江西師范大學(xué)附中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末調(diào)研模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知F為橢圓的右焦點(diǎn)，A為C的右頂點(diǎn)，B為C上的點(diǎn)，且垂直于x軸．若直線AB的斜率為，則橢圓C的離心率為（）A. B.C. D.2．?dāng)?shù)列滿足，對(duì)任意，都有，則（）A. B.C. D.3．已知為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是()A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則4．已知拋物線x2＝4y上有一條長為6的動(dòng)弦AB，則AB的中點(diǎn)到x軸的最短距離為()A. B.C.1 D.25．已知函數(shù)，則的值為（）A. B.C. D.6．如圖，修建一條公路需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接（相切）.已知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數(shù)圖象的一部分，則該函數(shù)的解析式為（）A.B.C.D.7．某學(xué)校要從5名男教師和3名女教師中隨機(jī)選出3人去支教，則抽取的3人中，女教師最多為1人的選法種數(shù)為（）A.10 B.30C.40 D.468．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將之稱為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有橢圓為橢圓長軸的端點(diǎn)，為橢圓短軸的端點(diǎn)，，分別為橢圓的左右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足面積的最大值為面積的最小值為，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.9．已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限10．在等比數(shù)列中，，，則等于（）A. B.5C. D.911．金剛石的成分為純碳，是自然界中存在的最堅(jiān)硬物質(zhì)，它的結(jié)構(gòu)是由8個(gè)等邊三角形組成的正八面體.若某金剛石的棱長為2，則它外接球的體積為（）A. B.C. D.12．中國古代數(shù)學(xué)著作算法統(tǒng)宗中有這樣一個(gè)問題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見首日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還．”其大意為：有一個(gè)人走里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，恰好走了天到達(dá)目的地，則該人第一天走的路程為（）A.里 B.里C.里 D.里二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖莖葉圖記錄了A、兩名營業(yè)員五天的銷售量，若A的銷售量的平均數(shù)比的銷售量的平均數(shù)多1，則A營業(yè)員銷售量的方差為___________.14．分別過橢圓的左、右焦點(diǎn)、作兩條互相垂直的直線、，它們的交點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，則橢圓的離心率的取值范圍是________15．某市開展“愛我內(nèi)蒙，愛我家鄉(xiāng)”攝影比賽，9位評(píng)委給參賽作品A打出的分?jǐn)?shù)如莖葉圖所示，記分員算得平均分為91，復(fù)核員在復(fù)核時(shí)，發(fā)現(xiàn)一個(gè)數(shù)字（莖葉圖中的x）無法看清，若記分員計(jì)算無誤，則數(shù)字x應(yīng)該是______16．若橢圓的焦點(diǎn)在軸上，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為，，直線恰好經(jīng)過橢圓的上焦點(diǎn)和右頂點(diǎn)，則橢圓的方程是________________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在中，（1）求的大?。唬?）若，．求的面積18．（12分）已知拋物線的方程為，點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)（1）是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由；（2）若點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，且，求面積的最小值19．（12分）隨著生活條件的改善，人們健身意識(shí)的增強(qiáng)，健身器械比較暢銷，某商家為了解某種健身器械如何定價(jià)可以獲得最大利潤，現(xiàn)對(duì)這種健身器械進(jìn)行試銷售.統(tǒng)計(jì)后得到其單價(jià)x（單位：百元）與銷量y（單位：個(gè)）的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表：單價(jià)x（百元/個(gè)）3035404550日銷售量y（個(gè)）1401301109080（1）已知銷量y與單價(jià)x具有線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于x的線性回歸方程；（2）若每個(gè)健身器械的成本為25百元，試銷售結(jié)束后，請(qǐng)利用（1）中所求的線性回歸方程確定單價(jià)為多少百元時(shí)，銷售利潤最大？（結(jié)果保留到整數(shù)），附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為.