福建省廈門市廈門一中2025屆高二數學第一學期期末監測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知數列滿足，，記數列的前n項和為，若對于任意，不等式恒成立，則實數k的取值范圍為（）A. B.C. D.2．已知曲線與直線總有公共點，則m的取值范圍是（）A. B.C. D.3．在等差數列中，若，則（）A.6 B.9C.11 D.244．函數f(x)＝－1＋lnx，對?x0，f(x)≥0成立，則實數a的取值范圍是（）A(－∞，2] B.[2，＋∞)C.(－∞，1] D.[1，＋∞)5．下列命題正確的是（）A經過三點確定一個平面B.經過一條直線和一個點確定一個平面C.四邊形確定一個平面D.兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面6．橢圓的左、右焦點分別為，過焦點的傾斜角為直線交橢圓于兩點，弦長，若三角形的內切圓的面積為，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.7．過，兩點的直線的一個方向向量為，則（）A.2 B.2C.1 D.18．已知拋物線的焦點為F，過點F作傾斜角為的直線l與拋物線交于兩點，則POQ(O為坐標原點)的面積S等于（）A. B.C. D.9．函數的導函數為，若已知圖象如圖，則下列說法正確的是（）A.存在極大值點 B.在單調遞增C.一定有最小值 D.不等式一定有解10．圓截直線所得弦的最短長度為（）A.2 B.C. D.411．已知數列的首項為，且，若，則的取值范圍是（）A. B.C. D.12．已知i是虛數單位，復數z=，則復數z的虛部為（）A.i B.-iC.1 D.-1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，是雙曲線的兩個焦點，以線段為邊作正，若邊的中點在雙曲線上，則雙曲線的離心率____________.14．等差數列前項之和為，若，則________15．已知、是橢圓（）長軸的兩個端點，、是橢圓上關于軸對稱的兩點，直線，的斜率分別為，（）．若橢圓的離心率為，則的最小值為______16．已知函數的圖像在點處的切線方程是，則＝______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓的圓心在直線上，且圓經過點與點.（1）求圓的方程；（2）過點作圓的切線，求切線所在的直線的方程.18．（12分）已知橢圓C：的焦距為，點在C上（1）求C的方程；（2）過點的直線與C交于M，N兩點，點R是直線：上任意一點，設直線RM，RQ，RN的斜率分別為，，，若，，成等差數列，求的方程.19．（12分）在下列所給的三個條件中任選一個，補充在下面問題中，并完成解答（若選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分）.①與直線平行；②與直線垂直；③直線l的一個方向向量為；已知直線l過點，且___________.（1）求直線l的一般方程；（2）若直線l與圓C：相交于M，N兩點，求弦長.20．（12分）設函數（1）求的值；（2）求的極大值21．（12分）求滿足下列條件的曲線的方程：（1）離心率為，長軸長為6的橢圓的標準方程（2）與橢圓有相同焦點，且經過點的雙曲線的標準方程22．（10分）設函數（1）求函數的單調區間；（2）若有兩個零點，，求的取值范圍，并證明：

