專題1.3絕對值的綜合思想方法思想方法數形結合思想：所謂數形結合，就是根據數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的思想，實現數形結合。分類討論思想：當問題所給的對象不能進行統一研究時，我們就需要對研究對象進行分類，然后對每一類分別進行研究，得出每一類的結論，最后綜合各類的結果，得到整個問題的解答。分類討論的分類并非是隨心所欲的，而是要遵循以下基本原則：1.不重（互斥性）不漏（完備性）；2.按同一標準劃分（同一性）；3.逐級分類（逐級性）。知識點總結知識點總結一、絕對值1．定義：一般地，數軸上表示數的點與原點的距離叫做數的絕對值，記作a．2．性質：一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0．3．化簡：①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么．4．非負性：根據絕對值的非負性“若幾個非負數的和為0，則每一個非負數必為0”，即若a+b=0，則a典例分析典例分析【典例1】請利用絕對值的性質，解決下面問題：（1）已知a，b是有理數，當a>0時，則aa=；當b<0時，則bb（2）已知a，b，c是有理數，a+b+c=0，abc<0（3）已知a，b，c是有理數，當abc≠0時，求aa+【思路點撥】本題考查了絕對值的意義、分類討論的思想方法：（1）直接根據絕對值的性質求解即可；（2）a+b+c=0，abc<0可知三個數中必需有兩個正數，一個負數，可設a>0，b>0，（3）分a，b，c三個有理數都為正數或其中一個為正數，另兩個為負數或兩個正數，一個負數或三個都為負數四種情況討論即可．【解題過程】（1）解：∵a>0，∴a|a|∵b<0，∴b=?b∴b|b|故答案為：1，?1；（2）解：∵a+b+c=0，∴三個數中必需有兩個正數，一個負數，可設a>0∴a=?(b+c)，b=?(a+c)，c=?(a+b)，∴原式=?a（3）解：由題意得：a，b，c三個有理數都為正數或其中一個為正數，另兩個為負數或兩個正數，一個負數或三個都為負數．①當a，b，c都是正數，即a>0，則：aa②當a，b，c有一個為正數，另兩個為負數時，設a>0，則：aa③當a，b，c有兩個為正數，一個為負數時，設a>0，則：a=1+1?1=1；④當a，b，c三個數都為負數時，則：a=?1?1?1=?3；綜上所述：aa+bb+學霸必刷學霸必刷1．（23-24七年級上·江蘇揚州·階段練習）p、q、r、s在數軸上的位置如圖所示，若p?r=10，p?s=12，q?s=9，則q?r等于（A．7 B．9 C．11 D．132．（23-24七年級上·福建莆田·階段練習）已知a與4互為相反數，b的絕對值是最小的正整數，已知m+a+b?n=0，則m+nA．3 B．4 C．5或-5 D．3或53．（2024七年級·全國·競賽）使a+3=a+3A．a為任意數 B．a≠0 C．a≤0 D．a≥04．（23-24七年級上·江西撫州·期末）適合|a+5|+|a?3|=8的整數a的值有（

）A．5個 B．7個 C．8個 D．9個5．（2024七年級上·江蘇·專題練習）若a、b、c均為整數，且|a?b|+|c?a|=1，則|a?c|+|c?b|+|b?a|的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．46．（22-23七年級上·重慶江北·階段練習）已知有理數a，c，若a?2=18，且3a?c=A．﹣6 B．2 C．8 D．97．（23-24七年級上·湖北武漢·期中）在多項式x?y?z?m?n（其中x>y>z>m>n）中，對相鄰的兩個字母間任意添加絕對值符號，添加絕對值符號后仍只有減法運算，然后進行去絕對值運算，稱此為“絕對操作”例如x?y?|z?m|?n=x?y?z+m?n，x?y?z?m?n=x?y?z?m+nA．7 B．6 C．5 D．48．（23-24七年級上·廣東東莞·階段練習）如圖，已知數軸上點A、B、C所對應的數a、b、c都不為0，且C是AB的中點，如果a+b?a?2c+b?2c?

