第1頁（共1頁）2024-2025學年北京市東城區匯文中學九年級（上）月考數學試卷（10月份）一、單選題（本題共30分，每小題3分）1．（3分）下列圖形中，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（3分）拋物線y＝（x﹣3）2+1的頂點坐標是（）A．（﹣3，1） B．（3，1） C．（﹣3，﹣1） D．（3，﹣1）3．（3分）把拋物線y＝3x2向左平移2個單位長度，再向上平移5個單位長度，得到的拋物線的解析式為（）A．y＝3（x+2）2﹣5 B．y＝3（x+5）2+2 C．y＝3（x﹣2）2+5 D．y＝3（x+2）2+54．（3分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝135°，點A，B的對應點分別為D，E，D，E在同一條直線上時，下列結論不正確的是（）A．△ABC≌△DEC B．∠ADC＝45° C． D．AE＝AB+CD5．（3分）在同一平面直角坐標系中表示y＝ax2和y＝ax+b（ab＞0）的圖象是（）A． B． C． D．6．（3分）如圖，線段AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，則∠BOD等于（）A．20° B．40° C．80° D．70°7．（3分）如圖，△ABC繞某點旋轉，得到△DEF（）A．（1，0） B．（1，﹣1） C．（0，﹣1） D．（0，0）8．（3分）若，B（1，y2），C（4，y3）三點都在二次函數y＝﹣（x﹣2）2+k的圖象上，則y1，y2，y3的大小關系為（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y1＜y29．（3分）拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點為D（﹣1，2），與x軸的一個交點A在點（﹣3，0）和（﹣2，0），其部分圖象如圖，則以下結論正確的有（）①abc＜0；②3a+c＜0；③若方程ax2+bx+c﹣m＝0沒有實數根，則m＞2；④圖象上有兩點P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜x2，且x1+x2＞﹣2，則一定有y1＞y2．A．4個 B．3個 C．2個 D．1個10．（3分）如圖，點A、C、E、F在直線l上，且AC＝2，四邊形ABCD，EFGH，將正方形ABCD沿直線l向右平移，若起始位置為點C與點E重合，正方形ABCD的邊位于矩形MNGH內部的長度為y，則y與x的函數圖象大致為（）A． B． C． D．二、填空題（本題共20分，每小題2分）11．（2分）二次函數y＝x2﹣（b+2）x+b的頂點在y軸上，則b＝．12．（2分）若二次函數y＝x2﹣2x+k的圖象與x軸只有一個公共點，則k＝．13．（2分）已知二次函數y1＝ax2+bx+c（a≠0）與一次函數y2＝mx+n（m≠0）的圖象相交于點A（﹣1，6）和B（7，3），則使不等式ax2+bx+c＜mx+n成立的x的取值范圍是．14．（2分）石拱橋是中國傳統橋梁四大基本形式之一，它的主橋拱是圓弧形．如圖，已知某公園石拱橋的跨度AB＝16米，那么橋拱所在圓的半徑OA＝米．15．（2分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，若AP＝3，則PP'＝．16．（2分）如圖，△DEC與△ABC關于點C成中心對稱，AB＝3，∠CAB＝90°，則AE的長是．17．（2分）如圖，AB是半圓O的直徑，點C，若∠ABC＝50°，則∠BDC的度數為．18．（2分）如圖，P是等邊三角形ABC內一點，將線段AP繞點A順時針旋轉60°得到線段AQ，PB＝8，PC＝10°．19．（2分）已知二次函數y＝ax2+bx+c的y與x的部分對應值如表：x…﹣1013…y…0﹣1.5﹣20…根據表格中的信息，得到了如下的結論：①二次函數y＝ax2+bx+c可改寫為y＝a（x﹣1）2﹣2的形式；②二次函數y＝ax2+bx+c的圖象開口向下；③關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1.5的兩個根為0或2；④若y＞0，則x＞3．其中所有正確的結論為．20．