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】由已知得，根據等比數列的定義得數列是首項為，公比為的等比數列，由此求得，然后利用裂項求和法求得，進而求得的取值范圍.【詳解】解：依題意，當時，，則，所以數列是首項為，公比為的等比數列，，即，所以，所以，所以的取值范圍是.故選：C.2、D【解析】對曲線化簡可知曲線表示以點為圓心，2為半徑的圓的下半部分，對直線方程化簡可得直線過定點，畫出圖形，由圖可知，，然后求出直線的斜率即可【詳解】由，得，因為，所以曲線表示以點為圓心，2為半徑的圓的下半部分，由，得，所以，得，所以直線過定點，如圖所示設曲線與軸的兩個交點分別為，直線過定點，為曲線上一動點，根據圖可知，若曲線與直線總有公共點，則，得，設直線為，則，解得，或，所以，所以，所以，故選：D3、B【解析】根據等差數列的通項公式的基本量運算求解【詳解】設的公差為d，因為，所以，又，所以故選：B4、B【解析】由導數求得的最小值，由最小值非負可得的范圍【詳解】定義域是，，若，則在上恒成立，單調遞增，，不合題意；若，則時，，遞減，時，，遞增，所以時，取得極小值也是最小值，由題意，解得故選：B5、D【解析】由平面的基本性質結合公理即可判斷.【詳解】對于A，過不在一條直線上三點才能確定一個平面，故A不正確；對于B，經過一條直線和直線外一個點確定一個平面，故B不正確；對于C，空間四邊形不能確定一個平面，故C不正確；對于D，兩兩相交且不共點的三條直線確定一個平面，故D正確.故選：D6、C【解析】由題可得直線AB的方程，從而可表示出三角形面積，又利用焦點三角形及三角形內切圓的性質，也可表示出三角形面積，則橢圓的離心率即求.【詳解】由題知直線AB的方程為，即，∴到直線AB距離，又三角形的內切圓的面積為，則半徑為1，由等面積可得，.故選：C.7、C【解析】應用向量的坐標表示求的坐標，由且列方程求y值.【詳解】由題設，，則且，所以，即，可得.故選：C8、A【解析】由拋物線的方程可得焦點的坐標，由題意設直線的方程，與拋物線的方程，聯立求出兩根之和及兩根之積，進而求出，的縱坐標之差的絕對值，代入三角形的面積公式求出面積【詳解】拋物線的焦點為，，由題意可得直線的方程為，設，，，，聯立，整理可得：，則，，所以，所以，故選：A9、C【解析】根據圖象可得的符號，從而可得的單調區間，再對選項進行逐一分析判斷正誤得出答案.【詳解】由所給的圖象，可得當時，，當時，，當時，，當時，，可得在遞減，遞增；在遞減，在遞增，B錯誤，且知，所以存在極小值和，無極大值，A錯誤，同時無論是否存在，可得出一定有最小值，但是最小值不一定為負數，故C正確，D錯誤.故選：C.10、A【解析】由題知直線過定點，且在圓內，進而求解最值即可.【詳解】解：將直線化為，所以聯立方程得所以直線過定點將化為標準方程得，即圓心為，半徑為，由于，所以點在圓內，所以點與圓圓心間的距離為，所以圓截直線所得弦的最短長度為故選：A11、C【解析】由題意，得到，利用疊加法求得，結合由，轉化為恒成立，分，和三種情況討論，即可求解.【詳解】因為，可得，所以，所以，各式相加可得，所以，由，可得恒成立，整理得恒成立，當時，，不等式可化為恒成立，所以；當時，，不等式可化為恒成立；當時，，不等式可化為恒成立，所以，綜上可得，實數的取值范圍是.故選：C.12、C【解析】先通過復數的除法運算求出z，進而求出虛部.【詳解】由題意，，則z的虛部為1.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】根據線段為邊作正，得到M在y軸上，求得M的坐標，再由，得到邊的中點坐標，代入雙曲線方程求解.【詳解】以線段為邊作正，則M在y軸上，設，則，因為，所以邊的中點坐標為，因為邊的中點在雙曲線上，所以，因為，所以，即，解得，因為，所以，故答案為：14、【解析】直接利用等差數列前項和公式和等差數列的性質求解即可.