3.6公因數與最大公因數第一部分第一部分學問清單1、2、3和6既是12的因數，又是18的因數，它們是12和18的公因數。8和12的公因數有1，2，4，其中最大的是4。4就是8和12的最大公因數。兩個數中，假如較大數是較小數的倍數，那么較小數就是這兩個數的最大公因數；假如兩個數只有公因數1，那么這兩個數的最大公因數就是1，我們也說這兩個數互質。幾個數公有的因數，叫作這幾個數的公因數。幾個數的公因數中最大的一個，叫作這幾個數的最大公因數。其次部分其次部分典型例題例1：把40塊水果糖和35塊巧克力分別平均分給一個組的同學，結果水果糖少2塊，巧克力少1塊。這個組最多有（

）位同學。A．5 B．6 C．7 D．8答案：B分析：依據題意可知，假如水果糖有40＋2＝42塊，巧克力有35＋1＝36塊，正好分完，由此可知，求這個組最多有幾名同學，就是求42和36的最大公因數，最大公因數：兩個數的公有質因數的連乘積，就是這兩個數的最大公因數，據此解答。詳解：40＋2＝42（塊）35＋1＝36（塊）42＝2×3×736＝2×3×2×342和36的最大公因數是2×3＝6；最多有6位同學。把40塊水果糖和35塊巧克力分別平均分給一個組的同學，結果水果糖少2塊，巧克力少1塊。這個組最多有6位同學。故答案為：B例2：4和12的最大公因數是()，最小公倍數是()。答案：412分析：假如兩個數中大數是小數的倍數，那么小數就是這兩個數的最大公因數，大數就是這兩個數的最小公倍數。詳解：，12是4的倍數，所以4和12的最大公因數是4，最小公倍數是12。例3：13和26的最大公因數是26。()答案：×分析：兩個數的最大公因數是兩個數的公有質因數的連乘積；假如兩個數為倍數關系，較小的那個數為兩個數的最大公因數；假如兩個數為互質數，兩個數的最大公因數是1，據此解答。詳解：13和26是倍數關系，13和26的最大公因數是13。原題干說法錯誤。故答案為：×例4：在18的因數上畫“”，在30的因數上畫“”。12345678910111213141516171819202122232425262728293018和30的公因數有（

），其中最大公因數是（

）。答案：如圖所示1、2、3、6；6分析：應用列乘法算式法分別找到18和30的因數，18和30公有的因數就是它們的公因數，據此解答。詳解：，，所以18的因數有1、2、3、6、9、18；如圖在圖上畫出；，，，所以30的因數有1、2、3、5、6、10、15、30；如圖在圖上畫出；18和30的公因數有1、2、3、6，其中最大公因數是6。：基礎過關練一、選擇題1．從4、5、7、8這四個數中選出2個數，能組成（

）組公因數只有1的數。A．2 B．4 C．5 D．很多2．下列的說法中，正確的有（

）個。①1420除以40，商是35，余數是2；②a÷b＝8（a、b都是不為0的自然數），a和b的最大公因數是b；③用6個同樣大的正方體可以擺成從前面、右面和上面看到的外形完全相同的物體。A．1 B．2 C．3 D．43．把一張長12厘米、寬8厘米的長方形紙，剪成同樣大小的正方形，最終沒有剩余。每個正方形的邊長最大是（

）厘米。A．2 B．4 C．8 D．64．用邊長12厘米的正方形畫紙鋪長方形桌面。下面這些規格的長方形桌面中，正好能鋪滿且沒有鋪張的是（

）。（單位：厘米。其中“”表示長108厘米、寬80厘米）A． B． C． D．5．東東的臥房長5.6米、寬4.8米，選用下面邊長最大是（

）分米的方磚鋪地不需要切割。A．4 B．6 C．7 D．86．有一塊長方形地，長120米，寬48米，要在它的四周和四角種樹，每相鄰兩棵樹之間的距離相等，最少要種（

）棵樹。A．7 B．14 C．18 D．247．一根細木棒長24cm，另一根細木棒長32cm，分別將它們截成同樣長的小段。假如要求截的小棒盡可能長，且都沒有剩余，一共可以截成（

）段。A．3 B．4 C．7 D．14二、填空題8．求出下面每組數的最大公因數，并說說你發覺了什么。(1)6和30()

48和24()

20和60()

25和75()我發覺：較小數是較大數的因數時，它們的最大公因數是()。(2)7和9()