A．A的左邊 B．A與C之間 C．C與B之間 D．B的右邊9．（2024七年級·全國·競賽）a、b、c、d為互不相等的有理數，且c最小，a最大，若a?c?b?c+b?d=10．（23-24七年級上·四川南充·階段練習）已知m?6+n+4=6?m，那么11．（23-24七年級上·江蘇泰州·階段練習）在a，b，c，d，e，f，g，?中，每個字母的值恰好是?3，0，1這三個數值中的一個，若a+b+c+d+e+f+g+?=?2，則a+b12．（2024七年級·全國·競賽）已知a，b，c都為整數，且a?b2012+c?a2013=113．（2024七年級·全國·競賽）若關于m的方2m+5?b=5有三個不同的解，則有理數b=14．（23-24七年級上·重慶沙坪壩·階段練習）已知(x+1+|x?2)(y?2+y+1)(15．（23-24七年級上·湖南邵陽·期末）規定：fx=x?3，gy=y+2，例如f?216．（23-24七年級上·浙江寧波·開學考試）a、b、c都是質數，且滿足a+b+c+abc=99，則1a?17．（22-23七年級上·江蘇南京·階段練習）若x+2+x?1+x?2=618．（23-24七年級上·四川達州·期中）若a、b、c是整數，且a+b+b+c=1，則19．（22-23七年級上·浙江麗水·期中）已知：m=a+bc+2b+ca+3c+ab，且abc>0，a+b+c=0，則m20．（22-23七年級上·浙江溫州·階段練習）式子x?1+2x?2+321．（23-24七年級上·吉林長春·期末）“數形結合”是一種非常重要的數學思想，它可以把抽象的數量關系與直觀的幾何圖形結合起來解決問題．探究：方程x?1=2方法一、當x?1>0時，x?1=x?1=2當x?1≤0時，x?1=___________=2方法二、x?1=2的意義是數軸上表示x上述兩種方法，都可以求得方程x?1=2應用：根據探究中的方法，求得方程x?1+拓展：方程x?1?22．（23-24七年級上·江蘇鎮江·期中）華羅庚先生說；“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事休”．【知識儲備】點M、N在數軸上分別表示有理數m、n，則M、N兩點之間的距離可表示為|m?n|．【初步運用】（1）數軸上表示3與?4的兩點之間的距離為______；（2）已知數軸上某個點表示的數為x．①若|x?1|=2，則x=______；②若|x+3|=|x?5|，則x=______；【深入探究】（3）如圖，數軸上每相鄰兩點之間的距離為1個單位長度，點A、B、C表示的數分別為a、b、c．①|a?b|+|b?c|=______；②若|b?2a|=4，則點C表示的數為______；③若該數軸上另有兩個點P、Q，它們分別表示有理數p、q，其中點Q在線段AC上，當|p?a|+|p?c|=8且|q?a|+|q?b|+|q?c|最小時，P、Q兩點之間的距離為______．專題1.3絕對值的綜合思想方法思想方法數形結合思想：所謂數形結合，就是根據數與形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的思想，實現數形結合。分類討論思想：當問題所給的對象不能進行統一研究時，我們就需要對研究對象進行分類，然后對每一類分別進行研究，得出每一類的結論，最后綜合各類的結果，得到整個問題的解答。分類討論的分類并非是隨心所欲的，而是要遵循以下基本原則：1.不重（互斥性）不漏（完備性）；2.按同一標準劃分（同一性）；3.