專題4.5角中的四種常見思想方法【滬科版】考卷信息：本套訓練卷共30題，題型針對性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可加強學生對角中的四種常見思想方法的理解！【題型1數形結合思想】1．（2023下·湖南婁底·七年級統考期中）入射光線和平面鏡的夾角為40°，轉動平面鏡，使入射角減小20°，反射光線與入射光線的夾角和原來相比較將（）A．減小40° B．增大40° C．減小20° D．不變【答案】A【分析】分別求出平面鏡轉動前后反射光線與入射光線的夾角，再對兩者進行比較即可得到解答．【詳解】解：入射光線與平面鏡的夾角是40°，所以入射角為90°?40°=50°．根據光的反射定律，反射角等于入射角，反射角也為50°，所以入射光線與反射光線的夾角是100°．入射角減小20°，變為50°?20°=30°，所以反射角也變為30°，此時入射光線與反射光線的夾角為60°．則反射光線與入射光線間的夾角和原來比較將減小40°．故選：A．【點睛】本題考查角度與光反射的綜合應用，熟練掌握光的反射規律及角度的計算方法是解題關鍵．2．（2023上·吉林·七年級統考期末）如圖，OA表示北偏東41°方向，OB表示南偏東54°方向，則∠AOB＝度．【答案】85【分析】利用方位角、角度和差的性質計算，即可完成求解．【詳解】∵OA表示北偏東41°方向，OB表示南偏東54°方向∴∠AOB＝180°41°54°＝85°故答案是：85．【點睛】本題考查了角度的知識；解題的關鍵是熟練掌握方位角、角度和差的性質，從而完成求解．3．（2023·江蘇泰州·七年級泰州市姜堰區第四中學校考期末）七年級上冊《數學實驗手冊》中有“三角尺拼角”的問題．將一副三角尺如圖這樣放置，就可畫出∠AOB=75°(1)請你借助三角尺完成以下操作，并在所畫圖形上標注所使用三角尺的相應角度；①設計用一副三角尺畫出105°角的畫圖方案，并畫出相應的幾何圖形；②用一副三角尺能畫出145°的角嗎？__________．（填“能”或“不能”）．(2)利用一副三角尺在圖中畫出∠MON的角平分線OP(3)如圖，現有19°、23°、29°角的三種模板，∠ABC=19°，小冬想出了一個方案，利用19°角模板畫出1°角，動手操作：如圖，M、O、N三點在一條直線上，將∠ABC的頂點B與點O重合，BC邊與射線ON重合，如圖所示，將∠ABC繞點O逆時針旋轉19°，得∠A1B1C1，再將∠A1B1C1繞點請從23°或29°角模板中選一個你認為能畫出1°角的模板，設計一個方案，并說明理由．(4)對于任意一個n°（n為正整數）角的模板，只用此模板是否一定能畫出1°【答案】(1)①見解析；②不能(2)見解析(3)選用23°，理由見解析(4)不一定能，理由見解析【分析】（1）①用一副三角尺畫出105°角的畫圖方案，用含60°，45°②根據用一副三角板可以直接畫出角的度數是15的倍數可解答；（2）根據題意設計一個15°，一邊與射線ON重合，另一邊即為角平分線OP，（3）根據題目所給的方案，進行設計即可求解；（4）根據角度的四則運算進行判斷即可求解．【詳解】（1）解：①用一副三角尺畫出105°角，如圖所示，∠②用一副三角板可以直接畫出角的度數是15的倍數，∴用一副三角尺能不能畫出145°的角，故答案為：不能．（2）解：如圖所示，（3）選用23°，用23°的角旋轉15次，則23°×15=345°，與360°差再旋轉16次，得到23°×15+16=713°再旋轉16次，得到23°×15+16+16=∴∠ABC繞點O逆時針旋轉23°，得∠再將∠A1B1C得∠A2B2C2可得1°的角，即：23°×47-360°×3=1081°-1080°=1°．（4）對于任意一個n°（n為正整數）角的模板，只用此模板不一定能畫出1°例如，n=2°，此時無論如何旋轉，都不能得到1°【點睛】本題考查了三角板中的角度計算，角平分線的定義，角度的計算，理解題意是解題的關鍵．4．