PAGE6距離的計算授課提示：對應學生用書第27頁一、點到直線的距離1．定義：點A是直線l外肯定點．作AA′⊥l，垂足為A′，則點A到直線l的距離d等于線段AA′的長度．2．求法設l是過點P平行于向量s的直線，A是直線l外肯定點，則點A到直線l的距離d＝eq\r(\o(\s\up7(),\s\do5(|\o(PA,\s\up6(→))|2－|\o(PA,\s\up6(→))·s0|2)))，其中s0＝eq\f(s,|s|).二、點到平面的距離1．定義：A是平面π外肯定點，作AA′⊥π，垂足為A′，則點A到平面π的距離d等于線段AA′的長度．2．求法設π是過點P垂直于向量n的平面，A是平面π外肯定點，則點A到平面π的距離d＝|eq\o(PA,\s\up6(→))·n0|，其中n0＝eq\f(n,|n|).3．求出法向量與斜線段向量的數量積的肯定值再除以法向量的模，即可求出點到平面的距離．由于eq\f(n,|n|)＝n0可以視為平面的單位法向量，所以點到平面的距離實質就是平面的單位法向量與從該點動身的斜線段向量的數量積的肯定值，即d＝|eq\o(AB,\s\up6(→))·n0|.[疑難提示]如圖，點到平面的距離的求法BO⊥平面α，垂足為O，則點B到平面α的距離就是線段BO的長度．若AB是平面α的隨意一條斜線段，則在Rt△BOA中，|Beq\o(O,\s\up6(→))|＝|Beq\o(A,\s\up6(→))|cos∠ABO＝|Beq\o(A,\s\up6(→))|·eq\f(B\o(A,\s\up6(→))·B\o(O,\s\up6(→)),|B\o(A,\s\up6(→))|·|B\o(O,\s\up6(→))|)＝eq\f(|B\o(A,\s\up6(→))·B\o(O,\s\up6(→))|,|B\o(O,\s\up6(→))|).假如令平面α的法向量為n，考慮到法向量的方向，可以得到B點到平面α的距離為|Beq\o(O,\s\up6(→))|＝eq\f(|A\o(B,\s\up6(→))·n|,|n|).因此要求一個點到平面的距離，可以分以下幾步完成：(1)求出該平面的一個法向量；(2)找出從該點動身的平面的任一條斜線段對應的向量．[想一想]1．如何求線面距，面面距？提示：假如l∥α，求l到α的距離可以轉化為求直線l上一點P到平面α的距離，即由點到平面的距離來求；假如α∥β，求α與β之間的距離可以轉化為求平面α上隨意一點P到平面β的距離，即由點到平面的距離來求．[練一練]2．以下說法錯誤的是()A．兩平行平面之間的距離就是一個平面內隨意一點到另一個平面的距離B．點P到平面α的距離公式是d＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(PA,\s\up6(→))·\f(n,|n|)))，其中A為平面α內隨意一點，n為平面α的一個法向量C．點P到直線l的距離公式是d＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(PA,\s\up6(→))·\f(a,|a|)))，其中A為直線l上隨意一點，a為與直線l垂直的向量D．異面直線l1與l2，在l1上任取一點P，在l2上任取一點Q，則|eq\o(PQ,\s\up6(→))|的最小值就是l1與l2的距離解析：選項C中，只有當a與直線l及eq\o(PA,\s\up6(→))共面時，此公式才成立．答案：C授課提示：對應學生用書第27頁探究一求點到直線的距離[典例1]棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是棱C1C和D1A1的中點，求點A[解析]建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)．eq\o(EF,\s\up6(→))＝(1，－2,1)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(－1,0,2)，eq\o(AF,\s\up6(→))在eq\o(EF,\s\up6(→))上的投影為eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\f(\o(EF,\s\up6(→)),|\a\vs4\al(\o(EF,\s\up6(→)))|)＝eq\f(1,\r(6))，∴點A到直線EF的距離為d＝eq\r(\o(\s\up7(),\s\do5(|\o(AF,\s\up6(→))|2－|\o(AF,\s\up6(→))·\f(\o(EF,\s\up6(→)),|\o(EF,\s\up6(→))|))|2))＝eq\f(\r(174),6).求點到直線的距離的方法(1)幾何法：①找到P在直線l上的投影P′.②在某一個三角形中求線段PP′的長度．(2)向量法：①在直線l上任取一點P.②求直線l的方向向量s0.③d＝eq\r(\o(\s\up7(),\s\do5(|\o(PA,\s\up6(→))|2－|\o(PA,\s\up6(→))·s0|2)))，其中s0＝eq\f(s,|s|).1．已知棱長為1的正方體ABCD－EFGH，若點P在正方體內部且滿意eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AE,\s\up6(→))，則點P到AB的距離為()A.eq\f(5,6) B.eq\f(\r(181),12)C.eq\f(10\r(30),6) D.eq\f(\r(5),6)解析：建立如圖所示的空間直角坐標系，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)(1,0,0)＋eq\f(1,2)(0,1,0)＋eq\f(2,3)(0,0,1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(1,2)，\f(2,3))).又eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,0,0)，∴eq\o(AP,\s\up6(→))在eq\o(AB,\s\up6(→))上的投影為eq\f(\o(AP,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＝eq\f(3,4)，∴點P到AB的距離為eq\r(|\o(AP,\s\up6(→))|2－\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al(\f(\o(AP,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|))))2)＝eq\f(5,6).