上海復旦附中2025屆數學高二上期末學業水平測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知橢圓：的離心率為，則實數（）A. B.C. D.2．已知雙曲線的左、右焦點分別為，點在的左支上，過點作的一條漸近線的垂線，垂足為，則的最小值為（）A. B.C. D.3．橢圓的焦點坐標為（）A.， B.，C.， D.，4．已知，向量，，若，則x的值為（）A.-1 B.1C.-2 D.25．函數的定義域為開區間，導函數在內的圖像如圖所示，則函數在開區間內有極小值點（）A.個 B.個C.個 D.個6．函數f（x）=xex的單調增區間為（）A.（-∞，-1） B.（-∞，e）C.（e，+∞） D.（-1，+∞）7．已知是空間的一個基底，若，，若，則（）A. B.C.3 D.8．若兩直線與互相垂直，則k的值為（）A.1 B.-1C.-1或1 D.29．已知數列是等比數列，且，則的值為（）A.3 B.6C.9 D.3610．已知數列滿足，其前項和為，，．若數列的前項和為，則滿足成立的的最小值為（）A.10 B.11C.12 D.1311．下列語句為命題的是（）A. B.你們好！C.下雨了嗎？ D.對頂角相等12．已知是兩個數1，9的等比中項，則圓錐曲線的離心率為（）A.或 B.或C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知正三棱柱中，底面積為，一個側面的周長為，則正三棱柱外接球的表面積為______.14．已知O為坐標原點，拋物線C：的焦點為F，P為C上一點，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點，且，若，則______.15．設數列的前n項和為，且是6和的等差中項，若對任意的，都有，則的最小值為________16．已知，，，若，則______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知的展開式中，第4項的系數與倒數第4項的系數之比為.（1）求m的值；（2）求展開式中所有項的系數和與二項式系數和.18．（12分）在中，角的對邊分別為，已知，,且.（1）求角的大小；（2）若，面積為，試判斷的形狀，并說明理由.19．（12分）在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（2）若與相交于A、兩點，設，求.20．（12分）共享電動車（sharedev）是一種新的交通工具，通過掃碼開鎖，實現循環共享.某記者來到中國傳媒大學探訪，在校園噴泉旁停放了10輛共享電動車，這些電動車分為熒光綠和橙色兩種顏色，已知從這些共享電動車中任取1輛，取到的是橙色的概率為，若從這些共享電動車中任意抽取3輛.（1）求取出的3輛共享電動車中恰好有一輛是橙色的概率；（2）求取出的3輛共享電動車中橙色的電動車的輛數X的分布列與數學期望.21．（12分）已知直線.（1）若，求直線與直線的交點坐標；（2）若直線與直線垂直，求a的值.22．（10分）已知的頂點，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為.求：（1）頂點的坐標；（2）直線的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據題意，先求得的值，代入離心率公式，即可得答案.【詳解】因為，所以所以，解得.故選：C2、D【解析】利用雙曲線定義可得到，將的最小值變為的最小值問題，數形結合得解.【詳解】由題意得，故，如圖所示：到漸近線的距離,則，當且僅當，，三點共線時取等號，∴的最小值為.故選：D3、A【解析】由題方程化為橢圓的標準方程求出c，則橢圓的焦點坐標可求【詳解】由題得方程可化為，所以所以焦點為故選：A.4、D【解析】根據給定條件利用空間向量垂直的坐標表示計算作答.【詳解】因向量，，，則，解得，所以x的值為2.故選：D5、A【解析】利用極小值的定義判斷可得出結論.【詳解】由導函數在區間內的圖象可知，函數在內的圖象與軸有四個公共點，在從左到右第一個點處導數左正右負，在從左到右第二個點處導數左負右正，在從左到右第三個點處導數左正右正，在從左到右第四個點處導數左正右負，所以函數在開區間內的極小值點有個，故選：A.6、D【解析】求出，令可得答案.【詳解】由已知得，令，得，故函數f（x）=xex的單調增區間為（-1，+∞）.故選：D.7、C【解析】由，可得存在實數，使，然后將代入化簡可求得結果【詳解】，，因，所以存在實數，使，所以，所以，所以，得，，所以，故選：C8、B【解析】根據互相垂直的兩直線的性質進行求解即可.【詳解】由，因此直線的斜率為，直線的斜率為，因為兩直線與互相垂直，所以，故選：B9、C【解析】應用等比中項的性質有，結合已知求值即可.【詳解】由等比數列的性質知：，，，所以，又，所以.故選：C10、A【解析】根據題意和對數的運算公式可證得為以2為首項，2為公比的等比數列，求出，進而得到，利用裂項相消法求得，再解不等式即可.