（2023上·江蘇鹽城·七年級階段練習）探究實驗：《鐘面上的數字》實驗目的：了解鐘面上時針與分針在轉動時的內在聯系，學會用一元一次方程解決鐘面上的有關數學問題，體會數學建模思想．實驗準備：機械鐘（手表）一只實驗內容與步驟：觀察與思考：（1）時針每分鐘轉動__°，分針每分鐘轉動__°．（2）若時間為8：30，則鐘面角為__°，（鐘面角是時針與分針所成的角）操作與探究：（1）轉動鐘面上的時針與分針，使時針與分針重合在12點處．再次轉動鐘面上的時針與分針，算一算，什么時刻時針與分針再次重合？一天24小時中，時針與分針重合多少次？（一天中起始時刻和結束時刻時針與分針重合次數只算一次，下同）（2）轉動鐘面上的時針與分針，使時針與分針重合在12點處，再次轉動鐘面上的時針與分針，算一算，什么時刻鐘面角第一次為90°？一天24小時中，鐘面角為90°多少次？拓展延伸：一天24小時中，鐘面角為180°__次，鐘面角為n°（0＜n＜180）____次．（直接寫出結果）【答案】觀察與思考：（1）0.5，6，（2）75；操作與探究：（1）1211，22；（2）311，44；拓展延伸：22，【詳解】解析:試題分析：觀察與思考：(1)鐘表12個數字,每相鄰兩個數字之間的夾角為30°即可得出答案;(2)鐘表上8:30,時針指向8和9的中間,分針指向6,即可得出答案,時針和分針相隔2.5個格;操作與探究：(1)①設經過x小時時針與分針再次重合，根據分針轉過的角度=時針轉過的角度+360°列出方程即可得出答案；②設經過x小時時針與分針再次重合，根據分針轉過的角度=時針轉過的角度+90°列出方程即可得出答案；拓展延伸：根據一天時針與分針重合的次數，結合每重合一次都會出此案兩次n的角可得到答案.解：觀察與思考：（1）30°÷60=0.5；30°÷5=6°；（2）30°×2.5=75°操作與探究：（1）設經過x小時時針與分針再次重合．360x=30x+360解得：x=1211∵時針與分針每經過x=1211∴24÷1211=22答：1211時時針與分針再次重合．一天24小時中，時針與分針重合22（2）設經過y小時鐘面角第一次為90°．360y=30y+90，解得：y=311∵每經過x=1211時針與分針重合一次，而鐘面角為90°∴24÷1211×2=44答：12311時鐘面角第一次為90°．一天24小時中，鐘面角為90°44拓展延伸：由2可得：一天24小時中，鐘面角為180°有22次，鐘面角為n°（0＜n＜180）44次．故答案為22；44．點睛：本題考查了鐘面角的計算及一元一次方程的應用，根據時針與分針每小時轉動的角度和時針與分針所形成的夾角列方程求解.5．（2023上·寧夏銀川·七年級統考期末）如圖1，點O是彈力墻MN上一點，魔法棒從OM的位置開始繞點O向ON的位置順時針旋轉，當轉到ON位置時，則從ON位置彈回，繼續向OM位置旋轉；當轉到OM位置時，再從OM的位置彈回，繼續轉向ON位置，…，如此反復．按照這種方式將魔法棒進行如下步驟的旋轉：第1步，從OA0（OA0在OM上）開始旋轉α至OA1；第2步，從OA1開始繼續旋轉2α至OA2；第3例如：當α=30°時，OA1，OA2，OA3，OA4的位置如圖2所示，其中OA3恰好落在ON上，∠A3OA4=120°；當α=20°時，OA1，(1)若α=35°，在圖4中借助量角器畫出，OA2，OA3，其中(2)若α＜30°，且OA4所在的射線平分∠A2OA3，在如圖5中畫出O(3)若α＜36°，且∠A2OA【答案】(1)45°(2)α＝（72029）(3)（207）°或（34013）°或（380【分析】（1）根據題意，明確每次旋轉的角度，計算即可，并畫圖；（2）根據各角的度數，找出等量關系式，列出方程，求出α的度數即可；（3）分三種情況討論，根據各角的度數，找出等量關系式，列出方程，求出α的度數即可．【詳解】（1）解：如圖1，當α=35°，則∠∴∠A∴∠A∴∠A（2）解：如圖5所示．