．21．（10分）高風中學校門口安裝有汽車出入道閘．道閘關閉時，如圖1，四邊形為矩形，長3米，長1米，與水平地面垂直．道閘打開的過程中，邊固定，連桿，分別繞點，轉動，且邊始終與邊平行．（1）如圖2，當道閘打開至時，邊上一點，到的距離為2米，到地面的距離為1.1米，求點到地面的距離的長．（2）在（1）的條件下，一輛轎車過道閘，已知轎車的寬為1.9米，高為1.5米．當道閘打開至時，轎車能否駛入校區？請說明理由．（參考數據：，，【分析】（1）先根據銳角三角函數求出的長，再求出的長即可解答；（2）當時，，求出此時的長，再與轎車的寬進行比較即可解答．【解答】解：（1）過點作于點，如圖；在△中，，，，，；（2）轎車不能駛入小區，理由如下：當時，，，，，在△中，，，，轎車不能駛入小區．【點評】本題考查解直角三角形的應用，熟練掌握銳角三角函數是解題關鍵．22．（12分）定義：四邊形的一條對角線把這個四邊形分成了兩個三角形，如果這兩個三角形相似（不全等），就把這條對角線叫做這個四邊形的“相似對角線”．理解：（1）如圖1，△的三個頂點均在正方形網格中的格點上，若四邊形是以為“相似對角線”的四邊形，請用無刻度的直尺在網格中畫出點（保留作圖痕跡，找出2個即可）；（2）如圖2，在四邊形中，，，，對角線平分．那么是四邊形的“相似對角線”嗎？請說明理由；運用：（3）如圖3，已知是四邊形的“相似對角線”，，平分．連接，若△的面積為，求的長．【分析】（1）根據“相似對角線”的定義，可知為△的直角邊，且兩條直角邊之比為，則可找出符合要求的點；（2）由角平分線的定義得，則，從而得出△△，即可證明結論；（3）作于點，根據相似三角形的性質可得，再利用含角的直角三角形的性質得，從而得出，即可解決問題．【解答】解：（1）如圖1所示（答案不唯一）（2）是四邊形的“相似對角線”，理由如下：平分，，，，，△△，是四邊形的“相似對角線”；（3）如圖3，作于點，”，平分，．又是四邊形的“相似對角線”，