【詳解】由，又，所以數列是以2為首項，2為公比的等比數列，故，則，所以，由，得，即，有，又，所以，即n的最小值為10.故選：A11、D【解析】根據命題的定義判斷即可.【詳解】因為能夠判斷真假的語句叫作命題，所以ABC錯誤，D正確.故選：D12、A【解析】根據題意可知，當時，根據橢圓離心率公式，即可求出結果；當時，根據雙曲線離心率公式,即可求出結果.【詳解】因為是兩個數1，9的等比中項，所以，所以，當時，圓錐曲線，其離心率為；當時，圓錐曲線，其離心率為；綜上，圓錐曲線的離心率為或.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】首先由條件求出底面邊長和高，然后設、分別為上、下底面的的中心，連接，設的中點為，則點為正三棱柱外接球的球心，然后求出的長度即可.【詳解】如圖所示，設底面邊長為，則底面面積為，所以，因此等邊三角形的高為：，因為一個側面的周長為，所以設、分別為上、下底面的的中心，連接，設的中點為則點為正三棱柱外接球的球心，連接、則在直角三角形中，即外接球的半徑為，所以外接球的表面積為，故答案為：【點睛】關鍵點睛：求幾何體的外接球半徑的關鍵是根據幾何體的性質找出球心的位置.14、3【解析】先求點坐標，再由已知得Q點坐標，由列方程得解.【詳解】拋物線：()的焦點，∵P為上一點，與軸垂直，所以P的橫坐標為，代入拋物線方程求得P的縱坐標為，不妨設，因為Q為軸上一點，且，所以Q在F的右側，又，，，因為，所以，，所以3故答案為：3.15、【解析】先根據和項與通項關系得通項公式，再根據等比數列求和公式得，再根據函數單調性得取值范圍，即得取值范圍，解得結果.【詳解】因為是6和的等差中項，所以當時，當時，因此當為偶數時，當為奇數時，因此因為在上單調遞增，所以故答案為：【點睛】本題考查根據和項求通項、等比數列定義、等比數列求和公式、利用函數單調性求值域，考查綜合分析求解能力，屬較難題.16、【解析】根據題意，由向量坐標表示，列出方程，求出，，即可得出結果.【詳解】因為，，，若，則，解得，所以.故答案為：.【點睛】本題主要考查由向量坐標表示求參數，屬于基礎題型.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）所有項的系數和為，二項式系數和為【解析】(1)寫出展開式的通項，求出其第4項系數和倒數第4項系數，列出方程即可求出m的值；(2)令x＝1即可求所有展開項系數之和，二項式系數之和為2m.【小問1詳解】展開式的通項為：，∴展開式中第4項的系數為，倒數第4項的系數為，∴，即.【小問2詳解】令可得展開式中所有項的系數和為，展開式中所有項的二項式系數和為.18、（1）；（2）為等邊三角形【解析】（1）由（2b﹣c）cosA﹣acosC＝0及正弦定理，得sinB（2cosA﹣1）＝0，從而得角A；（2）由S△ABC＝bcsinA＝，可得bc＝3，①；再由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA可得b2+c2＝6，②；聯立①②可求得b＝c＝，從而可判斷△ABC的形狀【詳解】（1）由（2b﹣c）cosA﹣acosC＝0及正弦定理，得（2sinB﹣sinC）cosA﹣sinAcosC＝0，∴2sinBcosA﹣sin（A+C）＝0，sinB（2cosA﹣1）＝0∵0＜B＜π，∴sinB≠0，∴cosA＝．∵0＜A＜π，∴A＝（2）△ABC為等邊三角形，∵S△ABC＝bcsinA＝，即bcsin＝，∴bc＝3，①∵a2＝b2+c2﹣2bccosA，A＝，a＝，∴b2+c2＝6，②由①②得b＝c＝，∴△ABC為等邊三角形【點睛】本題考查三角形形狀的判斷，著重考查正弦定理與余弦定理的應用，考查方程思想與運算求解能力，屬于中檔題19、（1）曲線的普通方程為；曲線的直角坐標方程為（2）【解析】（1）直接利用轉換關系式把參數方程和極坐標方程轉化為直角坐標方程；（2）易得滿足直線的方程，轉化為參數方程，代入曲線的普通方程，再利用韋達定理結合弦長公式即可得出答案.【小問1詳解】解：曲線的參數方程為（為參數），轉化為普通方程為，曲線的極坐標方程為，即，根據，轉化為直角坐標方程為；【小問2詳解】解：因為滿足直線的方程，將轉化為參數方程為（為參數），代入，得，設A、兩點的參數分別為，則，所以.20、（1）；（2）分布列見解析，數學期望為.【解析】（1）先求出兩種顏色的電動車各有多少輛，然后根據超幾何分布求概率的方法即可求得答案；（2）先確定X的所有可能取值，進而求出概率并列出分布列，然后根據期望公式求出答案.【小問1詳解】因為從10輛共享電動車中任取一輛，取到橙色的概率為0.4，所以橙色的電動車有4輛，熒光綠的電動車有6輛.記A為“從中任取3輛共享單車中恰好有一輛是橙色”，則.【小問2詳解】隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3.所以，，，.所以分布列為0123數學期望.21、（1）（2）【解析】（1）聯立兩直線方程，解方程組即可得解；（2）根據兩直線垂直列出方程，解之即可得出答案.【小問1詳解】解：當時，直線，聯立，解得，即交點坐標為；【小問2詳解】解：直線