∵α∴∠A0O∵OA4∴2(180°-6α解得：α=（3）解：分三種情況：①OA4和OA3都不從3αα=②OA4在OA根據題意得：4αα=③OA4在OA根據題意得：4αα=綜上，對應的α值是207°或34013故答案為：207°或34013【點睛】本題主要考查角度的計算和旋轉的相關知識，可結合平角的性質及角度的加減進行計算分析．6．（2023上·湖南長沙·七年級長沙麓山國際實驗學校校考期末）如圖1，大課間的廣播操展讓我們充分體會到了一種整體的圖形之美，歡歡和樂樂想從數學角度分析下如何能讓班級同學們的廣播操做得更好，他們搜集了標準廣播操圖片進行討論，如圖2，為了方便研究，定義兩手手心位置分別為A，B兩點，兩腳腳跟位置分別為C，D兩點，定義A，B，C，D平面內O為定點，將手腳運動看作繞點O進行旋轉：(1)填空：如圖2，A，O，B三點共線，且∠AOC=∠BOC(2)第三節腿部運動中，如圖3，歡歡發現，雖然A，O，B三點共線，卻不在水平方向上，且∠AOD:∠BOC(3)第四節體側運動中，樂樂發現，兩腿左右等距張開且∠COD=30°，開始運動前A、O、B三點在同一水平線上，OA、OB繞點O順時針旋轉，OA旋轉速度為50°/s，OB旋轉速度為25°/s，當①運動停止時，直接寫出∠AOD=②請幫助樂樂求解運動過程中∠AOC與∠【答案】(1)90(2)正確，代數式的值為56(3)①105°；②當0≤t≤2.1時，∠AOC+2∠BOE【分析】（1）由A，O，B三點共線，可得出∠AOC+∠BOD（2）由∠AOD:∠BOC=6:5，設∠AOD（3）①算出運動停止時的時間，求出OA運動的角度，進而求出∠AOD的度數；②由OA的運動過程可知，需要分類討論，在點C，O，A共線前，和共線后【詳解】（1）解：∵A，O，B三點共線，∴∠AOC∵∠AOC∴∠AOC故答案為：90；（2）∵∠AOD設∠AOD=6α∴∠AOC=180°-∠BOC∴∠AOC∴歡歡的發現是正確的，代數式的值為56（3）解：∵∠COD∴∠COE=∠EOD設運動時間為ts，則t=75°÷25°=3，則①運動停止時，即t=3時，OA旋轉的角度為50°×3=150°∴∠AOD故答案為：105°；②當點C，O，A三點共線時，t=∴當0≤t≤2.1時，∠AOC∴∠AOC當2.1<t≤3時，∠BOE∴∠AOC綜上，當0≤t≤2.1時，∠AOC+2∠BOE【點睛】本題主要考查角的和差的相關計算，發現圖形中角之間的和差關系是解題關鍵．7．（2023上·江蘇鎮江·七年級統考期末）如圖1，點O為直線AB上一點，點C是位于直線AB上方的一點，且∠BOC=20°，將一個含60°三角板（∠POQ=60°）頂點放在點O處，一邊OP與射線OA重合，點Q在直線AB的上方．（1）∠QOC=°（2）如圖2，現將圖1位置中三角板△OPQ繞點O沿順時針方向每秒轉動8°，射線OC繞點O沿逆時針方向每秒轉動12°，設轉動的時間為t秒，當點Q、點C有一點位于直線AB上時，轉動停止．①當線段OQ與射線OC重合時，求t的值；②當t=時，OP⊥OC．【答案】（1）100；（2）①t=5；②3.5或12.5【分析】（1）根據角的和差關系，直接求出∠QOC的度數，即可；（2）①根據題意，列出關于t的一元一次方程，即可求解；②分兩種情況：第一次OP⊥OC時，第二次OP⊥OC時，分別列出關于t的一元一次方程，即可求解．【詳解】（1）∵∠BOC=20°，∠POQ=60°，∴∠QOC=180°20°60°=100°，故答案是：100；（2）①設過t秒，線段OQ與射線OC重合，則12t+8t=100，解得：t=5，②第一次OP⊥OC時，∠QOC=90°60°=30°，則12t+8t=10030，解得：t=3.5；第二次OP⊥OC時，∠QOC=90°+60°=150°，則12t+8t=100+150，解得：t=12.5，綜上所述：t=3.5或12.5秒，OP⊥OC，故答案是：3.5或12.5【點睛】本題主要考查一元一次方程與角的和差的綜合應用，根據角的和差關系，列出方程，是解題的關鍵．【題型2分類討論思想】1．（2023下·黑龍江哈爾濱·七年級統考期末）如圖，已知∠AOC

