第八章數學建模活動（一）§1走近數學建模§2數學建模的主要步驟§3數學建模活動的主要過程【學習目標】1.了解哥尼斯堡七橋問題的由來,理解歐拉解決哥尼斯堡七橋問題的方法,掌握一筆畫定理的步驟.2.了解數學模型的實際背景及其數學描述,了解數學模型中的參數、結論的實際意義.3.能夠在熟悉的情境中發現問題并轉化為數學問題.4.通過案例,熟悉模型分析、模型假設、模型建立、模型求解的全過程,理解初等模型的特點及一般的建模方法,提高數學建模能力,提高理論聯系實際的能力.5.了解課題研究的四個步驟及每個步驟所包含的內容.一、數學建模數學建模是對現實問題進行數學抽象,用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的過程.二、數學建模的基本步驟1.提出問題實際情境中的問題往往是模糊的和籠統的,原始的問題往往是一個希望得到優化的期待,或是某個不良現象的消失.這就需要透過現象,明確地提出問題.2.建立模型在一定的知識積累的基礎上,預測建立的數學模型,抓住主要因素,摒棄次要因素,做出適當簡化和假設.在假設的基礎上,用數學概念表示實際問題,用數學結構反映實際問題中各個量之間的關系.3.求解模型這個過程就是求解數學問題.值得注意的是,如果目標是求值,一般不容易求得精確值,這就要根據需要求近似解.4.檢驗結果用實際現象或數據檢驗求得的解是否符合實際.如果不符合實際情況,就要重新建模.三、建模舉例1.問題提出妹妹小英過生日,媽媽給她做了一塊邊界形狀任意的蛋糕(如圖所示),哥哥小明也想吃,小英指著蛋糕上一點對哥哥說,你能過這一點切一刀,讓切下的兩塊蛋糕的面積相等嗎?如果能做到,便把其中的一塊送給你.2.模型假設(1)假設蛋糕是平放在桌上的,即蛋糕上表面與水平面是平行的.(2)假設蛋糕的質地均勻,即蛋糕密度相同,形狀為不規則柱形.3.模型建立已知平面上一條沒有交叉點的封閉曲線(無論什么形狀),P是曲線所圍成的圖形內部一點.(如圖)求證:存在一條過P的直線l,將這個圖形的面積二等分.4.模型求解過點P任作一條直線l,l將曲線所圍成的圖形分為兩部分,其面積分別記為S1,S2.如果S1=S2,則l即是所要找的直線.現在,我們考慮S1≠S2的情形.不失一般性,設S1>S2.建立如圖所示的坐標軸(x軸),并在直線l上取一點Q(異于點P),把x軸的正方向以點P為旋轉中心,旋轉到射線PQ的方向所成的角記為α,并設初始位置的角為α0.以點P為旋轉中心,將直線l按逆時針方向旋轉,則面積S1,S2就連續地依賴于角α的變化而變化,即S1=S1(α),S2=S2(α)都是關于α的連續函數(圖象是一條連續的曲線).令f(α)=S1(α)-S2(α),則函數f(α)是閉區間[α0,α0+π]上的連續函數,并且f(α0)=S1(α0)-S2(α0)>0,f(α0+π)=S1(α0+π)-S2(α0+π)=S2(α0)-S1(α0)<0.則根據零點存在定理可知,存在一點c∈(α0,α0+π),使得f(c)=S1(c)-S2(c)=0,即存在一點c∈(α0,α0+π),使得S1(c)=S2(c).5.模型結論通過上述幾何問題的證明,我們得知,對于蛋糕上的任意一個指定的點,一定存在過這個指定點的一條直線l,使得沿l切開這塊蛋糕能將這塊蛋糕切成面積相等的兩塊.6.模型評價本模型只從理論上證明了二等分蛋糕的可行性.但是,并沒有解決怎樣將一個蛋糕具體二等分的問題.四、數學建模活動的主要過程1.選題“選題”就是選定研究的問題.選題來源有三:(1)閱讀已有的研究論文,用同樣的方法研究類似的問題.(2)研究已有的論文,換個視角、增加問題的復雜性,進一步研究相關的問題.(3)用數學的眼光觀察世界,發現研究新的問題.2.開題“開題”是進一步明確研究的問題和設計解決問題的方案.開題主要做的工作是:(1)明確研究的問題,說明問題研究的價值,估計可能的結果;(2)選擇研究方法,確定人員分工,形成研究的實施方案;(3)完成開題報告.3.做題“做題”是研究者(研究小組)建立數學模型、用數學解決實際問題的實踐活動.“做題”需要