逐級分類（逐級性）。知識點總結知識點總結一、絕對值1．定義：一般地，數軸上表示數的點與原點的距離叫做數的絕對值，記作a．2．性質：一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0．3．化簡：①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么．4．非負性：根據絕對值的非負性“若幾個非負數的和為0，則每一個非負數必為0”，即若a+b=0，則a典例分析典例分析【典例1】請利用絕對值的性質，解決下面問題：（1）已知a，b是有理數，當a>0時，則aa=；當b<0時，則bb（2）已知a，b，c是有理數，a+b+c=0，abc<0（3）已知a，b，c是有理數，當abc≠0時，求aa+【思路點撥】本題考查了絕對值的意義、分類討論的思想方法：（1）直接根據絕對值的性質求解即可；（2）a+b+c=0，abc<0可知三個數中必需有兩個正數，一個負數，可設a>0，b>0，（3）分a，b，c三個有理數都為正數或其中一個為正數，另兩個為負數或兩個正數，一個負數或三個都為負數四種情況討論即可．【解題過程】（1）解：∵a>0，∴a|a|∵b<0，∴b=?b∴b|b|故答案為：1，?1；（2）解：∵a+b+c=0，∴三個數中必需有兩個正數，一個負數，可設a>0∴a=?(b+c)，b=?(a+c)，c=?(a+b)，∴原式=?a（3）解：由題意得：a，b，c三個有理數都為正數或其中一個為正數，另兩個為負數或兩個正數，一個負數或三個都為負數．①當a，b，c都是正數，即a>0，則：aa②當a，b，c有一個為正數，另兩個為負數時，設a>0，則：aa③當a，b，c有兩個為正數，一個為負數時，設a>0，則：a=1+1?1=1；④當a，b，c三個數都為負數時，則：a=?1?1?1=?3；綜上所述：aa+bb+學霸必刷學霸必刷1．（23-24七年級上·江蘇揚州·階段練習）p、q、r、s在數軸上的位置如圖所示，若p?r=10，p?s=12，q?s=9，則q?r等于（A．7 B．9 C．11 D．13【思路點撥】先根據數軸判斷p、q、r、s四個數的大小，再去絕對值得出等式，然后整體代入計算即可．【解題過程】解：由數軸可知：p<r,p<s,q<s,q<r,∵p?r=10，p?s=12，∴r?p=10，∴q?r=r?q=故選：C．2．（23-24七年級上·福建莆田·階段練習）已知a與4互為相反數，b的絕對值是最小的正整數，已知m+a+b?n=0，則m+nA．3 B．4 C．5或-5 D．3或5【思路點撥】先根據相反數的定義以及絕對值的定義求得a、b的值，再根據非負數的性質求得m、n的值，然后計算即可．掌握幾個非負數的和為零，則每個非負數均為零是解題的關鍵．【解題過程】解：∵a與4互為相反數，b的絕對值是最小的正整數，∴a=?4，∵m+a+∴m?4+1?n=0又∵m?4≥0，1?n≥0或m?4≥0∴m?4=0，1?n=0或∴m=4，n=1或∴m+n=4+1=5或m+n=4?1=3，∴m+n的值為3或5．故選：D．3．（2024七年級·全國·競賽）使a+3=a+3A．a為任意數 B．a≠0 C．a≤0 D．a≥0【思路點撥】分a≥0，?3＜a＜本題主要考查了含絕對值符號的等式．解決問題的關鍵是熟練掌握絕對值的化簡，分類討論．【解題過程】解：當a≥0時，a+3=a+3，a等式化為：a+3=a+3，成立；當?3＜a+3=a+3，a等式化為：a+3=?a+3，解得：a=0，不符合題意；當a≤?3時，a+3=?a?3，a等式化為：?a?3=?a+3，矛盾．故使a+3=a+3故選：D．4．（23-24七年級上·江西撫州·期末）適合|a+5|+|a?3|=8的整數a的值有（

