第2章信號的分析與處理

SignalAnalysisandProcessing2.0序(Introduction)2.1信號的時域分析(SignalAnalysisinTimeDomain)2.2信號的相關分析(SignalCorrelation)2.3信號的頻域分析(SignalAnalysisinFrequencyDomain)2.4數字信號處理基礎(BasicofDigitalSignalProcessing)返回★★第2章信號的分析與處理

信號分析與處理的目的：1）剔除信號中的噪聲和干擾，即提高信噪比；2）消除測量系統的誤差，修正畸變的波形；3）強化、突出有用信息，削弱無用部分；4）將信號加工、處理、變換，以便更容易識別和分析信號的特征，解釋被測對象所表現的各種物理現象。2.0

序(Introduction)信號分析和信號處理是密切相關的，二者并沒有明確的界限。本章重點討論頻域分析。信號分析和處理的方法主要有模擬分析方法和數字處理分析方法。數字信號處理可以在專用計算機上進行，也可以在通用計算機上實現。序

利用FFT頻譜分析，將復雜的波形轉換成頻譜，以便進一步了解振動的構成原因。0測試信號分析與處理確定性信號非確定性信號周期信號非周期信號隨機信號時域分析頻域分析特征參數相關分析付里葉級數展開付里葉變換頻譜密度函數頻譜功率譜分析相關分析特征參數時域分析頻域分析時域分析頻域分析相關分析窗函數/濾波器功率譜分析R(t)Vp,VRMS,f,

S(f)R(t)F[f]XRMS,μ,

,R(t)S(f)三角函數展開式復指數展開式測試信號常用的時域與頻域分析與處理方法時域分析與處理信號特征值求取信號時域運算濾波處理相關分析和卷積運算信號重組和波形修正頻域分析與處理頻譜分析功率譜分析希爾波特變換相干分析聯合時域分析概率密度函數分析倒譜分析2.1信號的時域分析

(SignalAnalysisinTimeDomain)離散時間序列統計參數2.1.1特征值分析離散信號的絕對平均值(absolutemean)

離散信號的均值(mean)

N為離散點數

離散信號的均方值(meansquare)

信號的均方根值(rootofmeansquare)

，即為有效值離散信號的方差(variance)

信號的時域分析2.1.2概率密度(probabilitydensity)函數分析

正弦信號正弦加隨機噪聲窄帶隨機信號寬帶隨機信號概率密度函數常見信號的概率密度函數：信號的時域分析正態分布隨機信號的概率密度函數正態分布又叫高斯分布，是概率密度函數中最重要的一種分布。因此，信號的時域分析≤≤≤≤≤≤2.2信號的相關分析

(SignalCorrelationAnalysis)2.2.1相關系數x與y變量的相關性xyxyxy不相關相關000信號的時域分析變量x和y之間的相關程度常用相關系數表示：由柯西-許瓦茲不等式所以，信號的相關分析≤≤2.2.2自相關(self-correlation)分析相關系數信號的相關分析自相關函數定義周期信號：非周期信號：進一步，對于周期信號和非周期信號有：信號的相關分析自相關函數的性質:自相關函數為實偶函數

證明：

信號的相關分析≤≤自相關函數的性質

信號的相關分析0周期函數的自相關函數仍為同頻率的周期函數例2.1求正弦函數的自相關函數。把解：代入信號的相關分析，結論：1）周期信號的Rx(τ）不會衰減，非周期信號的Rx(τ）一定會衰減至零。2）如果某信號的Rx(τ）沒有衰減至零，則一定含有周期成分。2.2.3互相關(Cross-Correlation)分析互相關函數的概念互相關系數互相關函數信號的相關分析互相關函數的性質1）互相關函數是可正、可負的實函數。2）互相關函數非偶函數、亦非奇函數，具有關系:因為：信號的相關分析3）的峰值不在處，其峰值偏離原點的位置反映了兩信號時移的大小，相關程度最高。互相關函數的性質信號的相關分析05）兩個統計獨立的隨機信號，當均值為零時，則信號的相關分析4）互相關函數的限制范圍為證明有上述結論。≤≤6)兩個不同頻率的周期信號，其互相關為零。＝07）周期信號與隨機信號的互相關函數為零。