(1)試說明：∠AOB(2)若OC平分∠BOE，∠AOB=16°，∠(3)在（2）的條件下，作射線OF，OG，當∠BOF=∠DOF，∠【答案】(1)見解析(2)40°(3)圖見解析，∠AOG的度數是83°或122°或128°或【分析】（1）觀察圖形，可知已知的兩等角存在公共部分，同時減去，即可得解；（2）觀察圖形中角之間的位置關系，得∠COE=∠COD（3）由∠BOF=∠DOF，分情況：①OF在∠BOD內部：由∠FOG=3∠EOG，進一步分情況討論，OG在∠EOF內部或OG在∠EOF外部，②OF在∠【詳解】（1）解：∵∠AOC∠AOB∠COD∴∠AOB（2）由（1）可知，∠AOB∵∠DOE∴∠COE∵OC平分∠∴∠BOC∴∠BOC的度數是40°（3）∠AOG的度數是83°或122°或128°或38°理由如下：如圖1，∵∠AOE∵∠BOD∴∠BOF

∵∠EOF又∵∠FOG∴∠EOG∴∠AOG如圖2，∵∠FOG

即∠EOF又∵∠EOF∴∠EOG∠AOG

如圖3，∵∠BOF∴∠EOF又∴∠FOG∠EOG∠AOG如圖4:∵∠FOG∴3∠EOG

∠EOG∠AOG綜上所述，∠AOG的大小為83°或122°或128°或38°【點睛】本題考查角的數量關系和計算，角平分線的定義；根據圖形得出角之間的數量關系是解題的關鍵．2．（2023上·湖南永州·七年級統考期末）點O為直線AB上一點，在直線AB同側任作射線OC,OD，使得

(1)如圖一，過點O作射線OE，使OE為∠AOD的角平分線，若∠COE=25°時，則∠DOE=________°(2)如圖二，過點O作射線OE，當OE恰好為∠AOC的角平分線時，另作射線OF，使得OF平分∠①若∠AOC=50°，求②若∠AOC=α0°<α(3)過點O作射線OE，當OC恰好為∠AOE的角平分線時，另作射線OF，使得OF平分∠COD，當∠EOF=10°時，則【答案】(1)65°，40°(2)①135°，②135°(3)35°或55°【分析】（1）根據∠DOE=∠COD-∠COE求出∠（2）①由平角的定義，角平分線的定義求出∠COE，∠②同①法，進行計算即可；（3）分OF在∠EOD內部和OF在∠【詳解】（1）解：∵∠COD=90°，∴∠DOE∵OE為∠AOD∴∠AOE∴∠AOC故答案為：65°，（2）①解：∵∠AOC=50°，∴∠BOD又∵OE為∠AOC的角平分線，OF為∠∴∠COE=1∴∠EOF②∵∠AOC=α∴∠BOD又∵OE為∠AOC的角平分線，OF為∠∴∠COE=1∴∠EOF故答案為：135°；（3）①當OF在∠EOD

∵∠COD=90°，OF平分∴∠COF∵∠EOF∴∠COE∵OC平分∠AOE∴∠AOC②當OF在∠EOD

∵∠COD=90°，OF平分∴∠COF∵∠EOF∴∠COE∵OC平分∠AOE∴∠AOC綜上：∠AOC的度數是35°或55°故答案為：35°或55°．【點睛】本題考查幾何圖形中角度的計算，角平分線的相關計算．解題的關鍵是正確的識圖，理清角之間的和差關系．3．（2023下·上海長寧·七年級校聯考期末）定義：從一個角的頂點出發，在角的內部引兩條射線，如果這兩條射線所成的角等于這個角的一半，那么這兩條射線所成的角叫做這個角的內半角，如圖1，若∠COD=12∠

