3.7公倍數與最小公倍數第一部分第一部分學問清單6，12，18，24，…既是2的倍數，又是3的倍數，它們是2和3的公倍數。6和9的公倍數有18，36，54，…其中最小的是18。18就是6和9的最小公倍數。兩個數中，假如較大數是較小數的倍數，那么較大數就是這兩個數的最小公倍數；假如兩個數只有公因數1，那么這兩個數的最小公倍數就是這兩個數的積。兩個數的最大公因數和最小公倍數的積等于這兩個數的積。幾個數公有的倍數，叫作這幾個數的公倍數。幾個數的公倍數中最小的一個，叫作這幾個數的最小公倍數。其次部分其次部分典型例題例1：若a－b＝1（a、b為非零自然數），則a與b的最小公倍數是（

）。A．a B．b C．ab D．1答案：C分析：由于a－b＝1，所以a、b是相鄰的兩個自然數，那么a與b的最小公倍數是a與b的乘積，據此解答。詳解：依據分析，a、b是相鄰的兩個自然數，那么a與b的最小公倍數是a與b的乘積ab。比如a＝6，b＝5，則a與b的最小公倍數是6×5＝30。故答案為：C例2：一個汽車站內有兩路公共汽車，1路公共汽車每4分鐘發一趟車，2路公共汽車每5分鐘發一趟車，這兩路公共汽車在7：06同時發車。把下面表格填寫完整。1路車7：067：102路車7：067：11（1）兩車（

）：（

）再次同時發車。（2）猜測一下，兩車（

）：（

）第三次同時發車。答案：表格見詳解：（1）7：26（2）7：46分析：由于4和5的最小公倍數是20，由此可知兩車至少經過20分鐘又同時發車。據此解答。詳解：填表如下：1路車7：067：107：147：187：227：267：302路車7：067：117：167：217：267：317：367時6分＋20分＝7時26分（1）兩車（7）：（26）再次同時發車。7時26分＋20分＝7時46分（2）兩車（7）：（46）第三次同時發車。例3：a＝3×3×5，b＝3×5×7，a和b的最小公倍數是420。()答案：×分析：全部公有的質因數和各自獨立的質因數，它們連乘的積就是這幾個數的最小公倍數。詳解：3×3×5×7＝315a＝3×3×5，b＝3×5×7，a和b的最小公倍數是315，原題說法錯誤。故答案為：×例4：媽媽買來一箱雞蛋，有90多個，假如把它們裝進8個一盒的蛋托中，正好裝完；假如裝進12個一盒的蛋托中，也正好裝完。你能求出媽媽一共買了多少個雞蛋嗎？答案：96個分析：依據題意，雞蛋有90多個，且雞蛋的個數既是8的倍數，也是12的倍數。求出8和12的最小公倍數，再用最小公倍數依次乘2、3、4、5……，直到得數為90多，據此解答。詳解：8和12的最小公倍數是：；（個）（個）（個）答：媽媽一共買了96個雞蛋。：基礎過關練一、選擇題1．一筐蘋果，平均分給6個人，最終剩下2個；平均分給9個人，最終還是剩下2個。這筐蘋果最少有（

）個。A．50 B．38 C．20 D．182．用若干個長5厘米、寬3厘米的長方形拼成一個正方形，這個正方形的邊長至少是（

）厘米，面積是（

）平方厘米。A．8，64 B．15，225 C．30，9003．10÷5＝a，10和a的最小公倍數是（

）。A．a B．10 C．5 D．10a4．假如m÷12＝n，那么，m和12的最小公倍數是（

）。A．m B．12 C．n D．15．和是非零的自然數，且，已知，那么與的最小公倍數是（

）。A． B． C．1 D．6．六（1）班同學不超過50人，在分組時，4人一組或6人一組都剛好分完。這個班人數可能是（

）人。A．40 B．42 C．487．學校合唱社團，每組5人或每組8人都多1人，學校合唱社團最少有（

）。A．81人 B．41人 C．40人 D．39人二、填空題8．從小到大寫出6和8的倍數，再填空。6的倍數…8的倍數…（1）表格中既是6的倍數，又是8的倍數的有（