信號的相關分析例2.2求兩個同頻率的正弦函數和的互相關函數。解：因為信號是周期函數，可以用一個共同周期內的平均值代替其整個歷程的平均值，故信號的相關分析任意兩周期信號互相關函數的計算：2.2.4相關分析的應用：1）相關濾波：將輸入信號與輸出信號進行相關，從而達到抑制噪聲，提取有用信號的目的。-τ延時*乘法器平均器x(t)y(t)Rxy(τ）結論：

1）同頻率的信號相關，非同頻信號不相關。2）兩信號的Rxy(τ）如果不會收斂至零，則表示這兩個信號中一定含有同頻率的成分。信號的相關分析d速度v透鏡光電池可調延遲相關器鋼帶0信號的相關分析鋼帶運動速度的非接觸測量2）相關技術測速相關分析在故障診斷中的應用

信號的相關分析x1(t)x2(t)τs3）相關技術測距、探傷4）測定振動源(例1)信號的相關分析4）測定振動源(例2)信號的相關分析5）其它領域2.3信號的頻域分析

(SignalAnalysisinFrequencyDomain)信號的時域描述反映了信號幅值隨時間變化的特征；相關分析從時域為在噪聲背景下提取有用信息提供了手段；信號的頻域描述反映了信號的頻率結構和各頻率成分的幅值大小；功率譜密度函數、相干函數、倒譜分析則從頻域為研究平穩隨機過程提供了重要方法。

信號的頻域分析2.3.1巴什瓦（Paseval）定理信號在時域中的總能量與信號在頻域中的總能量相等由卷積定理即令令信號的頻域分析，則2.3.2功率譜(powerspectrum)分析及其應用定義隨機信號的自功率譜密度函數（自譜）為其逆變換為定義兩隨機信號的互功率譜密度函數（互譜）為其逆變換為信號的頻域分析功率譜密度函數的物理意義:表示信號的功率密度沿頻率軸的分布，故又稱為功率譜密度函數。信號的頻域分析0f

Sx(f）頻譜曲線和頻率軸所包圍的面積就等于信號的平均功率，

Sx(f）就是信號的功率密度沿頻率軸的分布，故稱功率譜密度函數。自功率譜密度函數和幅值譜及能譜之間的關系:由巴塞伐爾定理：由功率譜定義：因此，有信號的頻域分析自功率譜密度函數是偶函數,它的頻率范圍，又稱雙邊自功率譜密度函數。它在頻率范圍的函數值是其在頻率范圍函數值的對稱映射，因此。單邊譜和雙邊譜

信號的頻域分析0f功率譜的應用1）自功率譜密度與幅值譜及系統頻率響應函數的關系:信號的頻域分析若信號的頻域分析輸入/輸出自功率譜密度函數與系統頻率響應函數關系

通過輸入、輸出自譜的分析，就能得出系統的幅頻特性。但這樣的譜分析丟失了相位信息，不能得出系統的相頻特性。單輸入、單輸出的理想線性系統信號的頻域分析2）互譜排除噪聲影響由于輸入和噪聲是獨立無關的，信號的頻域分析+++++++++3）功率譜在設備診斷中的應用汽車變速箱上加速度信號的功率譜圖正常異常故障頻率信號的頻域分析（a）（b）信號的頻域分析2.3.3相干函數(CoherenceFunction)相干函數為零-輸出信號與輸入信號不相干。相干函數為1-輸出與輸入信號完全相干。相干函數在0~1之間-有如下三種可能：①測試中有外界噪聲干擾；②輸出是輸入和其他輸入的綜合輸出；③系統是非線性的。對于線性系統信號的頻域分析≤≤油壓脈動與油管振動的相干分析壓油管壓力脈動的基頻

