湖南省長沙市芙蓉區(qū)鐵路第一中學2025屆高二數學第一學期期末學業(yè)水平測試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．一輛汽車做直線運動，位移與時間的關系為，若汽車在時的瞬時速度為12，則（）A. B.C.2 D.32．已知拋物線，過拋物線的焦點作軸的垂線，與拋物線交于、兩點，點的坐標為，且為直角三角形，則以直線為準線的拋物線的標準方程為（）A. B.C. D.3．在區(qū)間內隨機取一個數則該數滿足的概率為（）A. B.C. D.4．如圖是一水平放置的青花瓷．它的外形為單葉雙曲面，可看成是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所形成的曲面，且其外形上下對稱．花瓶的最小直徑為，瓶口直徑為，瓶高為，則該雙曲線的虛軸長為（）A. B.C. D.455．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為棱A1B1上一點，且AB＝2，若二面角B1﹣BC1﹣E為45°，則四面體BB1C1E的外接球的表面積為（）A.π B.12πC.9π D.10π6．已知直線與直線垂直，則（）A. B.C. D.37．變量，滿足約束條件則的最小值為()A. B.C. D.58．已知直線的一個方向向量為，則直線的傾斜角為（）A. B.C. D.9．某市2016年至2020年新能源汽車年銷量y（單位：百臺）與年份代號x的數據如下表：年份20162017201820192020年份代號x01234年銷量y1015m3035若根據表中的數據用最小二乘法求得y關于x的回歸直線方程為，則表中m的值為（）A.22 B.20C.30 D.32.510．某企業(yè)甲車間有200人，乙車間有300人，現用分層抽樣的方法在這兩個車間中抽取25人進行技能考核，則從甲車間抽取的人數應為（）A.5 B.10C.8 D.911．已知圓，直線，直線l被圓O截得的弦長最短為（）A. B.C.8 D.912．已知三棱柱的所有棱長均為2，平面，則異面直線，所成角的余弦值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．拋物線的焦點坐標為________14．不等式是的解集為______15．已知等差數列的前項和為，則數列的前2022項的和為___________.16．某中學高一年級有420人，高二年級有460人，高三年級有500人，用分層抽樣的方法抽取部分樣本，若從高一年級抽取21人，則從高三年級抽取的人數是__________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某工廠為了對新研發(fā)的一種產品進行合理定價，將該產品按事先擬定的價格進行試銷，得到如下數據：單價x（元）88.28.48.68.89銷量y（件）908483807568（1）求回歸直線方程中的實數；（2）根據回歸方程預測當單價為10元時的銷量.18．（12分）某市對排污水進行綜合治理，征收污水處理費，系統對各廠一個月內排出污水量x噸收取的污水處理費y元，運行程序如圖所示：INPUTxIFTHENELSEIFTHENELSEENDIFENDIFPRINTyEND（1）請寫出y與x的函數關系式；（2）求排放污水150噸的污水處理費用.19．（12分）如圖長方體中，，，點為的中點.（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求二面角的余弦值.20．（12分）已知，，（1）若，為真命題，為假命題，求實數x的取值范圍；（2）若是的充分不必要條件，求實數m的取值范圍21．（12分）已知函數.（1）求函數在處的切線方程；（2）求函數在區(qū)間上的最大值與最小值.22．（10分）已知，其中.（1）若,求在處的切線方程；（2）若是函數的極小值點，求函數在區(qū)間上的最值；（3）討論函數的單調性.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】首先求出函數的導函數，依題意可得，即可解得；【詳解】解：因為，所以又汽車在時的瞬時速度為12，即即，解得故選：D【點睛】本題考查導數在物理中的應用，屬于基礎題.2、B【解析】設點位于第一象限，求得直線的方程，可得出點的坐標，由拋物線的對稱性可得出，進而可得出直線的斜率為，利用斜率公式求得的值，由此可得出以直線為準線的拋物線的標準方程.【詳解】設點位于第一象限，直線的方程為，聯立，可得，所以，點.為等腰直角三角形，由拋物線的對稱性可得出，則直線的斜率為，即，解得.因此，以直線為準線的拋物線的標準方程為.故選：B.【點睛】本題考查拋物線標準方程的求解，考查計算能力，屬于中等題.3、C【解析】求解不等式，利用幾何概型的概率計算公式即可容易求得.【詳解】求解不等式可得：，由幾何概型的概率計算公式可得：在區(qū)間內隨機取一個數則該數滿足的概率為.故選：.4、C【解析】設雙曲線方程為，，由已知可得，并求得雙曲線上一點的坐標，把點的坐標代入雙曲線方程，求解，即可得到雙曲線的虛軸長【詳解】設點是雙曲線與截面的一個交點，設雙曲線的方程為：，花瓶的最小直徑，則，由瓶口直徑為，瓶高為，可得，故，解得，該雙曲線的虛軸長為故選：5、D【解析】連接交于，可得，利用線面垂直的判定定理可得：平面，于是，可得而為二面角的平面角，再求出四面體的外接球半徑，進而利用球的表面積計算公式得出結論【詳解】連接交于，則，易知，則平面，所以，從而為二面角的平面角，則.