）A．5個 B．7個 C．8個 D．9個【思路點撥】本題主要考查數軸，絕對值的幾何意義，此方程可理解為數軸上a到?5和3的距離的和，由此可得出a的值，進而可得出答案．【解題過程】解：∵a+5+∴|a+5|+|a?3|可理解為數軸上a到?5和3的距離的和，∵?5和3之間的距離為8，∴當?5≤a≤3時，均滿足|a+5|+|a?3|=8，∵a為整數，∴a可以為?5，?4，?3，?2，?1，0，1，2，3，共9個，故選D．5．（2024七年級上·江蘇·專題練習）若a、b、c均為整數，且|a?b|+|c?a|=1，則|a?c|+|c?b|+|b?a|的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【思路點撥】先根據a、b、c均為整數，且|a?b|+|c?a|=1，可得a?b=1，|c?a|=0或|a?b|=0，|c?a|=1，然后分兩種情況分別求出|a?c|+|c?b|+|b?a|【解題過程】解：∵a，b，c均為整數，且|a?b|+|c?a|=1，∴a?b=1，|c?a|=0或|a?b|=0，①當a?b=1，|c?a|=0時，c=a，a=b±1∴a?c+②當|a?b|=0，|c?a|=1時，a=b，∴a?c+綜上，|a?c|+|c?b|+|b?a|的值為2．故選：B．6．（22-23七年級上·重慶江北·階段練習）已知有理數a，c，若a?2=18，且3a?c=A．﹣6 B．2 C．8 D．9【思路點撥】根據絕對值的代數意義對a?2=18進行化簡，a?2=18或a?2=?18，解得a=20或a=?16有兩個解，分兩種情況再對3a?c=c進行化簡，繼而有兩個不同的絕對值等式，320?c=c【解題過程】解：∵a?2=18∴a?2=18或a?2=?18，∴a=20或a=?16，當a=20時，3a?c=c等價于3∴60?3c=c或60?3c=?c，∴c=15或c=30；當a=?16時，3a?c=c等價于3∴?48?3c=c或?48?3c=?c，∴c=?12或c=?24，故c=15或c=30或c=?12或c=?24，∴所有滿足條件的數c的和為：15+30+(?12)+(?24)=9．故答案為：D7．（23-24七年級上·湖北武漢·期中）在多項式x?y?z?m?n（其中x>y>z>m>n）中，對相鄰的兩個字母間任意添加絕對值符號，添加絕對值符號后仍只有減法運算，然后進行去絕對值運算，稱此為“絕對操作”例如x?y?|z?m|?n=x?y?z+m?n，x?y?z?m?n=x?y?z?m+nA．7 B．6 C．5 D．4【思路點撥】根據給定的定義對絕對操作分析添加一個和兩個絕對值的情況，并將結果進行比較排除相等的結果，匯總得出結果，理解題意，熟練掌握絕對值的化簡是解題關鍵．【解題過程】解：當添加一個絕對值時，共有4種情況，分別是x?y?z?m?n=x?y?z?m?nx?y?zx?y?|z?m|?n=x?y?z+m?n；x?y?z?m?n當添加兩個絕對值時，共有3種情況，分別是x?y?z?m?n=x?y?z+m?nx?y?z共有7種情況；故選：C．8．（23-24七年級上·廣東東莞·階段練習）如圖，已知數軸上點A、B、C所對應的數a、b、c都不為0，且C是AB的中點，如果a+b?a?2c+b?2c?