潤滑油泵轉速為n=781r/min,油泵齒輪的齒數為z=14信號的頻域分析（a）信號x(t)的自譜（b）信號y(t)的自譜（c）相干函數2.3.4倒譜(Cepstrum)分析*倒頻譜分析亦稱為二次頻譜分析檢測復雜信號頻譜上的周期結構，分離和提取在密集泛頻譜信號中周期成分.功率倒頻譜函數與自相關函數比較信號的頻域分析幅值倒頻譜函數也可以定義為倒頻譜的應用（1）分離信息通道對信號的影響在機械狀態監測和故障診斷中所測得的信號往往是由故障源經系統路徑的傳輸而得到的響應，如欲得到該源信號，必須消除傳遞通道的影響。信號的頻域分析（2）用倒頻譜診斷齒輪故障齒輪的振動轉軸頻率嚙合頻率功率譜倒譜信號的頻域分析SyCyf/Hzq/ms2.4數字信號處理基礎

(BasicofDigitalSignailProcessing)2.4.1數字信號處理的基本步驟

信號預處理：幅值調理、濾波、隔離直流分量、解調等。

A/D轉換：采樣、量化為數字量。

數字信號處理器或計算機：信號分析與處理（數據截斷、加窗、奇異點剔除、趨勢分離、數字濾波、時域分析、頻域分析等）。

結果顯示：數據或圖形顯示、D/A、記錄、打印等。預處理A/D轉換x(t)數字信號處理器或計算機預處理A/D轉換x(t)結果顯示數字信號處理系統簡圖一、信號的采樣和數字化過程1s(t)x(t)x(t)

s(t)1TW（f）f1d(t)w(t)x(t)

s(t)x(t)

s(t)

w(t)初始模擬信號的數字化經過三個步驟：時域采樣截斷頻域采樣X(f)

S0(f)x(t)s0(t)s0(t)x(t)S0(f)X(f)w(t)W(f)x(t)s0(t)w(t)X(f)

S0(f)

W(f)s1(t)S1

(f)[X(f)

S0(f)

W(f)]S1

(f)[x(t)s0(t)w(t)]*s1(t)

離散傅里葉變換圖解說明(a)(b)(c)(d)(e)(f)(g)頻域采樣時域采樣截斷x(t)

s(t)x(t)

s(t)

w(t)2.4.2時域采樣和采樣定理采樣(sampling)：連續時間信號離散化的過程。采樣時間間隔為Ts，則x(t)經采樣后的離散序列x(n)為x(n)與x(t)是局部與整體的關系。能否由x(n)唯一確定或恢復出x(t)，或能否通過對x(n)的分析獲得x(t)的全部信息是采樣最關心的問題。

數字信號處理基礎混疊(aliasing)和采樣定理

時域采樣間隔過長，造成頻域周期化間隔不夠大時，在重復頻譜交界處出現的局部互相重疊現象，稱為頻率混疊。所以數字信號處理基礎數字信號處理基礎混疊現象TsA、B、C

被誤認為是一條曲線高頻正弦信號被誤認為是低頻正弦信號x(t)0123tABC4混疊混疊的后果是原來的高頻信號將被誤認為是某種相應的低頻信號。發生混疊的高頻成分（大于頻率）f1和低頻成分f2（低于頻率）之間滿足：即f1和f2以為軸對稱，可以將混疊視為以為軸將高頻分量f1折疊至低頻分量f2處。因此，稱為折疊頻率。也稱為奈奎斯特頻率(Nyquistfrequency)

。數字信號處理基礎若原始信號是帶限信號，則采樣后信號頻譜不發生重疊的條件為fs≥2fh

。其中fh為信號中的最高頻率。此即為采樣定理。實際工作中，fs常取為信號最高頻率的2.56倍以上。數字信號處理基礎|X(f)

