第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年遼寧省高二（上）段考數學試卷（10月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列說法正確的是(

)A.零向量沒有方向

B.在空間中，單位向量唯一

C.若兩個向量不相等，則它們的長度不相等

D.若空間中的O，M，N，P四點不共面，則{OM2.已知直線l的傾斜角為2π3，則該直線的一個方向向量為(

)A.(3,1) B.(3,?1)3.如圖所示，在三棱錐A?BCD中，O為CD的中點，設BA=a,BC=bA.?a+12b+12c4.已知兩直線l1：3x+4y?14=0，l2：a(x+1)?2x+4y=0，若l1//l2，則lA.95 B.125 C.1755.已知直線l1：ax+y+7=0，l2：(a+2)x?3y+2=0，則“a=1”是“l1⊥A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.已知平面α的法向量m=(2a,3,?2)，平面β的法向量n=(?2,b,1)，若α//β，則a+2b=(

)A.?1 B.1 C.2 D.57.如圖所示，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2，點E，F，G分別為BC，A.直線DD1與直線AF垂直

B.直線A1G與平面AEF平行

C.三棱錐F?ABE的體積為18

D.直線8.《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑，在如圖所示的鱉臑A?BCD中，AB⊥平面BCD.∠BDC=90°，BD=2AB=2CD=2，E是BC的中點，H是△ABD內的動點(含邊界)，且EH//平面ACD，則CA?EH的取值范圍是(

)A.[0,3] B.[12,3] C.[二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知直線l：(2a?3)x+(1?a)y+1=0，則(

)A.若a=1，則直線l的傾斜角為π2

B.直線l過定點(1,2)

C.若a=43，則直線l在x軸和y軸上的截距相等

D.若直線10.如圖，四邊形ADEF為正方形，CD⊥平面ADEF，CD//AB，AD=AB=12CD，M為CE的中點，則A.B，C，E，F四點共面

B.BM/?/平面ADEF

C.BC⊥平面BDE

D.平面BCF⊥平面BDE11.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，EA.當點P在線段BC1上運動時，A1P與AD1所成角的最大值是π3

B.若點P在上底面A1B1C1D1上運動，且正方體棱長為1，AP與AA1所成角為π4，則點P的軌跡長度是π

C.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知直線l：ax+by?1=0(a>0,b>0)過點P(1,2)，則當1a+2b取得最小值時，直線13.如圖，正三棱柱ABC?A1B1C1的各棱長均為1，點O為棱BC上的中點，點E為棱A114.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的體積為8，且四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知直線l1：2x+y+4=0與直線l2：x?3y?5=0的交點為M．

(1)求點M關于直線2x?3y+1=0的對稱點N；

(2)求點A(4,0)到經過點M的直線l距離的最大值，并求距離最大時的直線l的方程．16.(本小題15分)

如圖，AB是半圓O的直徑，C是AB的中點，PA=PB，平面PAB垂直于半圓O所在的平面，PO=AB=2．

(1)若D為PB的中點，證明：OD//平面PAC；

(2)求直線PA與平面PBC所成角的正弦值．17.(本小題15分)

如圖①，在邊長為4的菱形ABCD中，M，N分別是邊BC，CD的中點，∠ADC=120°，如圖②，將菱形ABCD沿對角線AC折起．

(1)證明：AC⊥MN；

(2)當點D折疊到使二面角D?AC?B為直二面角時，求點D到平面AMN的距離．18.(本小題17分)

如圖，在斜四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB=BC=AA1=2，∠BAA1=∠DAA1=∠BAD=19.(本小題17分)