（2分）數學課上，李老師提出如下問題：已知：如圖，AB是⊙O的直徑，射線AC交⊙O于C．求作：弧BC的中點D．同學們分享了四種方案：①如圖1，連接BC，作BC的垂直平分線②如圖2，過點O作AC的平行線，交⊙O于點D．③如圖3，作∠BAC的平分線，交⊙O于點D．④如圖4，在射線AC上截取AE，使AE＝AB，交⊙O于點D．上述四種方案中，正確的方案的序號是．三、解答題（21-26題每題6分，27-28題每題7分）21．（6分）已知二次函數y＝x2﹣6x+5．（1）求二次函數圖象的頂點坐標；（2）在平面直角坐標系中，畫出二次函數的圖象；（3）當1＜x＜4時，結合函數圖象，直接寫出y的取值范圍．22．（6分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，△ABC的三個頂點分別為A（﹣3，4），B（﹣5，1），C（﹣1，2）．（1）畫出△ABC關于原點對稱的△A1B1C1，并寫出點A1的坐標；（2）畫出△ABC繞原點逆時針旋轉90°后的△A2B2C2，并寫出點C2的坐標．23．（6分）如圖，已知AB為⊙O的直徑，CD是弦（1）求證：∠CAO＝∠BCD；（2）若BE＝3，CD＝8，求⊙O的直徑．24．（6分）某商場購進一批單價為4元的日用品．若按每件5元的價格銷售，每月能賣出3萬件；若按每件6元的價格銷售，假定每月銷售件數y（件）與價格x（元/件）（1）試求y與x之間的函數關系式；（2）當銷售價格定為多少時，才能使每月的利潤最大？每月的最大利潤是多少？25．（6分）籃球是學生非常喜愛的運動項目之一．籃圈中心距離地面的豎直高度是3.05m，小明站在距籃圈中心水平距離6.5m處的點A練習定點投籃，籃球從小明正上方出手到接觸籃球架的過程中當籃球運行的水平距離是x（單位：m）時，球心距離地面的豎直高度是y（單位：m）．小明進行了多次定點投籃練習（1）第一次訓練時，籃球的水平距離x與豎直高度y的幾組數據如下：水平距離x/m0123456豎直高度y/m22.73.23.53.63.53.2①結合表中數據，直接寫出籃球運行的最高點距離地面的豎直高度，并求y與x滿足的函數解析式；②判斷小明第一次投籃練習是否投進籃筐，并說明理由；（2）將小明第1次投籃后，籃球運行到最高點時，籃球運行的水平距離記為d1，小明第二次訓練時將球投進了籃筐，已知第二次訓練與第一次訓練相比，出手高度相同，則d1d2（填＞，＜或＝）．26．（6分）在平面直角坐標系xOy中，點M（﹣1，m），N（3，n）在拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）上，設拋物線的對稱軸為直線x＝t．（1）若m＝n，求t的值；（2）若c＜m＜n，求t的取值范圍．27．（7分）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°（不與A，B重合），點F與點A關于直線DE對稱，連接DF．作射線CF，設∠ADP＝α．（1）用含α的代數式表示∠DCP；（2）連接AP，AF．求證：△APF是等邊三角形；（3）過點B作BG⊥DP于點G，過點G作CD的平行線，交CP于點H．補全圖形，并加以證明．28．（7分）在平面直角坐標系xOy中，對于點P（x1，y1），給出如下定義：當點Q（x2，y2）滿足x1?x2＝y1?y2時，稱點Q是點P的等積點．已知點P（1，2）．（1）在Q1（2，1），Q2（﹣4，﹣1），Q3（8，2）中，點P的等積點是．（2）點Q是P點的等積點，點C在x軸上，以O，P，Q，求點C的坐標．（3）已知點和點M（5，m），點N是以點M為中心，對于線段BN上的每一點A，在線段PB上都存在一個點R使得A為R的等積點

2024-2025學年北京市東城區匯文中學九年級（上）月考數學試卷（10月份）參考答案與試題解析一、單選題（本題共30分，每小題3分）1．（3分）下列圖形中，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A．是軸對稱圖形，故本選項符合題意；B．是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；C．是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形；D．