參考數(shù)據(jù)：.20．（12分）已知橢圓的左頂點(diǎn)、上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為，且的面積為，橢圓上的動(dòng)點(diǎn)到的最小距離是（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓的左頂點(diǎn)作兩條互相垂直的直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)（異于點(diǎn)）.①證明：動(dòng)直線恒過軸上一定點(diǎn)；②設(shè)線段中點(diǎn)為，坐標(biāo)原點(diǎn)為，求的面積的最大值.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（1）求邊垂直平分線所在的直線的方程；（2）若的面積為5，求點(diǎn)的坐標(biāo)22．（10分）已知圓，是圓上一點(diǎn)，過A作直線l交圓C于另一點(diǎn)B，交x軸正半軸于點(diǎn)D，且A為的中點(diǎn).（1）求圓C在點(diǎn)A處的切線方程；（2）求直線l的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)題意表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，再由直線AB的斜率為，列方程可求出橢圓的離心率【詳解】由題意得，，當(dāng)時(shí)，，得，由題意可得點(diǎn)在第一象限，所以，因?yàn)橹本€AB的斜率為，所以，化簡得，所以，，得（舍去），或，所以離心率，故選：D2、C【解析】首先根據(jù)題設(shè)條件可得，然后利用累加法可得，所以，最后利用裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】由，得，則，所以，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查累加法求數(shù)列通項(xiàng)，考查利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查邏輯思維能力和計(jì)算能力，屬于?？碱}.3、D【解析】根據(jù)空間里面直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的相關(guān)定理逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】A，若，則或異面，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B，若，則或相交，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C，若，則α，β不一定垂直，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D，若，則利用面面垂直的性質(zhì)可得，故該選項(xiàng)正確.故選：D.4、D【解析】由題意知，拋物線的準(zhǔn)線l：y＝－1，過A作AA1⊥l于A1，過B作BB1⊥l于B1，設(shè)弦AB的中點(diǎn)為M，過M作MM1⊥l于M1.則|MM1|＝.|AB|≤|AF|＋|BF|(F為拋物線的焦點(diǎn))，即|AF|＋|BF|≥6，|AA1|＋|BB1|≥6,2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故M到x軸的距離d≥2.5、C【解析】利用導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算法則求得，再求解【詳解】因?yàn)?，所以，所以故選：C6、D【解析】由題設(shè)，“需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接（相切）“可得出此兩點(diǎn)處的切線正是兩條直道所在直線，由此規(guī)律驗(yàn)證四個(gè)選項(xiàng)即可得出答案【詳解】由函數(shù)圖象知，此三次函數(shù)在上處與直線相切，在點(diǎn)處與相切，下研究四個(gè)選項(xiàng)中函數(shù)在兩點(diǎn)處的切線A：，將0代入，此時(shí)導(dǎo)數(shù)為，與點(diǎn)處切線斜率為矛盾，故A錯(cuò)誤B：，將0代入，此時(shí)導(dǎo)數(shù)為，不為，故B錯(cuò)誤；C：，將2代入，此時(shí)導(dǎo)數(shù)為，與點(diǎn)處切線斜率為3矛盾，故C錯(cuò)誤；D：，將0，2代入，解得此時(shí)切線的斜率分別是，3，符合題意，故D正確；故選：D.7、C【解析】可分為女教師0人，男教師3人和女教師1人，男教師2人兩種情況，用組合數(shù)表示計(jì)算即得解【詳解】女教師最多為1人即女教師為0人或者1人若女教師為0人，則男教師有3人，有種選擇；若女教師為1人，則男教師2人，有種選擇；故女教師最多為1人的選法種數(shù)為種故選：C8、A【解析】由題可得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，可得，，即求.【詳解】設(shè)，，由，可得=2，化簡得.∵△MAB面積的最大值為面積的最小值為，∴，，∴，即，∴故選：A9、D【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可確定復(fù)數(shù)所在象限【詳解】復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限故選：D10、D【解析】由等比數(shù)列的項(xiàng)求公比，進(jìn)而求即可.【詳解】由題設(shè)，，∴故選：D11、A【解析】求得外接球的半徑，進(jìn)而計(jì)算出外接球體積.【詳解】設(shè)，正八面體的棱長為，根據(jù)正八面體的性質(zhì)可知：，所以是外接球的球心，且半徑，所以外接球的體積為.