定義：如果在平面直角坐標系中，點A，B的坐標分別為(x1,y1)，(x2,y2)，那么稱d(A,B)=|x1?x2|+|y1?y2|為A，B兩點間的曼哈頓距離．

(1)已知A，B兩點的坐標分別為A(3,x)，B(2,?3)，如果它們之間的曼哈頓距離不大于2，求x的取值范圍；

(2)已知A，B兩點的坐標分別為A(a,x)參考答案1.D

2.C

3.A

4.D

5.A

6.A

7.B

8.B

9.ABC

10.BCD

11.CD

12.x+y?3=0

13.[0,114.32315.解：(1)已知直線l1：2x+y+4=0與直線l2：x?3y?5=0的交點為M，

聯立2x+y+4=0x?3y?5=0，

解得x=?1y=?2，

即M(?1,?2)，

又點M關于直線2x?3y+1=0的對稱點N，

設N(a,b)，

則b+2a+1=?322×a?12?3×b?22+1=0，

解得x=?3313y=413，

即N(?3313,413)；

(2)由(1)知M(?1,?2)，

則點A(4,0)到經過點M的直線l距離的最大值為|AM|=16.(1)證明：因為O，D分別是AB，PB的中點，

所以OD//PA，

又OD?平面PAC，PA?平面PAC，

所以OD/?/平面PAC．

(2)解：因為PA=PB，O是AB的中點，所以OP⊥AB，

又平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，OP?平面PAB，

所以OP⊥平面ABC，

所以OP⊥OC，OP⊥OB，

因為C是AB的中點，所以OC⊥AB，

以O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則P(0,0,2)，A(0,?1,0)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，

所以PA=(0,?1,?2)，BP=(0,?1,2)，BC=(1,?1,0)，

設平面PBC的法向量為n=(x,y,z)，則n?BP=?y+2z=0n?BC=x?y=0，

令z=1，則x=2，y=2，所以n=(2,2,1)，

設直線PA與平面PBC所成角為θ，

則sinθ=|cos17.解：(1)證明：如圖，取AC的中點O，連接OB，OD，

結合折疊后線段長度不變得到AB=BC，AD=DC，

所以AC⊥OB，AC⊥OD，

又OB∩OD=O，OB，OD?平面OBD，

所以AC⊥平面OBD，BD?平面OBD，

所以AC⊥BD，

又M，N分別是BC，CD的中點，

所以MN//BD，

所以AC⊥MN．

(2)因為點D折疊到使二面角D?AC?B為直二面角，

所以平面ABC⊥平面ACD，

又因為平面ABC∩平面ACD=AC，AC⊥OD，AC?平面ACD，

所以OD⊥平面ABC，又BO?平面ABC，

所以BO⊥OD，

結合(1)知OA，OB，OD兩兩垂直，

故以O為坐標原點OA，OB，OD所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系O?xyz，

則A(23,0,0)，D(0,0,2)，M(?3,1,0)，N(?3,0,1)，

所以AD=(?23,0,2)，AM=(?33,1,0)，AN=(?33,0,1)，

設平面AMN的法向量為n=(x,y,z)，

則n?AM18.解：(1)證明：因為AB=BC=AA1=2，∠BAA1=∠DAA1=∠BAD=π3，

設AB=a，AD=bAA1=c，

則a?b=|a|?|b|cosπ3=2，

a?c=|a|?|c|cosπ3=2，

b?c=|b|?|c|cosπ3=2，

所以A1C=A1A+AB+BC=?c+a+b，

又BD=AD?AB=b?a，

所以A1C?BD=(?c+a+b)?(b?a)=?b?c+a?c+b2?a2=?2+2+4?4=0，

故A??1C⊥BD，

因為四棱柱ABCD?A1B1C1D1且AB=BC，

所以四邊形ABCD為菱形，則AC⊥BD，

又A1C∩AC=A，AC，AC?平面ACC1A1，

所以BD⊥平面ACC1A1；

(2)過點A1，作A1O⊥AC，A1H⊥AB，連接OH，

設AC∩BD=M，因為BD⊥平面ACC1A1，AO?平面ACC19.解：(1)因為A(3,x)，B(2,?3)，故d(A,B)=1+|x+3|，

由曼哈頓距離不大于2，得1+|x+3|≤2，

解得?4≤x≤?2．

綜上，x的取值范圍是[?4,?2]．

(2)因為A(a,x)，B(x,?3)，

故d(A,B)=|a?x|+|x?2|，

由題意可得|a?x|+|x?2|>1恒成立，

因為|a?x|+|x?2|≥|a?x+x?2|=|a?2|，

當且僅當(x?2)(a?x)≥0時等號成立，即|a?x|+|x?2|的最小值為|a?2|，

所以|a?2|>1，則a?2<?1或a?2>1，解得a<1或a>3．

故a的取值范圍是(?∞,1)∪(3,+∞)．

(3)點A(x,y)在函數y=3