），這些數是6和8的公倍數。（2）6和8的公倍數中最小的是（

），這個數是6和8的（

）。9．課間，六（2）班同學（不超過50人）玩報數玩耍。他們先按1－2報數，再按1－2－3報數，最終按1－2－3－4－5－6－7報數。最終一位同學每次都報1，由此可以知道這個班有()名同學。10．面包店烤好了一批面包，每12個裝一袋或者每15個裝一袋都正好裝完，這批面包至少有()個。11．天干地支，簡稱干支，源自中國遠古時代對天象的觀測。天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。自古農歷就借用天干地支來表示年份，例如：2021年是辛丑年，2022年是壬寅年，2023年是癸卯年……那么下一個癸卯年是()年。12．假如b＝5a（a、b都是不為0的自然數），那么a與b的最小公倍數是()。三、推斷題13．假如、、都是不為0的自然數），那么和的最小公倍數是。()14．兩個非0自然數的公倍數的個數是無限的。()15．任何兩個自然數都有很多個公倍數。()16．兩個質數相乘的積是它們的最小公倍數。()17．兩個相鄰自然數的最小公倍數是72，這兩個自然數的和是17。()：培優提升練四、計算題18．求出下面各組數的最大公因數和最小公倍數。8和2

12和20

7和8

15和75五、解答題19．一條跑道長96米，原來從起點到終點每隔3米插一面紅旗，現在改成每隔4米插一面紅旗，不需要移動的紅旗有幾面？20．一籃蘋果，5個5個地數，最終還差4個，7個7個地數，最終還余下1個。這籃蘋果最少有多少個？21．亮亮和麗麗去圖書館借書，亮亮每4天去一次，麗麗每7天去一次，7月31日他們兩人在圖書館相遇，下一次相遇是幾月幾日？22．小華的爸爸每上班4天休息1天，媽媽每上班6天休息1天。2022年2月18日他們同時在家休息，那么下一次同時在家休息是幾月幾日？23．王叔叔家有兩個兒子都在外地上班，哥哥6天回家一次在家休息兩天，弟弟8天回家一次在家休息兩天，兄弟兩人同時在4月20日回家，下一次兩人同時回家的時間是幾月幾日？24．暑假期間，小紅和小剛都去圖書館借書。小紅每8天去一次，小剛每6天去一次。7月13日兩人第一次在圖書館見面，幾月幾日她們會在圖書館其次次相遇？25．用若干塊長是12厘米、寬是9厘米的長方形硬紙板鋪成一個大的正方形。這個正方形的邊長最小是多少厘米？