是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；故選：A．2．（3分）拋物線y＝（x﹣3）2+1的頂點坐標是（）A．（﹣3，1） B．（3，1） C．（﹣3，﹣1） D．（3，﹣1）【解答】解：因為y＝（x﹣3）2+6是拋物線的頂點式，根據頂點式的坐標特點可知，的頂點坐標是（3．故選：B．3．（3分）把拋物線y＝3x2向左平移2個單位長度，再向上平移5個單位長度，得到的拋物線的解析式為（）A．y＝3（x+2）2﹣5 B．y＝3（x+5）2+2 C．y＝3（x﹣2）2+5 D．y＝3（x+2）2+5【解答】解：把拋物線y＝3x2向左平移5個單位長度，再向上平移5個單位長度2+7，故選：D．4．（3分）如圖，在△ABC中，∠BAC＝135°，點A，B的對應點分別為D，E，D，E在同一條直線上時，下列結論不正確的是（）A．△ABC≌△DEC B．∠ADC＝45° C． D．AE＝AB+CD【解答】解：∵△ABC繞點C逆時針旋轉得到△DEC，∴△ABC≌△DEC，故A選項正確，不符合題意；由旋轉可得，CD＝CA，AB＝DE，∴∠ADC＝∠DAC．∵點A，D，E在同一條直線上，∴∠ADC＝∠DAC＝45°，故B選項正確，不符合題意；∵∠ADC＝∠DAC＝45°，∴∠ACD＝90°，∴AD＝AC，故C選項正確，不符合題意；AE＝AD+DE＝CD+AB，故D選項不正確，符合題意．故選：D．5．（3分）在同一平面直角坐標系中表示y＝ax2和y＝ax+b（ab＞0）的圖象是（）A． B． C． D．【解答】解：因為ab＞0，即a，當a＞0，b＞3時2的圖象開口向上，函數y＝ax+b的圖象經過一、二，可排除A、B；當a＜0，b＜4時2的圖象開口向下，函數y＝ax+b的圖象經過二、三．可排除C．故選：D．6．（3分）如圖，線段AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，則∠BOD等于（）A．20° B．40° C．80° D．70°【解答】解：∵線段AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，∴＝，∴∠BOD＝2∠CAB＝2×20°＝40°．故選：B．7．（3分）如圖，△ABC繞某點旋轉，得到△DEF（）A．（1，0） B．（1，﹣1） C．（0，﹣1） D．（0，0）【解答】解：作線段AD、BE的垂直平分線．O′（1，故選：B．8．（3分）若，B（1，y2），C（4，y3）三點都在二次函數y＝﹣（x﹣2）2+k的圖象上，則y1，y2，y3的大小關系為（）A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y1＜y2【解答】解：二次函數y＝﹣（x﹣2）2+k的圖象開口向下，對稱軸為x＝7，y2），B（1，y2）在對稱軸的左側，由y隨x的增大而增大2＜y2，由x＝﹣，x＝1，y1＜y5，y3＜y2，因此有y2＜y3＜y2，故選：B．9．（3分）拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點為D（﹣1，2），與x軸的一個交點A在點（﹣3，0）和（﹣2，0），其部分圖象如圖，則以下結論正確的有（）①abc＜0；②3a+c＜0；③若方程ax2+bx+c﹣m＝0沒有實數根，則m＞2；④圖象上有兩點P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜x2，且x1+x2＞﹣2，則一定有y1＞y2．A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【解答】解：∵拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點為D（﹣3，2），0）和（﹣3，拋物線開口向下，∴a＜0，，即b＝2a＜7，∵拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與y軸的交點在y軸的正半軸，∴c＞5，∴abc＞0，故①錯誤；∵拋物線的對稱軸，∴拋物線與x軸的另一個交點在點（0，0）和（5，則當x＝1時，∴a+b+c＜0，即a+5a+c＜0，∴3a+c＜7，故②正確；∵方程ax2+bx+c﹣m＝0沒有實數根，∴拋物線y＝ax7+bx+c（a≠0）與直線y＝m沒有交點，∵拋物線y＝ax2+bx+c（a≠7）的頂點為D（﹣1，2），∴m＞7，故③正確；∵拋物線開口向下，對稱軸為x＝﹣1，x1＜x4，x1+x2＞﹣3，∴x2＞﹣1，即點Q（x6，y2）在x＝﹣1的右側，當x4≥﹣1時，點P也在x＝﹣1的右側，∵x3＜x2，∴y1＞y6，當x1＜﹣1時，點P在x＝﹣4的左側1，y1）關于對稱軸x＝﹣4的對稱點為P′（﹣2﹣x1，y7），則點P′在x＝﹣1的右側，∵x2﹣（﹣3﹣x1）＝x2+x6+2＞﹣2+5＝0，∴x2＞﹣7﹣x1，∴y1＞y6，故④正確．