答案：A2.如圖，在空間直角坐標系中，有長方體ABCD-A′B′C′D′，AB＝2，BC＝3，AA′＝4，求點B到直線A′C的距離．解析：因為AB＝2，BC＝3，AA′＝4，所以B(2,0,0)，C(2,3,0)，A′(0,0,4)．eq\o(CA′,\s\up6(→))＝(0,0,4)－(2,3,0)＝(－2，－3，4)．eq\o(CB,\s\up6(→))＝(2,0,0)－(2,3,0)＝(0，－3,0)．所以eq\o(CB,\s\up6(→))在eq\o(CA′,\s\up6(→))上的投影為eq\o(CB,\s\up6(→))·eq\f(\o(CA′,\s\up6(→)),|\o(CA′,\s\up6(→))|)＝(0，－3,0)·eq\f(－2，－3，4,\r(－22＋－32＋42))＝(0，－3,0)·(eq\f(－2,\r(29))，eq\f(－3,\r(29))，eq\f(4,\r(29)))＝0×eq\f(－2,\r(29))＋(－3)×eq\f(－3,\r(29))＋0×eq\f(4,\r(29))＝eq\f(9,\r(29))，所以點B到直線A′C的距離為d＝eq\r(\o(\s\up7(),\s\do5(|\o(CB,\s\up6(→))|2－|\o(CB,\s\up6(→))·\f(\a\vs4\al(\o(CA′,\s\up6(→))),|\o(CA′,\s\up6(→))|))|2))＝eq\r(32－\f(9,\r(29))2)＝eq\f(6\r(145),29).探究二求點到平面的距離[典例2]如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，∠ABC＝eq\f(π,4).OA⊥底面ABCD，OA＝2，M為OA的中點．(1)求異面直線AB與MD夾角的大小；(2)求點B到平面OCD的距離．[解析]作AP⊥CD于點P.如圖，以A為坐標原點，分別以AB，AP，AO所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系．則A(0,0,0)，B(1,0,0)，P(0，eq\f(\r(2),2)，0)，D(－eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(2),2)，0)，O(0,0,2)，M(0,0,1)(1)設AB和MD的夾角為θ，∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,0,0)，eq\o(MD,\s\up6(→))＝(－eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(2),2)，－1)，∴cosθ＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·\o(MD,\s\up6(→))|,|\o(AB,\s\up6(→))|·|\o(MD,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,2).∴θ＝eq\f(π,3).∴異面直線AB與MD的夾角的大小為eq\f(π,3).(2)∵eq\o(OP,\s\up6(→))＝(0，eq\f(\r(2),2)，－2)，eq\o(OD,\s\up6(→))＝(－eq\f(\r(2),2)，eq\f(\r(2),2)，－2)，設平面OCD的法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(OP,\s\up6(→))＝0,n·\o(OD,\s\up6(→))＝0))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)y－2z＝0,－\f(\r(2),2)x＋\f(\r(2),2)y－2z＝0)).取z＝eq\r(2)，解得n＝(0,4，eq\r(2))，設點B到平面OCD的距離為d.∵eq\o(OB,\s\up6(→))＝(1,0，－2)，∴d＝eq\f(|\o(OB,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(2,3)，∴點B到平面OCD的距離為eq\f(2,3).用向量法求平面π外一點A到平面的距離的步驟：(1)計算平面π的法向量n及n0；(2)在平面π上找一點P，計算eq\o(PA,\s\up6(→))；(3)由公式計算d＝|eq\o(PA,\s\up6(→))·n0|.利用這種方法求點到平面的距離，不必作出垂線段，只需求出垂線段對應的向量和平面的法向量，代入公式求解即可．3．如圖，已知正方形ABCD的邊長為1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分別為AB，BC的中點．(1)求點D到平面PEF的距離；(2)求直線AC到平面PEF的距離．解析：(1)以D為坐標原點，DA，DC，DP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖所示．則D(0,0,0)，P(0,0,1)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，0))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，0))，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)，0))，eq\o(PE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，－1))，eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)，0))，設平面PEF的法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(EF,\s\up6(→))＝0,n·\o(PE,\s\up6(→))＝0))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)x＋\f(1,2)y＝0,x＋\f(1,2)y－z＝0)).令x＝2，則y＝2，z＝3，所以n＝(2,2,3)為平面PEF的一個法向量，所以點D到平面PEF的距離為eq\f(|\o(DE,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(|2＋1|,\r(4＋4＋9))＝eq\f(3\r(17),17).