1．C分析：由題意可知：若將這筐蘋果的個數減去2后，則蘋果的個數既是6的倍數，又是9的倍數。求這筐蘋果最少有多少個，可以先求6和9的最小公倍數，再加2。詳解：6和9的最小公倍數是3×2×3＝18。18＋2＝20（個）所以，這筐蘋果最少有20個。故答案為：C2．B分析：依據題意，拼成的正方形的邊長至少是5和3的最小公倍數。再依據“正方形面積＝邊長×邊長”求出它的面積即可。詳解：5×3＝15（厘米）15×15＝225（平方厘米）所以，這個正方形的邊長至少是15厘米，面積是225平方厘米。故答案為：B點睛：本題考查了最小公倍數和正方形的面積，把握最小公倍數的求法、正方形的面積公式是解題的關鍵。3．B分析：求兩個數的最小公倍數，就是兩個數的公有質因數與每一個獨有質因數的連乘積；假如兩個數成倍數關系，較大的數是兩個數的最小公倍數；假如兩個數為互質數，兩個的乘積就是這兩個數的最小公倍數，據此解答。詳解：由于10÷5＝a，所以10÷a＝5，10和a成倍數關系，10和a的最小公倍數是10。10÷5＝a，10和a的最小公倍數是10。故答案為：B點睛：嫻熟把握求兩個數的最小公倍數的方法是解答本題的關鍵。4．A分析：求兩個數的最小公倍數，就是兩個數的公有質因數與每一個獨有質因數的連乘積；假如兩個數成倍數關系，較大的數是兩個數的最小公倍數；假如兩個數為互質數，兩個的乘積就是這兩個數的最小公倍數，據此解答。詳解：由于m÷12＝n，所以m和12成倍數關系，最小公倍數是m。假如m÷12＝n，那么，m和12的最小公倍數是m。故答案為：A點睛：嫻熟把握求兩個數的最小公倍數的方法是解答本題的關鍵。5．A分析：依據題意可知，a＝3b，a÷b＝3；a和b成倍數關系；兩個數為倍數關系，則最小公倍數為較大的數；據此解答。詳解：a＝3b，則a÷b＝3，a和b成倍數關系。a和b的最小公倍數是a。a和b是非零的自然數，且，已知a＝3b，那么a與b的最小公倍數是a。故答案為：A點睛：本題考查兩個數為倍數關系時，求最小公倍數，本題關鍵是觀看得出來兩數是倍數關系。6．C分析：由題意可知：該班人數是小于50的4和6的公倍數；據此解答。詳解：4＝2×26＝2×3所以4和6的最小公倍數是2×2×3＝1212×2＝2412×3＝3612×4＝48結合選項可知：這個班人數可能是48人。故答案為：C點睛：本題主要考查公倍數的實際應用。7．B分析：求出5和8的最小公倍數，再加上1，即可求出最少有多少人。詳解：5×8＋1＝40＋1＝41（人）所以，學校合唱社團最少有41人。故答案為：B點睛：本題考查了公倍數的計算與應用，理解題意，找出最小公倍數是解決本題的關鍵。8．見詳解（1）24、48（2）24；最小公倍數分析：一個數的倍數是無限的，兩個數的公倍數的個數也是無限的，但兩個數的最小公倍數只有一個，用列舉法找出兩個數的最小公倍數，由此解決問題即可。詳解：6×1＝66×2＝126×3＝186×4＝246×5＝30……8×1＝88×2＝168×3＝248×4＝328×5＝40……填空如下：6的倍數612182430364248…8的倍數816243240485664…（1）表格中既是6的倍數，又是8的倍數的有24、48，這些數是6和8的公倍數。（2）6和8的公倍數中最小的是24，這個數是6和8的最小公倍數。9．43分析：本題考查公倍數的實際應用。按1－2報數，最終一人報1，說明同學人數是2的倍數加1；按1－2－3報數，最終一人報1，說明同學人數是3的倍數加1；按1－2－3－4－5－6－7報數，最終一人報1，說明同學人數是7的倍數加1。則出勤同學人數是2、3、7的公倍數加1，在50以內2、3、7的公倍數只有2×3×7＝42，所以六（2）班有42＋1＝43（名）同學。詳解：2×3×7＝42（人）42＋1＝43（人）則這個班有43名同學。10．60分析：每12個裝一袋或者每15個裝一袋都正好裝完，說明面包個數是12和15的公倍數，求出12和15的最小公倍數是面包至少個數，全部公有的質因數和各自獨立的質因數，它們連乘的積就是這幾個數的最小公倍數。詳解：12＝2×2×315＝3×52×2×3×5＝60（個）這批面包至少有60個。11．2083分析：全部公有的質因數和各自獨立的質因數，它們連乘的積就是這幾個數的最小公倍數。已知天干有10個，地支有12個，求出天干和地支數量的最小公倍數，是下一個癸卯年的間隔時間，依據起點時間＋經過時間＝終點時間，推算出下一個癸卯年即可。