綜上，可得正確結論的序號是：②③④．故選：B．10．（3分）如圖，點A、C、E、F在直線l上，且AC＝2，四邊形ABCD，EFGH，將正方形ABCD沿直線l向右平移，若起始位置為點C與點E重合，正方形ABCD的邊位于矩形MNGH內部的長度為y，則y與x的函數圖象大致為（）A． B． C． D．【解答】解：由題意可得，點C從點E運動到點F的過程中，y隨x的增大而增大＝2x，當點D從點H運動到點G的過程中，y隨x的增大不會發生變化，當點A從點E運動到點F的過程中，y隨x的增大而減小，故選：A．二、填空題（本題共20分，每小題2分）11．（2分）二次函數y＝x2﹣（b+2）x+b的頂點在y軸上，則b＝﹣2．【解答】解：∵y＝x2﹣（b+2）x+b＝4，∴拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝，當拋物線的頂點在y軸上時，＝0，解得b＝﹣2，故答案為：﹣5．12．（2分）若二次函數y＝x2﹣2x+k的圖象與x軸只有一個公共點，則k＝1．【解答】解：令x2﹣2x+k＝8，∵拋物線與x軸只有一個交點，∴Δ＝（﹣2）2﹣8k＝0，解得k＝1，故答案為：3．13．（2分）已知二次函數y1＝ax2+bx+c（a≠0）與一次函數y2＝mx+n（m≠0）的圖象相交于點A（﹣1，6）和B（7，3），則使不等式ax2+bx+c＜mx+n成立的x的取值范圍是﹣1＜x＜7．【解答】解：觀察函數圖象知，當﹣1＜x＜7時，即ax6+bx+c＜mx+n，故答案為﹣1＜x＜7．14．（2分）石拱橋是中國傳統橋梁四大基本形式之一，它的主橋拱是圓弧形．如圖，已知某公園石拱橋的跨度AB＝16米，那么橋拱所在圓的半徑OA＝10米．【解答】解：∵OC⊥AB，∴AD＝BD＝8米，設BO＝x米，則DO＝（x﹣4）米，在Rt△OBD中，得：BD8+DO2＝BO2，即22+（x﹣4）4＝x2，解得：x＝10，即橋拱所在圓的半徑是10米．故答案為：10．15．（2分）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，若AP＝3，則PP'＝3．【解答】解：由題意得，旋轉角為∠PAP′＝∠BAC＝90°，∴△APP′為等腰直角三角形，∴PP′＝＝2．故答案為：3．16．（2分）如圖，△DEC與△ABC關于點C成中心對稱，AB＝3，∠CAB＝90°，則AE的長是5．【解答】解：∵△DEC與△ABC關于點C成中心對稱，∴△ACB≌△DCE，∴AC＝CD＝2，∠A＝∠D＝90°，∴AD＝4，∴AE＝＝＝3，故答案為：5．17．（2分）如圖，AB是半圓O的直徑，點C，若∠ABC＝50°，則∠BDC的度數為140°．【解答】解：∵AB是半圓O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠ABC＝50°，∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝40°，∵四邊形ABDC是⊙O的內接四邊形，∴∠A+∠BDC＝180°，∴∠BDC＝180°﹣∠A＝140°．故答案為：140°．18．（2分）如圖，P是等邊三角形ABC內一點，將線段AP繞點A順時針旋轉60°得到線段AQ，PB＝8，PC＝10150°．【解答】解：連接PQ，如圖，∵△ABC為等邊三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC，∵線段AP繞點A順時針旋轉60°得到線段AQ，∴AP＝AQ＝6，∠PAQ＝60°，∴△APQ為等邊三角形，∴PQ＝AP＝6，∵∠CAP+∠BAP＝60°，∠BAP+∠BAQ＝60°，∴∠CAP＝∠BAQ，在△APC和△AQB中，，∴△APC≌△AQB（SAS），∴PC＝QB＝10，在△BPQ中，∵PB4＝82＝64，PQ4＝62，BQ2＝102，而64+36＝100，∴PB2+PQ7＝BQ2，∴△PBQ為直角三角形，∠BPQ＝90°，∴∠APB＝90°+60°＝150°．