12和13()

31和46()

25和16()我發覺：兩個數只有公因數1時，它們的最大公因數是()。9．找出下面每組數的公因數。4和6()

9和12()50和60()

64和80()10．想一想，填一填。24的因數：54的因數：（1）既是24的因數，又是54的因數的有（

），這些因數是24和54的公因數。（2）24和54的公因數中最大的是（

），這個數是24和54的（

）。11．甲數＝a×b，乙數＝a×c（a、b、c為不同的質數），甲、乙兩數的最大公因數是()，最小公倍數是()。12．一個兩位數“2”是3和4的公倍數，里的數是()，這個兩位數與18的最大公因數是()。三、推斷題13．13和17沒有公因數，只有公倍數。()14．兩個數的最大公因數是4，最小公倍數是12，這兩個數可能是8和12。()15．假如3a＝b，a和b的最大公因數是a。()16．把一張長是18厘米、寬是12厘米的長方形裁成同樣大的正方形，假如要求紙沒有剩余，裁出的正方形邊長最大是6厘米。()17．兩個數的公倍數肯定是這兩個數的公因數的倍數。()18．兩個數的公倍數的個數肯定多于這兩個數的公因數的個數。()：培優提升練四、計算題19．求下列各數的最大公因數和最小公倍數。18和24

8和9

65和13五、解答題20．2023年4月8日郟縣姚莊櫻花節半程馬拉松賽在姚莊鄉開賽。右下圖是賽道的一部分，賽道在B處拐彎，依據賽會要求需要在路的一邊支配志愿者，志愿者之間的距離必需相等，而且ABC三處必需支配志愿者。這段賽道至少要支配多少名志愿者？請先算一算，并用“●”表示出志愿者的大致位置。

21．體育老師買來60瓶可樂和72瓶礦泉水，把它們分別平均分給了幾個訓練小組，正好全部分完。請你算一算最多有幾個訓練小組？每個小組分得兩種飲料各多少瓶？22．“六一”兒童節期間，李老師要將一根長24分米的黃彩帶和一根長42分米的紅彩帶，剪成同樣長的整分米數的短彩帶，且沒有剩余。（1）每根短彩帶最長是多少分米？（2）一共可以剪成幾根這樣的短彩帶？23．把一張長18厘米、寬12厘米的長方形紙裁剪成大小相同的正方形，要求正方形盡可能大且紙沒有剩余。一共可以剪多少個這樣的正方形？24．兩根電線，第一根長56米，其次根長48米，要把它們剪成同樣長的小段，而且不能有剩余，每小段最長是多少米？一共能剪成幾段？25．五（4）班同學為慶?！傲弧眱和潱枰貌蕩аb飾花籃。假如把下邊的兩根彩帶剪成同樣長的短彩帶且沒有剩余，每根短彩帶最長是多少厘米？一共可以剪成這樣的短彩帶多少根？