A．A的左邊 B．A與C之間 C．C與B之間 D．B的右邊【思路點撥】可得a+b=2c，從而可得a+b?a?2c+b?2c?a+b?2c=a+b【解題過程】解：∵C是AB的中點，∴a+b=2c，∴a+b===a+bA．在A的左邊，∴a>0，b>0，a+b>0，a+b=a+b?b+a=2a≠0，故此項不符合題意；B．在A與C之間時，∴a<0，b>0，a+b>0，a+b=a+b?b?a=0，故此項符合題意；C．在C與B之間時，∴a<0，b>0，a+b<0，a+b=?a?b?b?a=?2a?2b≠0，故此項不符合題意；D．在B的右邊時，∴a<0，b<0，a+b<0，a+b=?a?b+b?a=?2a≠0，故此項不符合題意；故選：B．9．（2024七年級·全國·競賽）a、b、c、d為互不相等的有理數，且c最小，a最大，若a?c?b?c+b?d=【思路點撥】本題考查了有理數的大小比較，熟練掌握有理數比較大小法則是解題的關鍵；作差法比較大小時，先求出兩個代數式的差，然后通過判斷差與0的大小關系來確定原代數式的大小關系．【解題過程】解：∵a、b、c、d為互不相等的有理數，且c最小，a最大，∴a?c>0、b?c>0、a?d>0，∴a?c?a?c?即b?d∴b?d>0，即d<b∴從小到大排列順序為c<d<b<a，故答案為：c<d<b<a10．（23-24七年級上·四川南充·階段練習）已知m?6+n+4=6?m，那么【思路點撥】本題考查了絕對值的意義和代數式求值，根據絕對值的意義進行討論得出m，n得值，代入即可求解，解題的關鍵是正確理解絕對值的意義．【解題過程】解：由m?6+∵m?6≥0，n+4∴6?m≥0，即m≤6，要使m?6+則6?m=0，n+4=0，解得：m=6，n=?4，∴m?10?故答案為：3．11．（23-24七年級上·江蘇泰州·階段練習）在a，b，c，d，e，f，g，?中，每個字母的值恰好是?3，0，1這三個數值中的一個，若a+b+c+d+e+f+g+?=?2，則a+b【思路點撥】本題主要考查了有理數的混合運算，解題關鍵是分析判斷5個字母的值的和為0時，這5個字母可能是什么數．根據已知條件a,b,c,d,e,f,g,?中，每個字母的值恰好是?3，0，1這三個數值中的一個，a+b+c+d+e+f+g+?=?2，求出其中5個字母的值的和為0，進行推導即可．【解題過程】解：∵a,b,c,d,e,f,g,?中，每個字母的值恰好是?3，0，1這三個數值中的一個，a+b+c+d+e+f+g+?=?2，?3+0+1=?2，∴有3個字母的值分別為?3，0，1，另5個字母的值的和為0，∴這5個字母的值分別為：0，0，0，0，0或1，1，1，?3，0，∴這8個字母的值分別為?3，0，1，1，1，1，?3，0或?3，0，1，0，0，0，0，0，a+=3+1+1+1+1+3，=10；或a=3+1，=4；故答案為：10或4．12．（2024七年級·全國·競賽）已知a，b，c都為整數，且a?b2012+c?a2013=1【思路點撥】本題考查了絕對值的性質，代數式求值，絕對值方程，根據題意得到a?b=0，c?a=1或a?b=1，c?a=0，分了討論【解題過程】解：由題意，a?b=0，c?a=1或a?b=1當a?b=0，c?a=1時，則∴b?c=?1，即b?c∴a?b+當a?b=1，c?a=0時，則∴b?c=±1，即b?c=1∴a?b+∴x=x+2解得x=?113．（2024七年級·全國·競賽）若關于m的方2m+5?b=5有三個不同的解，則有理數b=【思路點撥】本題考查了絕對值的性質和解絕對值方程等知識，根據絕對值的性質得2m+5?b=±5，再根據絕對值性質可得2m+5=5+b或【解題過程】解：∵2m+5∴2m+5?b=±5∴2m+5=5+b或2m+5當?5+b<0時，即b<5時，方程2m+5=?5+b無解，此時方程2m+5當?5+b=0時，即b=5時，方程2m+5=?5+b有一個解，此時方程2m+5=5+b有兩個不同的解，即此時方程當?5+b>0時，即b>5時，方程2m+5=?5+b有兩個不同的解，此時方程2m+5=5+b有兩個不同的解，即方程綜上所述，b=5，故答案為：5．