(1)如圖1，∠AOB=70°，∠AOC=15°，∠COD是(2)如圖2，已知∠AOB=120°，將∠AOB繞點O按順時針方向旋轉一個角度α0°<α<60°得∠COD(3)已知∠AOB=30°，把一塊含有30°角的三角板如圖3疊放，將三角板繞頂點O以5度/秒的速度按順時針旋轉（如圖4），問：在旋轉一周的過程中，射線OA、OB、OC、【答案】(1)20°(2)當旋轉角度α為40°時∠COB是∠(3)能，分別為2秒，18秒，54秒，70秒【分析】（1）根據“內半角”的定義，可求出∠COD的度數，再根據∠（2）由旋轉可分別求出∠BOC和∠AOD的度數，再根據“內半角”的定義，可列出等式120°-（3）由旋轉可知，分四種情況，分別進行討論，根據“內半角”的定義，可求出對應的時間．【詳解】（1）解：如圖1，∵∠AOB=70°，∠COD

∴∠COD∵∠AOC∴∠BOD故答案為：20°．（2）解：如圖2，由旋轉可知，∠AOC

∴∠BOC=120°-α∵∠COB是∠∴∠COB=1解得，α=40°（3）解：能，理由如下：由旋轉可知，∠AOC①當射線OC在∠AOB內，如圖4

此時，∠BOC=30°-5°t則∠COB是∠∴∠COB=1解得t=2（秒)②當射線OC在∠AOB外部，有以下兩種情況，如圖5，圖6如圖5，此時，∠BOC=5°t

則∠COB是∠∴∠COB=1解得t=18（秒)如圖6，此時，∠BOC=360°-5°t

則∠AOD是∠∴∠AOD=1解得t=54（秒)③當射線OD在∠AOB內，如圖7

此時，∠BOC=360°-5°t則∠AOD是∠∴∠AOD=1解得t=70（秒)綜上，在旋轉一周的過程中，射線OA、OB、OC、OD構成內半角時，旋轉的時間分別為：2秒；18秒；54秒；70秒．【點睛】本題屬于新定義類問題，主要考查旋轉中角度的表示，及角度的和差運算；由旋轉正確表達對應的角是本題解題關鍵．4．（2023上·湖北十堰·七年級統考期末）已知∠AOB與∠COD互補，將∠COD(1)若∠①如圖1，當∠COB=30°時，∠AOD②將∠COD繞點O逆時針旋轉至∠AOC=3∠BOD，求(2)將∠COD繞點O逆時針旋轉α°(0<α【答案】(1)①150；②∠COB=20°，∠AOD=130°(2)不改變，其度數為180°【分析】（1）①先根據∠AOB=110°,∠COD=70°求出②設∠AOC=x°，分兩種情況：(Ⅰ)OB在∠COD內部，（2）設∠AOB【詳解】（1）①∵∠AOB∴∠AOB∵∠AOB+∠COD∴∠AOD故答案為150；②(Ⅰ)當OB在∠COD內部時（如圖1設∠AOC=x∠BOD由∠AOC=3∠BOD解得x=60∴∠COB∴∠AOD(Ⅱ)當∠COD在∠AOB內部時（如圖設∠AOC=x由∠AOC=3∠BOD解得x=30∠BOD∠COB∴∠AOD（2）不改變，其度數為180°．設∠AOB=β分四種情況：ⅰ)當OB在∠COD內部時（如圖3∠COB∠BOD∠AOD∴∠AODⅱ)當∠COD在∠AOB內部時（如圖∠COB∠AOD∴∠AODⅲ)當OA在∠COD內部時（如圖5∠COB∠AOD∴∠AODⅳ)當∠COD在∠AOB外部時（如圖∠=360°-180°=180°；綜上所述，在旋轉過程中，∠AOD+∠COB【點睛】本題考查了角的和差，關鍵是運用角的和差正確表示所需要的角．5．（2023上·江蘇南通·七年級校聯考期末）定義：從∠MPN的頂點P引一條射線PQ（不與PM重合），若∠QPN+∠MPN=180°，則稱射線PQ

(1)下列說法：①一個角關于某邊的補線一定在這個角的外部；②一個角關于某邊的補線一定有2條；③一個角關于某邊的補線有1條或2條，其中正確的是；（填序號）(2)如圖，O是直線AB上一點，射線OC，OD在AB同側，OD是∠BOC的平分線，則OC是∠AOD關于邊(3)已知射線OC為∠AOB關于邊OB的補線，OP是∠BOC的平分線．若∠AOB=α【答案】(1)