1．C分析：先確定一個數，依次寫出選出2個數的全部狀況，如圖，找到全部的搭配結果，再確定公因數只有1的有幾組即可。詳解：4和5、4和7、4和8、5和7、5和8、7和84和5的公因數只有1；4和7的公因數只有1；4和8的公因數除了1還有2、4；5和7的公因數只有1；5和8的公因數只有1；7和8的公因數只有1。能組成5組公因數只有1的數。故答案為：C2．B分析：運用1420除以40得到的商與余數是不是35和2，由此進行推斷即可。②依據因數、倍數的意義，假如a÷b＝8（a，b都是不為0的自然數），a叫做b的倍數，b叫做a的因數，a和b的最大公因數是b；據此推斷；6個相同的小正方體擺兩層，下行層擺4個，分兩行，每行2個，從上面看4個正方體的面積呈“田”字，再把另外兩個放在“田”字的兩個對角上，這樣不論從前面、右面、上面看到的外形都是相同的，即4個正方形，呈“田”字；據此推斷。詳解：1420÷40＝35……20，所以題干的說法是錯誤的。②a÷b＝8（a、b是不為0的自然數），可知a和b是倍數關系，所以a和b的最大公因數是b，最小公倍數的a，a和b的最大公因數是b，所以原題說法正確；如圖用6個同樣大小的正方體可以擺成如圖的外形，從前面、右面和上面看到的圖形完全相同的外形都是4個正方形，呈“田”字；原題說法正確；綜上所述，這三個說法中正確的有2個；故答案為：B點睛：此題主要考查的學問點比較多，依據各自的意義和解答方法解答即可。3．B分析：求每個正方形邊長最大，就是求12和8的最大公因數；依據求最大公因數的方法：兩個數的公有質因數的連乘積就是這兩個數的最大公因數，據此解答。詳解：12＝2×2×38＝2×2×212和8的最大公因數是2×2＝4正方形邊長最大是4厘米。把一張長12厘米、寬8厘米的長方形紙，剪成同樣大小的正方形，最終沒有剩余。每個正方形的邊長最大是4厘米。故答案為：B點睛：嫻熟把握求兩個數最大公因數的方法是解答本題的關鍵。4．C分析：用邊長12厘米的正方形畫紙鋪長方形桌面，正好能鋪滿且沒有鋪張，那么正方形邊長12厘米是長方形長和寬的公因數，據此解答。詳解：A．108和80的最大公因數是4，12不是108和80的公因數，不符合題意；B．90和60的最大公因數是30，30的因數有1、2、3、5、6、10、15、30，12不是90和60的公因數，不符合題意；C．120和72的最大公因數是24，24是12的倍數，所以12是120和72的公因數，符合題意；D．90和72的最大公因數是18，18的因數有1、2、3、6、9、18，12不是90和72的公因數，不符合題意。故答案為：C點睛：解答本題的關鍵是理解要使正方形畫紙正好能鋪滿且沒有鋪張，也就是正方形畫紙的邊長是長方形桌面長和寬的公因數，據此作出推斷。5．D分析：先把臥房的長和寬單位化成分米，再找出長和寬的公因數，即方磚的邊長，然后從其中找出與選項相符的即可。詳解：5.6米＝56分米4.8米＝48分米56＝2×2×2×748＝2×2×2×2×356和48的公因數：2，4，8。小明的臥房長5.6米、寬4.8米，選用邊長8分米的正方形磚鋪地不需要切割。故答案為：D點睛：本題主要考查怎么求兩個數的公因數，因此把握求兩個數的公因數的方法是解答本題的關鍵。6．B分析：求最少要種多少棵樹，就是先求這兩個樹之間的距離，也就是求兩個數的最大公因數，求兩個數最大公因數的方法：兩個數的公有質因數的連乘積；據此求出120和48的最大公因數；要在它的四周和四角種樹，封閉圖形種樹相當于一端植樹，一端不植樹，即間距數＝棵數；用長方形的周長÷兩棵樹的間距，據此解答。詳解：120＝2×2×2×3×548＝2×2×2×2×3120和48的最大公因數是2×2×2×3＝24兩棵樹的間距是24米。（120＋48）×2÷24＝168×2÷24＝336÷24＝14（棵）有一塊長方形地，長120米，寬48米，要在它的四周和四角種樹，每相鄰兩棵樹之間的距離相等，最少要種14棵樹。故答案為：B點睛：本題考查求兩個數的最大公因數方法以及植樹問題，把握植樹問題的幾種狀況是解題的關鍵。7．C分析：依據題意，要把兩根木棒截成同樣長的小段，截的小棒盡可能長，且都沒有剩余，則小棒的長度是24和32的最大公因數，求出最大公因數后，再分別用24和32除以這個最大公因數，求出每根木棒截成的段數，最終把段數加起來即可。把兩個數分解質因數，全部共有的質因數（公有質因數）相乘的積就是這兩個數的最大公因數。詳解：24＝2×2×2×332＝2×2×2×2×224和32的最大公因數是2×2×2＝8，則每段長8cm。24÷8＋32÷8＝3＋4＝7（段）則一共可以截成7段。故答案為：C點睛：本題考查最大公因數的應用。明確最長小棒的長度是24和32的最大公因數是解題的關鍵。8．(1)6242025較小數(2)11111分析：（1）用質因數分解法求兩個數的最大公因數時，先把這兩個數分解質因數，則全部共有的質因數（公有質因數）相乘的積就是這兩個數的最大公因數。這幾組數中，較小數是較大數的因數，那么它們的最大公因數是其中的那個較小數。（2）兩個數公有的因數叫這兩個數的公因數，其中最大的一個即是它們的最大公因數。這幾組數是互質數，它們的最大公因數是1。詳解：（1）6＝2×330＝2×3×5則6和30的最大公因數是2×3＝6；48＝2×2×2×2×324＝2×2×2×3則48和24的最大公因數是2×2×2×3＝24；20＝2×2×560＝2×2×3×5