(2)由(1)，知A(1,0,0)，所以eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，0)).點A到平面PEF的距離為eq\f(|\o(AE,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(1,\r(17))＝eq\f(\r(17),17).因為AC∥平面PEF，所以直線AC到平面PEF的距離為eq\f(\r(17),17).4.如圖，已知△ABC是以∠ABC為直角的直角三角形，SA⊥平面ABC，SA＝BC＝2，AB＝4，M，N，D分別是SC，AB，BC的中點，求A到平面SND的距離．解析：建立如圖所示的空間直角坐標系，則N(0,2,0)，S(0，0,2)，D(－1,4,0)，∴eq\o(NS,\s\up6(→))＝(0，－2,2)，eq\o(SD,\s\up6(→))＝(－1,4，－2)．設平面SND的法向量為n＝(x，y,1)．∴n·eq\o(NS,\s\up6(→))＝0，n·eq\o(SD,\s\up6(→))＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2y＋2＝0，,－x＋4y－2＝0.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2,y＝1，))∴n＝(2,1,1)．∵eq\o(AS,\s\up6(→))＝(0,0,2)．∴A到平面SND的距離為eq\f(|n·\o(AS,\s\up6(→))|,|n|)＝eq\f(2,\r(6))＝eq\f(\r(6),3).探究三空間距離的向量解法eq\x(空間向量與空間距離)—eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(求幾何體中兩點間的距離),—\x(求異面直線間的距離),—\x(求直線到平面的距離),—\x(求兩平行平面間的距離)))5．如圖，已知二面角α-AB-β的平面角為120°，AC在α內，BD在β內，且AC⊥AB，BD⊥AB，AB＝AC＝BD＝a，則CD的長是()A．a B．2C．3a D．解析：因為eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))，所以|eq\o(CD,\s\up6(→))|2＝(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))·(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋|eq\o(BD,\s\up6(→))|2＋2(eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→)))＝a2＋a2＋a2＋2a2cos60°＝4a2，所以|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝2a，即CD＝2a.答案：B6．如圖，△BCD與△MCD都是邊長為2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2eq\r(3)，求點A到平面MBC的距離．解析：如圖，取CD的中點O，連接OB，OM.因為△BCD與△MCD均為正三角形，所以OB⊥CD，OM⊥CD.又平面MCD⊥平面BCD，所以MO⊥平面BCD.以O為坐標原點，直線OC，BO，OM分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系O－xyz.因為△BCD與△MCD都是邊長為2的正三角形，所以OB＝OM＝eq\r(3)，則C(1,0,0)，M(0,0，eq\r(3))，B(0，－eq\r(3)，0)，A(0，－eq\r(3)，2eq\r(3))，所以eq\o(BC,\s\up6(→))＝(1，eq\r(3)，0)，eq\o(BM,\s\up6(→))＝(0，eq\r(3)，eq\r(3))．設平面MBC的法向量為n＝(x，y，z)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n⊥\o(BC,\s\up6(→)),n⊥\o(BM,\s\up6(→))))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(BC,\s\up6(→))＝0,n·\o(BM,\s\up6(→))＝0))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\r(3)y＝0,\r(3)y＋\r(3)z＝0))，取x＝eq\r(3)，可得平面MBC的一個法向量為n＝(eq\r(3)，－1,1)．又eq\o(BA,\s\up6(→))＝(0,0,2eq\r(3))，所以點A到平面MBC的距離為eq\f(|\o(BA,\s\up6(→))·n|,|n|)＝eq\f(2\r(15),5).7．在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面為直角梯形，AB∥CD且∠ADC＝90°，AD＝1，CD＝eq\r(3)，BC＝2，AA1＝2，E是C1C的中點．求A1B1與平面ABE的距離．解析：如圖所示，以D為原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則A1(1,0,2)，A(1,0,0)，E(0，eq\r(3)，1)，C(0，eq\r(3)，0)，過C作AB的垂線交AB于F，易得BF＝eq\r(3)，∴B(1,2eq\r(3)，0)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝(0,2eq\r(3)，0)，eq\o(BE,\s\up6(→))＝(－1，－eq\r(3)，1)．設平面ABE的法向量為n＝(x，y，z)，則由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up6(→))＝0，,n·\o(BE,\s\up6(→))＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2\r(3)y＝0，,－x－\r(3)y＋z＝0，))∴y＝0，x＝z，不妨取n＝(1,0,1)．∵