14．（23-24七年級上·重慶沙坪壩·階段練習）已知(x+1+|x?2)(y?2+y+1)(【思路點撥】x+1+x?2表示數軸上表示x的點到表示?1和2的兩個點的距離之和，得x+1+x?2≥3．同理，y?2+y+1≥3，z?3+【解題過程】解：x+1+x?2表示數軸上表示x的點到表示∴x+1+同理，y?2+y+1≥3而(x+1∴x+1+x?2=3，y?2∴?1≤x≤2,?1≤y≤2,?1≤z<3．∴?6≤x+2y+3z≤15．故答案為：15，?615．（23-24七年級上·湖南邵陽·期末）規定：fx=x?3，gy=y+2，例如f?2【思路點撥】本題考查求代數式的最值問題及絕對值的幾何意義，根據題意將fx?3和g【解題過程】解：∵fx=∴fx?3∵x?6+x+4可以看作數軸上表示數x的點與表示數6和①當x位于點?4左側時，即x<?4時，x?6+②當x位于點?4與點6之間時，即?4≤x≤6時，x?6+③當x位于點6右側時，即x>6時，x?6+綜上可知：x?6+∴當?4≤x≤6時，x?6+x+4有最小值，最小值為故答案為：10．16．（23-24七年級上·浙江寧波·開學考試）a、b、c都是質數，且滿足a+b+c+abc=99，則1a?【思路點撥】本題考查了質數，奇數與偶數，絕對值，掌握所有的質數中只有2是偶數是解題關鍵．先假設a、b、c都是奇數，判斷出與已知矛盾，得出a、b、c中必有兩個偶數，從而令a=b=2，求出c的值，代入計算即可．【解題過程】解：若a、b、c都是奇數，則abc也是奇數，那么a+b+c+abc為偶數，與已知矛盾，∴a、b、c中必有一個偶數，∵a、b、c都是質數，∴a、令a=2，則b+c+2bc=97，若b、c都是奇數，則bc也是奇數，那么b+c+2bc偶數，與已知矛盾，∴b、c中必有一個偶數2，令b=2，則2+2+c+4c=99，∴c=19，∴===17故答案為：1717．（22-23七年級上·江蘇南京·階段練習）若x+2+x?1+x?2=6【思路點撥】本題主要考查了絕對值和數軸上兩點間的距離．根據絕對值的意義及數軸上兩點間的距離即可求解．【解題過程】解：|x+2|表示數軸上數x表示的數到?2的距離，|x?1|表示數軸上數x表示的數到1的距離，|x?2|表示數軸上數x表示的數到2的距離，∵|x+2|+|x?1|+|x?2|=6，∴①當x<?2時：x+2<0，x?1<0，x?2<0，∴?x?2+(?x+1)+(?x+2)=6，化簡得：x=?5②當x=?2時，x+2=0，x?1<0，x?2<0，∴0+(?x+1)+(?x+2)=6，解得：x=?3③當?2<x<1時，x+2>0，x?1<0，x?2<0，∴x+2+(?x+1)+(?x+2)=6，解得：x=?1（符合題意）；④當x=1時，x+2>0，x?1=0，x?2<0，∴x+2+0+(?x+2)=6，解得：4=6（不符合題意，舍去）；⑤當1<x<2時，x+2>0，x?1>0，x?2<0，∴x+2+x?1+(?x+2)=6，解得：x=3（不符合題意，舍去）；⑥當x=2時，x+2>0，x?1>0，x?2=0，∴x+2+x?1+0=6，解得：x=5⑦當x>2時，x+2>0，x?1>0，x?2>0，∴x+2+x?1+x?2=6，解得：x=7∴x=?1或73故答案為：?1或7318．（23-24七年級上·四川達州·期中）若a、b、c是整數，且a+b+b+c=1，則【思路點撥】本題考查了絕對值，解題的關鍵是熟練掌握絕對值的非負性，以及采用分類討論的思想，根據絕對值的非負性以及題意，可知當a+b=0時，則b+c=1，當a+b=1【解題過程】解：∵a、b、c是整數，∴a+b，b+c是整數，∵a+b又∵a+b∴a+b=0時，則b+c=1或a+b=1∴當a+b=0，則a=?b，∴a?c∴當a+b=0，則a=?b，∴a?c∴當a+b=1，則a=1?b，∴∴當a+b=?1，則a=?1?b，∴a?c綜上可得：a?c=1故答案為：1．