則20和60的最大公因數是2×2×5＝20；25＝5×575＝3×5×5

則25和75的最大公因數是5×5＝25。通過觀看可以發覺：較小數是較大數的因數時，它們的最大公因數是較小數。（2）7的因數有：1、7；9的因數有：1、3、9；則7和9的最大公因數是1。12的因數有：1、2、3、4、6、12；13的因數有：1、13；則12和13的最大公因數是1。31的因數有：1、31；46的因數有：1、2、23、46；則31和46的最大公因數是1。25的因數有：1、5、25；16的因數有：1、2、4、8、16；

則25和16的最大公因數是1。通過分析可得：兩個數只有公因數1時，它們的最大公因數是1。9．1、21、31、2、5、101、2、4、8、16分析：一個數的因數的個數是有限的，最小的是1，最大的是它本身．兩個數公有的因數，叫做這兩個數的公因數，其中最大的一個就是這兩個數的最大公因數，由此解答。詳解：4＝2×26＝2×34和6的公因數有1、2。9＝1×9＝3×312＝1×12＝2×6＝3×49和12的公因數有：1、3。50＝1×50＝2×25＝5×1060＝1×60＝2×30＝3×20＝4×15＝5×12＝6×1050和60的公因數有：1、2、5、10。64＝1×64＝2×32＝4×16＝8×880＝1×80＝2×40＝4×40＝5×16＝8×1064和80的公因數有：1、2、4、8、16。10．填表見詳解（1）1、2、3、6（2）6；最大公因數分析：可以用列乘法算式找因數，依據從小到大的挨次，一組一組地寫出全部積是24和54的乘法算式，乘法算式中的兩個因數就是24和54的因數。（1）依據24和54各自的因數，從中找出24和54公有的因數，即它們的公因數。（2）由（1）可得出24和54的公因數中最大的數，這個數就是24和54的最大公因數。詳解：24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×654＝1×54＝2×27＝3×18＝6×9填表如下：24的因數：1、2、3、4、6、8、12、2454的因數：1、2、3、6、9、18、27、54（1）既是24的因數，又是54的因數的有1、2、3、6，這些因數是24和54的公因數。（2）24和54的公因數中最大的是6，這個數是24和54的最大公因數。11．aabc分析：兩個數的全部公有質因數相乘的積就是這兩個數的最大公因數；兩個數的全部公有的質因數和各自獨有的質因數連乘的積就是這兩個數的最小公倍數，據此解答。詳解：甲數＝a×b，乙數＝a×c，所以甲乙兩數的公有質因數是a，甲數獨有的質因數是b，乙數獨有的質因數是c，所以甲、乙兩數的最大公因數是a，最小公倍數是abc。12．46分析：首先依據同時是3和4的倍數的特征，個位上必需是偶數，且個位和十位上的數字之和是3的倍數，由此確定個位上是幾，再依據求兩個數的最大公因數的方法解答。詳解：依據同時是3和4的倍數的特征，個位上必需是偶數，且個位和十位上的數字之和是3的倍數，由此確定個位上是4；24＝2×2×2×318＝2×3×3所以24和18的最大公因數是2×3＝6。13．×分析：依據互質數的特征可知，13和17是互質數，它們的公因數只有1，不是沒有公因數；除0外，任意兩個自然數都有很多個公倍數，據此推斷。詳解：13的因數：1，13。17的因數：1，17。13和17的公因數只有1，而不是沒有公因數，所以原題說法錯誤；故答案為：×14．×分析：最大公因數是兩個數的公有的質因數的乘積，最小公倍數是兩個數公有的質因數和各自獨有的質因數的乘積，據此可設這兩個數分別是4x，4y，x和y互質，且4xy＝12，據此求出xy的積，進而推出x和y的值，最終推出這兩個數。據此解答。詳解：設這兩個數分別是4x，4y，4xy＝12解：4xy÷4＝12÷4xy＝33＝1×31×4＝43×4＝12兩個數的最大公因數是4，最小公倍數是12，這兩個數是4和12。原題干說法錯誤。故答案為：×點睛：本題考查了最大公因數和最小公倍數的生疏和應用。