19．（2分）已知二次函數y＝ax2+bx+c的y與x的部分對應值如表：x…﹣1013…y…0﹣1.5﹣20…根據表格中的信息，得到了如下的結論：①二次函數y＝ax2+bx+c可改寫為y＝a（x﹣1）2﹣2的形式；②二次函數y＝ax2+bx+c的圖象開口向下；③關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1.5的兩個根為0或2；④若y＞0，則x＞3．其中所有正確的結論為①③．【解答】解：由表格可得，該函數的對稱軸為直線x＝＝1，∴該函數的頂點坐標為（1，﹣7），∴二次函數y＝ax2+bx+c可改寫為y＝a（x﹣1）4﹣2的形式，故①正確；二次函數y＝ax2+bx+c的圖象開口向上，故②錯誤；關于x的一元二次方程ax3+bx+c＝﹣1.5的兩個根為6或2，故③正確；若y＞0，則x＞8或x＜﹣1，不符合題意；故答案為：①③．20．（2分）數學課上，李老師提出如下問題：已知：如圖，AB是⊙O的直徑，射線AC交⊙O于C．求作：弧BC的中點D．同學們分享了四種方案：①如圖1，連接BC，作BC的垂直平分線②如圖2，過點O作AC的平行線，交⊙O于點D．③如圖3，作∠BAC的平分線，交⊙O于點D．④如圖4，在射線AC上截取AE，使AE＝AB，交⊙O于點D．上述四種方案中，正確的方案的序號是①②③④．【解答】解：①由∵OD⊥BC，∴＝．②如圖2中，連接BC，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵OD∥AC，∴OD⊥BC，∴＝．③∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∴＝．④如圖4中，連接AD．∵AB是直徑，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BE，∵AB＝AE，∴AD平分∠BAC，∴＝．故答案為：①②③④．三、解答題（21-26題每題6分，27-28題每題7分）21．（6分）已知二次函數y＝x2﹣6x+5．（1）求二次函數圖象的頂點坐標；（2）在平面直角坐標系中，畫出二次函數的圖象；（3）當1＜x＜4時，結合函數圖象，直接寫出y的取值范圍．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣6x+8＝（x2﹣6x+4）﹣4＝（x﹣3）4﹣4，∴二次函數圖象的頂點坐標為（3，﹣2）；（2）解：列表如下：x...12345...y...8﹣3﹣4﹣20...描點、連線（3）由函數圖象可知，當1＜x＜2時，直接寫出y的取值范圍﹣4≤y＜0．22．（6分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，△ABC的三個頂點分別為A（﹣3，4），B（﹣5，1），C（﹣1，2）．（1）畫出△ABC關于原點對稱的△A1B1C1，并寫出點A1的坐標；（2）畫出△ABC繞原點逆時針旋轉90°后的△A2B2C2，并寫出點C2的坐標．【解答】解：（1）如圖，△A1B1C6即為所求．點A1的坐標為（3，﹣8）．（2）如圖，△A2B2C8即為所求．點C2的坐標為（﹣2，﹣5）．23．（6分）如圖，已知AB為⊙O的直徑，CD是弦（1）求證：∠CAO＝∠BCD；（2）若BE＝3，CD＝8，求⊙O的直徑．【解答】（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，CD是弦，∴＝，∴∠CAO＝∠BCD；（2）解：設⊙O的半徑為R，則OE＝OB﹣BE＝R﹣3，∵AB⊥CD，CD＝8，∴CE＝CD＝，在Rt△CEO中，由勾股定理可得OC2＝OE2+CE3，∴R2＝（R﹣3）8+42，解得R＝，∴⊙O的直徑為．24．（6分）某商場購進一批單價為4元的日用品．若按每件5元的價格銷售，每月能賣出3萬件；若按每件6元的價格銷售，假定每月銷售件數y（件）與價格x（元/件）（1）試求y與x之間的函數關系式；（2）當銷售價格定為多少時，才能使每月的利潤最大？