S(f)|f不產生混疊的條件……0-fhfhfsfh消除混疊的措施提高采樣頻率。但提高采樣頻率將導致在同樣信號長度下采樣點數隨之提高，增加計算負擔。應用抗混濾波器降低信號中的最高頻率。從理論上講，由于抗混濾波器的非理想特性，信號中高頻分量不可能完全衰減，因此不可能徹底消除混疊。數字信號處理基礎2.4.3截斷(Truncation)、泄漏(Leakage)和窗函數(Window)計算機處理的數據長度是有限的，進行數字信號處理必須對過長時間歷程的信號進行截斷處理。截斷相當于對信號進行加窗處理，截斷即是將信號乘以時域的有限寬矩形窗函數：即：采樣后信號x(t)s(t)經截斷成為x(t)s(t)w(t)。數字信號處理基礎≤矩形窗函數的頻譜為無限帶寬的sinc函數，即使x(t)為帶限信號，經截斷后必然成為無限帶寬信號，這種信號的能量在頻率軸分布擴展的現象稱為泄漏。

無論采樣頻率多高，信號不可避免地出現混疊。

減小泄漏的措施：提高截斷信號長度，即提高矩形窗寬度，此時sinc函數主瓣變窄，旁瓣向主瓣密集，由于旁瓣衰減較快，故可減小泄漏，但顯然采樣點數隨之提高，增加計算負擔。數字信號處理基礎采用其他窗函數。一個好的窗函數應當：主瓣盡可能窄（提高頻率分辨力）、旁瓣相對于主瓣盡可能小，且衰減快（減小泄漏）。常用窗函數

矩形窗(rectanglewindow)數字信號處理基礎≤三角窗(trianglewindsow)數字信號處理基礎W(f)-2/Tw(t)10T/2T/2tT/202/Tf漢寧窗(Hanningwindow)（余弦窗）

其中

數字信號處理基礎2/Tw(t)10T/2T/2tW(f)T/2-2/T0f指數窗(exponentwindow)

數字信號處理基礎w(t)10tW(f)1/a0f幾種典型窗函數的技術指標數字信號處理基礎窗函數類型

主瓣寬度

最大旁瓣幅度

旁瓣衰減速度

矩形窗

2/T

–13dB

–6dB/oct

三角形窗

4/T

–

26dB

–12dB/oct

漢寧窗

4/T

–

32dB

–

18dB/oct

2.4.4頻域采樣與柵欄效應頻域采樣與時域采樣類似，頻域采樣導致對時域截斷信號進行周期延拓，將原時域截斷信號“改造”為周期信號。數字信號處理基礎x(t)w(t)0t-f0f00TT-Ts2(t)0S2(f)0ff[X(f)*W(f)]S2(f)[x(t)w(t)]*s2(t)T頻域采樣-f0f00f0經頻域采樣后的頻譜僅在各采樣點上存在，而非采樣點的頻譜則被“擋住”無法顯示（視為0），這種現象稱為柵欄效應。顯然，采樣必然帶來柵欄效應。在時域，只要滿足采樣定理，柵欄效應不會丟失信號信息在頻域，則有可能丟失重要的或具有特征的頻率成分（由于泄漏，丟失頻率成分附近的頻率有可能存在），導致譜分析結果失去意義。數字信號處理基礎X(f)

S0(f)x(t)s0(t)s0(t)x(t)S0(f)X(f)w(t)W(f)x(t)s0(t)w(t)X(f)

S0(f)

W(f)s1(t)S1

(f)[X(f)

S0(f)

W(f)]S1

(f)[x(t)s0(t)w(t)]*s1(t)

離散傅里葉變換圖解說明(a)(b)(c)(d)(e)(f)(g)頻率分辨力、整周期截斷頻率采樣間隔

f決定了頻率分辨力。

f越小，分辨力越高，被擋住的頻率成分越少。由于DFT在頻域的一個周期內（周期為：1/Ts）輸出N個有效譜值，故頻率間隔為：顯然，可以通過降低fs

或提高N以提高

f。但前者受采樣定理的限制，不可能隨意降低，后者必然增加計算量。為了解決上述矛盾，可以采用ZOOM-FFT或Chip-Z變換，或采用基于模型的現代譜分析技術。數字信號處理基礎