15．√分析：求兩個數的最大公因數假如兩個數互質，則這兩個數的最大公因數是1；假如兩個數是倍數關系，則這兩個數的最大公因數是其中較小的數；假如兩個數既不互質，也不是倍數關系，則先把兩個數分別分解質因數，這兩個數的最大公因數是兩個數的公有的質因數的乘積；據此解答。詳解：由于3a＝bb是a的3倍，所以b和a是倍數關系，則它們的最大公因數是其中較小的數，也就是a。原題干說法正確。故答案為：√點睛：本題考查了求最大公因數的方法。16．√分析：依據題意，裁出的正方形邊長最大是18和12的最大公因數。據此解題。詳解：18＝2×3×312＝3×2×22×3＝6所以，裁出的正方形邊長最大是6厘米。故答案為：√點睛：本題考查了最大公因數。求最大公因數時，先將兩個數分解質因數，再將兩數共有的質因數相乘即可。17．√分析：依據公因數和最小公倍數的意義可知，兩個數的公有的因數，叫做兩個數的公因數，最小公倍數是兩個數公有的質因數和各自獨有的質因數的乘積，可以舉例證明。詳解：最小公倍數是兩個數公有的質因數和各自獨有的質因數的乘積，例如：4的因數有1、2、4；6的因數有：1、2、3、6；4和6的公因數有1和2。4＝2×2，6＝2×3，4和6的最小公倍數是2×2×3＝12。由以上可知：12是l和2的倍數。所以兩個數的公倍數肯定是這兩個數的公因數的倍數的說法是正確的。故答案為：√點睛：本題主要考查最大公因數和最小公倍數的意義。18．√分析：兩個數公有因數叫做這兩個數的公因數；兩個數公有倍數叫做這兩個數的公倍數；兩個數的公倍數的個數是無限的，兩個數的公因數的個數是有限的；據此解答。詳解：例如：2和62和6的公因數有：1，2；2和6的公倍數有：6，12，18，24…2和6的公倍數有很多個，而它們的公因數只有2個，所以兩個數的公倍數的個數肯定多于這兩個數的公因數的個數。原題說法正確。故答案為：√點睛：把握公因數、公倍數的定義以及特點是解題的關鍵。19．（1）最大公因數6，最小公倍數72；（2）最大公因數1，最小公倍數72；（3）最大公因數13，最小公倍數65分析：用質因數分解法可以求兩個數的最大公因數和最小公倍數。全部共有的質因數（公有質因數）相乘的積就是這兩個數的最大公因數；全部公有的質因數和各自獨立的質因數，它們連乘的積就是這兩個數的最小公倍數。成倍數關系的兩個數，其中的較小數就是它們的最大公因數，較大數就是它們的最小公倍數；假如兩個數是互質數，則它們的最大公因數是1，最小公倍數是它們的乘積。詳解：（1）18＝2×3×324＝2×2×2×3則18和24的最大公因數是2×3＝6，最小公倍數是2×3×3×2×2＝72。（2）8和9是互質數，則它們的最大公因數是1，最小公倍數是8×9＝72。（3）65是13的倍數，則65和13的最大公因數是13，最小公倍數是65。20．8名；見詳解分析：依據題意可知，AB長120米，BC長90米，在路的一邊支配志愿者，志愿者之間的距離必需相等，求出每相鄰的兩個志愿者之間的距離最長是多少米，就是求120和90的最大公因數，最大公因數是兩個數的公有的質因數的乘積，也就是30米，然后用（120＋90）÷30求出志愿者之間的總間隔數，由于ABC三處必需支配志愿者所以總間隔數＋1即可求出至少要支配多少名志愿者。詳解：120＝2×2×2×3×590＝2×3×3×5120和90的最大公因數是2×3×5＝30（120＋90）÷30＝210÷30＝7（名）7＋1＝8（名）答：這段賽道至少要支配8名志愿者。如圖：

點睛：本題主要考查了求最大公因數的方法，嫻熟把握相應的方法是解答本題的關鍵。21．訓練小組：12個；可樂：5瓶；礦泉水：6瓶分析：求出60和72的最大公因數，即為有幾個訓練小組；分別用可樂和礦泉水的瓶數除以最大公因數，即可求出兩種飲料各多少瓶。詳解：60＝2×2×3×572＝2×2×2×3×360和72的最大公因數是2×2×3＝12。60÷12＝5（瓶）72÷12＝6（瓶）答：最多有12個訓練小組；每個小組分得可樂5瓶；礦泉水6瓶。點睛：兩個數的最大公因數是兩個數的公