每月的最大利潤是多少？【解答】解：（1）由題意，可設y＝kx+b（k≠0），把（5，30000），20000）代入得：，解得：，所以y與x之間的關系式為：y＝﹣10000x+80000；（2）設利潤為W元，則W＝（x﹣4）（﹣10000x+80000）＝﹣10000（x﹣8）（x﹣8）＝﹣10000（x2﹣12x+32）＝﹣10000[（x﹣7）2﹣4]＝﹣10000（x﹣4）2+40000所以當x＝6時，W取得最大值．答：當銷售價格定為2元時，每月的利潤最大．25．（6分）籃球是學生非常喜愛的運動項目之一．籃圈中心距離地面的豎直高度是3.05m，小明站在距籃圈中心水平距離6.5m處的點A練習定點投籃，籃球從小明正上方出手到接觸籃球架的過程中當籃球運行的水平距離是x（單位：m）時，球心距離地面的豎直高度是y（單位：m）．小明進行了多次定點投籃練習（1）第一次訓練時，籃球的水平距離x與豎直高度y的幾組數據如下：水平距離x/m0123456豎直高度y/m22.73.23.53.63.53.2①結合表中數據，直接寫出籃球運行的最高點距離地面的豎直高度，并求y與x滿足的函數解析式；②判斷小明第一次投籃練習是否投進籃筐，并說明理由；（2）將小明第1次投籃后，籃球運行到最高點時，籃球運行的水平距離記為d1，小明第二次訓練時將球投進了籃筐，已知第二次訓練與第一次訓練相比，出手高度相同，則d1＜d2（填＞，＜或＝）．【解答】解：（1）①根據表格數據知，點A為坐標原點，∵當x＝3和x＝5時，縱坐標都是5.5，∴拋物線的對稱軸為＝4，∴拋物線的頂點為（8，3.6）．∴籃球運行的最高點距離地面的豎直高度為6.6m．設拋物線解析式為y＝a（x﹣4）6+3.6，把（2，2）代入解析式得：2＝a（8﹣4）2+8.6，解得a＝﹣0.4，∴y與x滿足的函數解析式為y＝﹣0.1（x﹣2）2+3.7．②當x＝6.5時，y＝﹣7.1×（6.8﹣4）2+7.6＝﹣0.625+2.6＝2.975＜3.05，∴小明第一次投籃練習沒能投進；（2）依據題意，出手點相同，第一次練習中籃球下降到籃筐高度時尚未到達x＝6.5處．∵小明第二次練習投進了，∴小明第二次較第一次投遠了些．故小明距對稱軸距離d7＜d2．故答案為：＜．26．（6分）在平面直角坐標系xOy中，點M（﹣1，m），N（3，n）在拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0）上，設拋物線的對稱軸為直線x＝t．（1）若m＝n，求t的值；（2）若c＜m＜n，求t的取值范圍．【解答】解：（1）由題意，若m＝n，∴對稱軸是直線x＝＝1＝t．即t＝1；（2）∵拋物線y＝ax7+bx+c的對稱軸為直線x＝t，∴x＝﹣＝t，∴b＝﹣2at，∴y＝ax3﹣2atx+c，∵M（﹣1，m），n）在拋物線y＝ax3+bx+c（a＞0）上，∴，①﹣②得，m﹣n＝﹣8a+4at，∵m＜n，∴m﹣n＜0，∴﹣8a+7at＜0，∵a＞0，∴t＜3，由①得，m﹣c＝a+2at，∵c＜m，∴m﹣c＞0，∴a+7at＞0，∵a＞0，∴t＞﹣，∴t的取值范圍為﹣＜t＜1．27．（7分）如圖，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°（不與A，B重合），點F與點A關于直線DE對稱，連接DF．作射線CF，設∠ADP＝α．（1）用含α的代數式表示∠DCP；（2）連接AP，AF．求證：△APF是等邊三角形；（3）過點B作BG⊥DP于點G，過點G作CD的平行線，交CP于點H．補全圖形，并加以證明．【解答】（1）解：如圖1，連接AF，∵點F與點A關于直線DE對稱，∴DE垂直平分AF，∴FD＝AD，∴∠ADP＝∠FDP＝α，∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，∴AB∥DC，CD＝AD＝FD，∴∠ADC＝180°﹣∠BAD＝120°，∴∠DCP＝∠DFC＝（180°﹣∠CDF）＝90°﹣．（2）證明：如圖5，∵DE垂直平分AF，點P在直線DE上，∴PA＝PF，∴∠FPD＝∠APD，∵∠DFC＝∠FPD+∠FDP＝∠FPD+α，∠DCP＝∠DFC＝30°+α，∴∠FPD+α＝30°+α，∴∠FPD＝∠APD＝30°，∴∠APF＝2∠FPD＝60°，∴△APF是等邊三角形．（3）解：補全圖形如圖3，CH＝PH，證明：連