19．（22-23七年級上·浙江麗水·期中）已知：m=a+bc+2b+ca+3c+ab，且abc>0，a+b+c=0，則m【思路點撥】根據絕對值的性質進行化簡求出x、y的值，然后代入x?y即可解答．【解題過程】解：∵abc>0，a+b+c=0，∴a+b=?c，b+c=?a，c+a=?b，∴a，b，c三個數中有兩負一正，當a，b為負，c為正數時，m====1?2?3=?4；當a，c為負，b為正數時，m====?1+=0；當b，c為負，a為正數時，m====?1+2?3=?2；∵m共有x個不同的值，若在這些不同的m值中，最小的值為y，∴x=3，y=?4，∴x+y=3??4故答案為：7．20．（22-23七年級上·浙江溫州·階段練習）式子x?1+2x?2+3【思路點撥】本題主要考查了絕對值．熟練掌握絕對值的化簡，分類討論，是解決問題的關鍵．分x≤1，1≤x≤2，2≤x≤3，3≤x≤4，4≤x≤5，x≥5討論，求出各股的最小值，再比較即得．【解題過程】解：設x?1+2當x≤1時，y=?=?x+1?2x+4?3x+9?2x+8?x+5=?9x+27，∴y≥18，最小值為：18；當1≤x≤2時，y==x?1?2x+4?3x+9?2x+8?x+5=?7x+25，∴11≤y≤18，最小值為：11；當2≤x≤3時，y==x?1+2x?4?3x+9?2x+8?x+5=?3x+17，∴8≤y≤11，最小值為：8；當3≤x≤4時，y==x?1+2x?4+3x?9?2x+8?x+5=3x?1，∴8≤y≤11，最小值為：8；當4≤x≤5時，y==x?1+2x?4+3x?9+2x?8?x+5=7x?17，∴11≤y≤18，最小值為：11；當x≥5時，y==x?1+2x?4+3x?9+2x?8+x?5=9x?27，∴y≥18，最小值為：18．綜上，原式的最小值為：8．故答案為：8．21．（23-24七年級上·吉林長春·期末）“數形結合”是一種非常重要的數學思想，它可以把抽象的數量關系與直觀的幾何圖形結合起來解決問題．探究：方程x?1=2方法一、當x?1>0時，x?1=x?1=2當x?1≤0時，x?1=___________=2方法二、x?1=2的意義是數軸上表示x上述兩種方法，都可以求得方程x?1=2應用：根據探究中的方法，求得方程x?1+拓展：方程x?1?【思路點撥】本題考查了絕對值的意義，解絕對值方程，數軸上兩點之間的距離．熟練掌握絕對值的意義，解絕對值方程，數軸上兩點之間的距離是解題的關鍵．探究：根據題意化簡絕對值，利用絕對值的意義進行作答即可；應用：由x?1+x+3=9的意義是數軸上表示x的點與表示1和?3兩點之間的距離和為9，表示1和?3兩點之間的距離為4，可知表示x的點在?3左側，或在1右側；分當x<?3拓展：由題意知，x?1??x?3=12，整理得x?1?x+3【解題過程】探究：解：由題意知，當x?1>0時，x?1=x?1=2解得，x=3；當x?1≤0時，x?1=1?x=2解得，x=?1；x?1=2的意義是數軸上表示x上述兩種方法，都可以求得方程x?1=2的解是x=3或x故答案為：1?x、1、x=3或x=應用：解：x?1+x+3=9的意義是數軸上表示x的點與表示1∵表示1和?3兩點之間的距離為4，∴表示x的點在?3左側，或在1右側；當x<?3時，x?1+解得，x=?5.5；當x>1時，x?1+解得，x=3.5；綜上所述，x=?5.5或x=3.5；拓展：解：x?1?∴x?1?當x+3<0時，x?1?當x?1>0時，x?1?當0≤x+3，x?1≤0時，解得，x=?5故答案為：x=?522．（23-24七年級上·江蘇鎮江