因為，所以，所以四面體的外接球半徑故四面體BB1C1E的外接球的表面積為故選：D【點睛】本題考查了正方體的性質、線面垂直的判定與性質定理、二面角的平面角、球的表面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題6、D【解析】先分別求出兩條直線的斜率，再利用兩直線垂直斜率之積為，即可求出.【詳解】由已知得直線與直線的斜率分別為、，∵直線與直線垂直，∴，解得，故選：.7、A【解析】根據不等式組，作出可行域，數形結合即可求z的最小值.【詳解】根據不等式組作出可行域如圖，，則直線過A(－1，0)時，z取最小值.故選：A.8、A【解析】由直線斜率與方向向量的關系算出斜率，然后可得.【詳解】記直線的傾斜角為，由題知，又，所以，即.故選：A9、B【解析】求出樣本中心的橫坐標，代入回歸直線方程，求出樣本中心的縱坐標，然后求解即可【詳解】因為，代入回歸直線方程為，所以，，于是得，解得故選：B10、B【解析】根據分層抽樣的定義即可求解.【詳解】從甲車間抽取的人數為人故選：B11、B【解析】先求得直線過定點，再根據當點與圓心連線垂直于直線l時，被圓O截得的弦長最短求解.【詳解】因為直線方程，即為，所以直線過定點，因為點在圓的內部，當點與圓心連線垂直于直線l時，被圓O截得的弦長最短，點與圓心（0，0）的距離為，此時，最短弦長為，故選：B12、A【解析】建立空間直角坐標系，利用向量法求解【詳解】以為坐標原點，平面內過點且垂直于的直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，，∴，，∴，∴異面直線，所成角的余弦值為.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用焦點坐標為求解即可【詳解】因為，所以，所以焦點的坐標為，故答案：14、【解析】由可得，結合分式不等式的解法即可求解.【詳解】由可得，整理可得：，則，解可得：.所以不等式是的解集為:.故答案為：.15、【解析】先設等差數列的公差為，根據題中條件，求出首項和公差，得出前項和，再由裂項相消的方法，即可求出結果.【詳解】設等差數列的公差為，因為，，所以，解得，因此，所以，所以數列的前2022項的和為.故答案：.16、25【解析】由條件先求出抽樣比，從而可求出從高三年級抽取的人數.【詳解】由題意抽樣比例：則從高三年級抽取的人數是人故答案為：25三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）250.（2）50（件）.【解析】(1)數據的平均值一定在回歸直線上；(2)將x=10代入回歸方程即可.【小問1詳解】由表中數據可得，，，代入，解得.【小問2詳解】由（1）得，故單價為10元時，.當單價為10元時銷量為50件.18、（1）；（2）1400（元）.【解析】（1）根據已知條件即可容易求得函數關系式；（2）根據（1）中所求函數關系式，令，求得函數值即可.【小問1詳解】根據題意，得：當時，；當時，；當時，.即.【小問2詳解】因為，故，故該廠應繳納污水處理費1400元.19、（1）見解析（2）見解析（3）【解析】（1）作輔助線，由中位線定理證明，再由線面平行的判定定理證明即可；（2）連接，由勾股定理證明，，再結合線面垂直的判定定理證明即可；（3）建立空間直角坐標系，利用向量法求面面角的余弦值即可.【詳解】（1）連接交與點，連接四邊形為正方形，點為的中點又點為的中點，平面，平面平面（2）連接由勾股定理可知，，則同理可證，平面平面（3）建立如下圖所示的空間直角坐標系顯然平面的法向量即為平面的法向量，不妨設為由（2）可知平面，即平面的法向量為又二面角是鈍角二面角的余弦值為【點睛】關鍵點睛：在第一問中，關鍵是利用中位線定理找到線線平行，再由定義證明線面平行；在第二問中，關鍵是利用勾股定理證明線線垂直，從而得出線面垂直；在第三問中，關鍵是建立坐標系，利用向量法求面面角的余弦值.20、（1）；（2）【解析】(1)化簡命題p，將m=3代入求出命題q，再根據或、且連接的命題真假確定p，q真假即可得解；(2)由給定條件可得p是q的必要不充分條件，再列式計算作答.【詳解】(1)依題意，：，當時，：，因為真命題，為假命題，則與一真一假，當真假時，即且或，無解，當假真時，即或且，解得或，綜上得：或，所以實數x的取值范圍是；(2)因是的充分不必要條件，則p是q的必要不充分條件，于是得，解得，所以實數m的取值范圍是21、（1）（2），【解析】(1)根據導數的幾何意義即可求解；(2)根據導數的正負判斷f(x)的單調性，根據其單調性即可求最大值和最小值.【小問1詳解】，切點為(1，－2)，∵，∴切線斜率，切線方程為；【小問2詳解】令，解得，1200極大值極小值2∵，，∴當時，，.22、（1）；（2）最大值為5，最小值為；（3）答案見解析.【解析】（1）求出導函數，進而根據導數的幾何意義求出切線的斜率，然后求出切線方程；（2）根據求出a，進而求出函數的單調區(qū)間，然后求出函數的最值；（3）先求出導函數，然后討論a的取值范圍，進而求出函數的單調區(qū)間.【小問1詳解】當時，，，切