故選：A12、C【解析】建立等比數(shù)列的模型，由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解【詳解】記第天走的路程為里，則是等比數(shù)列，，，故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、44【解析】先根據(jù)題意求出x的值，進(jìn)而利用方差公式求出A營業(yè)員銷售量的方差.【詳解】由A的平均數(shù)比的平均數(shù)多1知，A的總量比的總量多5，所以，A的平均數(shù)為17，方差為.故答案為：4414、【解析】根據(jù)條件可知以為直徑的圓在橢圓的內(nèi)部，可得，再根據(jù)，即可求得離心率的取值范圍.【詳解】根據(jù)條件可知，以為直徑的圓與橢圓沒有交點(diǎn)，即，即，，即.故填：.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓離心率的取值范圍，求橢圓離心率是常考題型，涉及的方法包含1.根據(jù)直接求，2.根據(jù)條件建立關(guān)于的齊次方程求解，3.根據(jù)幾何關(guān)系找到的等量關(guān)系求解.15、1【解析】由平均數(shù)列出方程，求出x的值.【詳解】由題意得：，解得：.故答案為：116、【解析】設(shè)過點(diǎn)的圓的切線為，分類討論求得直線分別與圓的切線，求得直線的方程，從而得到直線與軸、軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，得到橢圓的右焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)，進(jìn)而求得橢圓的方程.【詳解】設(shè)過點(diǎn)的圓的切線分別為，即，當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，不存在，直線方程為，恰好與圓相切于點(diǎn)；當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，原點(diǎn)到直線的距離為，解得，此時(shí)直線的方程為，此時(shí)直線與圓相切于點(diǎn)，因此，直線的斜率為，直線的方程為，所以直線交軸交于點(diǎn)，交于軸于點(diǎn)，橢圓的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，所以，可得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）利用正弦定理將邊化角，再根據(jù)兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式得到，即可得解；（2）首先由余弦定理求出，即可得到，再根據(jù)面積公式計(jì)算可得；【小問1詳解】解：因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，即，又在中，，所以，，所以；【小?詳解】解：由余弦定理得，即，解得，所以，又，所以；.18、（1）是,；（2）【解析】（1）由題意設(shè)出所在直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，化為關(guān)于的一元二次方程，由根與系數(shù)的關(guān)系即可求得為定值；（2）當(dāng)?shù)男甭蕿?時(shí)，求得三角形的面積為；當(dāng)?shù)男甭什粸?時(shí)，由弦長公式求解，再由點(diǎn)到直線的距離公式求到的距離，代入三角形面積公式，利用函數(shù)單調(diào)性可得三角形的面積大于，由此可得面積的最小值【詳解】（1）由題意知，直線斜率存在，不妨設(shè)其方程為，聯(lián)立拋物線的方程可得，設(shè)，，則，，所以，，所以，所以是定值（2）當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，，又，，此時(shí)當(dāng)直線的斜率不力0時(shí)，，又因?yàn)椋抑本€的斜率不為0，所以，即，所以點(diǎn)到直線的距離，此時(shí)，因?yàn)?，所以，綜上，面積的最小值為19、（1）；（2）確定單價(jià)為50百元時(shí)，銷售利潤最大.【解析】（1）根據(jù)參考公式和數(shù)據(jù)求出，進(jìn)而求出線性回歸方程；（2）設(shè)出定價(jià)，結(jié)合（1）求出利潤，進(jìn)而通過二次函數(shù)的性質(zhì)求得答案.【小問1詳解】由題意，，則，，結(jié)合參考數(shù)據(jù)可得，，所以線性回歸方程為.【小問2詳解】設(shè)定價(jià)為x百元，利潤為，則，由題意，則（百元）時(shí)，最大.故確定單價(jià)為50百元時(shí)，銷售利潤最大.20、（1）（2）①證明見解析；②【解析】（1）根據(jù)題意得，，解方程即可；（2）①設(shè)直線：，直線：，聯(lián)立曲線分別求出點(diǎn)和的坐標(biāo)，求直線方程判斷定點(diǎn)即可；②根據(jù)題意得，代入求最值即可.【小問1詳解】根據(jù)題意得，，，又，三個(gè)式子聯(lián)立解得，，，所以橢圓的方程為：【小問2詳解】①證明：設(shè)兩條直線分別為和，根據(jù)題意和得斜率存在且不等于；因?yàn)?，所以設(shè)直線：，直線：；由，解得，所以，同理，.當(dāng)時(shí)，，所以直線的方程為：，整理得，此時(shí)直線過定點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線的方程為：，此時(shí)直線過定點(diǎn)，故直線恒過定點(diǎn).②根據(jù)題意得，，，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故的面積的最大值為：.【點(diǎn)睛】解決直線與橢圓綜合問題時(shí)，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題21、（1）；（2）或【解析】（1）由題意直線的斜率公式，兩直線垂直的性質(zhì)，求出的斜率，再用點(diǎn)斜式求直線的方程（2）根據(jù)的面積為5，求得點(diǎn)到直線的距離，再利用點(diǎn)到直線的距離公式，求得的值【詳解】解：（1）