【詳解】由已知條件得,故答案為：.15、【解析】設出點，，，的坐標，表示出直線，的斜率，作和后利用基本不等式求最值，利用離心率求得與的關系，則答案可求詳解】解：設，，，，，，，，，，，當且僅當，即時等號成立，是橢圓長軸的兩個端點，，是橢圓上關于軸對稱的兩點，，，即，的最小值為，橢圓的離心率為，，即，得，的最小值為故答案為：16、3【解析】根據導數幾何意義，可得的值，根據點M在切線上，可求得的值，即可得答案.【詳解】由導數的幾何意義可得，，又在切線上，所以，則=3，故答案為：3【點睛】本題考查導數的幾何意義的應用，考查分析理解的能力，屬基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）或.【解析】（1）求出線段中點，進而得到線段的垂直平分線為，與聯立得交點，∴.則圓的方程可求（2）當切線斜率不存在時，可知切線方程為.當切線斜率存在時，設切線方程為，由到此直線的距離為，解得，即可到切線所在直線的方程.試題解析：（1）線段的中點為，∵，∴線段的垂直平分線為，與聯立得交點，∴.∴圓的方程為.（2）當切線斜率不存在時，切線方程為.當切線斜率存在時，設切線方程為，即，則到此直線的距離為，解得，∴切線方程為.故滿足條件的切線方程為或.【點睛】本題考查圓的方程的求法，圓的切線，中點弦等問題，解題的關鍵是利用圓的特性，利用點到直線的距離公式求解18、（1）（2）【解析】（1）根據橢圓的焦距為，點在C上，由求解；（2）設，，，的斜率不存在時，則的方程為，與橢圓的方程聯立求得M，N的坐標，由，，成等差數列求解；的斜率存在時，設的方程為，與橢圓的方程聯立，然后由，，成等差數列，結合韋達定理求解；【小問1詳解】解：由題意得，解得，，所以C的方程為.【小問2詳解】設，，，當的斜率不存在時，則的方程為，將代入，得.因為，，成等差數列，所以，即，顯然當時，方程恒成立.當的斜率存在時，設的方程為，聯立得，則，.，.因為，，成等差數列，所以，即恒成立.則，解得.綜上所述，的方程為.19、（1）若選擇①②，則直線方程為：；若選擇③，則直線方程為；（2）若選擇①②，則；若選擇③，則.【解析】（1）根據所選擇的條件，結合直線過點，即可寫出直線的方程；（2）利用（1）中所求直線方程，以及弦長公式，即可求得結果.【小問1詳解】若選①與直線平行，則直線的斜率；又其過點，故直線的方程為，則其一般式為；若選②與直線垂直，則直線的斜率滿足，解得；又其過點，故直線的方程為，則其一般式為；若選③直線l的一個方向向量為，則直線的斜率；又其過點，故直線的方程為，則其一般式為；綜上所述：若選擇①②，則直線方程為：；若選擇③，則直線方程為.【小問2詳解】對圓C：，其圓心為，半徑，根據（1）中所求，若選擇①②，則直線方程為，則圓心到直線的距離，則直線截圓所得弦長；若選擇③，則直線方程為，則圓心到直線的距離，則直線截圓所得弦長.綜上所述，若選擇①②，則；若選擇③，則.20、（1）-3（2）2【解析】（1）利用導數公式和法則求解；（2）令，利用極大值的定義求解.【小問1詳解】解：因為函數，所以，所以；【小問2詳解】令，得，當或時，，當時，，所以當時，取得極大值.21、（1）或；（2）【解析】(1)根據題意,由橢圓的幾何性質可得a、c的值,計算可得b的值,討論橢圓焦點的位置,求出橢圓的標準方程,即可得答案；(2)根據題意,求出橢圓的焦點坐標,進而可以設雙曲線的方程為,分析可得和,解可得a、b的值,即可得答案【詳解】解：（1）根據題意,要求橢圓的長軸長為6,離心率為,則,,解可得：,；則,若橢圓的焦點在x軸上,其方程為,若橢圓的焦點在y軸上,其方程為,綜合可得：橢圓的標準方程為或；（2）根據題意,橢圓的焦點為和,故要求雙曲線的方程為,且,則有,又由雙曲線經過經過點,則有,,聯立可得：,故雙曲線方程為：【點睛】本題考查橢圓、雙曲線的標準方程的求法,涉及橢圓、雙曲線的幾何性