詳解：10＝2×512＝2×2×32×2×3×5＝60（年）10和12的最小公倍數是60。2023＋60＝2083（年）那么下一個癸卯年是2083年。12．b分析：當兩個數成倍數關系時，較大數就是它們的最小公倍數。據此解答即可。詳解：b＝5a（a、b都是不為0的自然數），說明b是a的倍數，b是較大數，a是較小數，所以a與b的最小公倍數是b。13．√分析：由a÷b＝c（a、b、c都是不為0的自然數），可知a和c是倍數關系，依據倍數關系的最大公因數是較小數，最小公倍數是較大數，據此可推斷此題說法是否正確。詳解：假如、、都是不為0的自然數），那么和的最大公因數是，最小公倍數是，所以原題的說法正確。故答案為：√點睛：本題主要考查求兩個數的最大公因數和最小公倍數的方法，留意倍數關系的最大公因數是較小數，最小公倍數是較大數。14．√分析：假如a×b＝c（a、b、c都是非0自然數），則a和b是c的因數，c是a和b的倍數，一個數的因數是有限的，倍數是無限的；幾個數公有的因數，就叫這幾個數的公因數；幾個數公有的倍數就叫這幾個數的公倍數，公因數是有限的，公倍數是無限的。據此解答。詳解：由于一個數的倍數個數是無限的，只有最小的倍數，沒有最大的倍數，所以兩個非0自然數的公倍數中只有最小公倍數，沒有最大的公倍數，公倍數的個數是無限的。故答案為：√點睛：把握倍數和因數的特征、公倍數和公因數的含義是解決此題的關鍵。15．×分析：由于一個數的倍數的個數是無限的，但是0除外。詳解：由分析可知：除0以外，任何兩個自然數的公倍數的個數是無限的；所以原題說法錯誤。故答案為：×點睛：此題考查的目的是理解倍數、公倍數的意義；明確：0除外，一個數的倍數的個數是無限的，兩個數的公倍數的個數也是無限的。16．√分析：兩個質數是互質數，它們的最大公因數是1，最小公倍數是它們的乘積，據此解答。詳解：兩個質數相乘的積是它們的最小公倍數。原題干說法正確。故答案為：√點睛：依據最小公倍數求法和質數的意義，進行解答。17．√分析：依據題意，兩個相鄰自然數是互質數，這兩個數的最小公倍數是這兩個數的乘積；由于8×9＝72，由此可知，這兩個數是8和9，再把8與9相加，即可解答。詳解：依據分析可知，這兩個數為8和98＋9＝17兩個相鄰自然數的最小公倍數是72，這兩個自然數的和是17。原題干說法正確。故答案為：√點睛：明確兩個相鄰自然數是互質數是解題的關鍵。18．2，8；4，60；1，56；15，75分析：成倍數關系的兩個數，其中的較小數就是它們的最大公因數，較大數就是它們的最小公倍數；假如兩個數是互質數，則它們的最大公因數是1，最小公倍數是它們的乘積。用質因數分解法可以求兩個數的最大公因數和最小公倍數。全部共有的質因數（公有質因數）相乘的積就是這兩個數的最大公因數；全部公有的質因數和各自獨立的質因數，它們連乘的積就是這兩個數的最小公倍數。詳解：（1）8是2的倍數，則8和2的最大公因數是2，最小公倍數是8。（2）12＝2×2×320＝2×2×512和20的最大公因數是2×2＝4，最小公倍數是2×2×3×5＝60。（3）7和8是互質數，則7和8的最大公因數是1，最小公倍數是7×8＝56。（4）75是15的倍數，則它們的最大公因數是15，最小公倍數是75。19．9面分析：3和4的最小公倍數是12，所以每12米有1面紅旗不需要移動，96÷12＋1＝9（面），留意不能遺漏第1面！詳解：3和4的最小公倍數是1296÷12＋1＝8＋1＝9（面）答：不需要移動的紅旗有9面。20．36個分析：本題考查最小公倍數的應用。5個5個地數差4個，也就是5個5個地數會余下1個；又由于7個7個地數，蘋果也余下1個，所以假如拿走1個蘋果，那么蘋果的個數是5和7的公倍數，所以這籃蘋果最少時，個數比5和7的最小公倍數多1個，5和7的最小公倍數是35，據此解答即可。詳解：5和7的最小公倍數是35，35＋1＝36（個）答：這籃蘋果最少有36個。21．8月28日分析：4和7的最小公倍數是28,也就是每28天兩人同時去圖書館借書一次,7月31日再過28天是8月28日,所以下一次相遇是8月28日。詳解：4和7的最小公倍數是28，所以他們下一次相遇是8月28日。答：下一次相遇是8月28日。點睛：本題考查了最小公倍數的應用。22．3月25日分析：依據題意，爸爸每上班4天休息1天，即爸爸每5天休息1天；媽媽每上班6天休息1天，