2025屆吉林省東遼五中高二數學第一學期期末綜合測試模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知數列的前n項和為，則“數列是等比數列”為“存在，使得”的（）A.既不充分也不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.充分不必要條件2．參加抗疫的300名醫務人員，編號為1，2，…，300.為了解這300名醫務人員的年齡情況，現用系統抽樣的方法從中抽取15名醫務人員的年齡進行調查.若抽到的第一個編號為6，則抽到的第二個編號為（）A.21 B.26C.31 D.363．下面四個條件中，使成立的充分而不必要的條件是A. B.C. D.4．已知直線l：，則下列結論正確的是（）A.直線l的傾斜角是B.直線l在x軸上的截距為1C.若直線m：，則D.過與直線l平行的直線方程是5．雙曲線的漸近線方程是（）A. B.C. D.6．設是函數的導函數，的圖象如圖所示，則的圖象最有可能的是（）A. B.C. D.7．在棱長均為1的平行六面體中，，則（）A. B.3C. D.68．已知直線的一個方向向量，平面的一個法向量，若，則（）A.1 B.C.3 D.9．已知直線：恒過點，過點作直線與圓：相交于A，B兩點，則的最小值為（）A. B.2C.4 D.10．直線平分圓的周長，過點作圓的一條切線，切點為，則（）A.5 B.C.3 D.11．已知數列滿足，且，為其前n項的和，則（）A. B.C. D.12．已知平面上兩點，則下列向量是直線的方向向量是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知正方體的棱長為2，E、F分別是棱、的中點，點P為底面ABCD內（包括邊界）的一動點，若直線與平面BEF無公共點，則點P的軌跡長度為______.14．已知P為拋物線上的一個動點，設P到拋物線準線的距離為d，點，那么的最小值為______15．數學家華羅庚說：“數缺形時少直觀，形少數時難入微”，事實上，很多代數問題可以轉化為幾何問題加以解決．例如：與相關的代數問題，可以轉化為點與點之間的距離的幾何問題．結合上述觀點：對于函數，的最小值為______16．設Sn是等差數列{an}的前n項和，若數列{an}滿足an＋Sn＝An2＋Bn＋C且A＞0，則＋B－C的最小值為________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）求下列函數導數：（1）；（2）；18．（12分）已知數列滿足，，，n為正整數.（1）證明：數列是等比數列，并求通項公式；（2）證明：數列中的任意三項，，都不成等差數列；（3）若關于正整數n的不等式的解集中有且僅有三個元素，求實數m的取值范圍；19．（12分）隨著生活條件的改善，人們健身意識的增強，健身器械比較暢銷，某商家為了解某種健身器械如何定價可以獲得最大利潤，現對這種健身器械進行試銷售.統計后得到其單價x（單位：百元）與銷量y（單位：個）的相關數據如下表：單價x（百元/個）3035404550日銷售量y（個）1401301109080（1）已知銷量y與單價x具有線性相關關系，求y關于x的線性回歸方程；（2）若每個健身器械的成本為25百元，試銷售結束后，請利用（1）中所求的線性回歸方程確定單價為多少百元時，銷售利潤最大？（結果保留到整數），附：對于一組數據，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為.參考數據：.20．（12分）已知拋物線：上的點到其準線的距離為5.（1）求拋物線的方程；（2）已知為原點，點在拋物線上，若的面積為6，求點的坐標.21．（12分）如圖，是底面邊長為1的正三棱錐，分別為棱上的點，截面底面，且棱臺與棱錐的棱長和相等.(棱長和是指多面體中所有棱的長度之和)（1）求證：為正四面體；（2）若，求二面角的大小；（3）設棱臺的體積為，是否存在體積為且各棱長均相等的直四棱柱，使得它與棱臺有相同的棱長和?若存在，請具體構造出這樣的一個直四棱柱，并給出證明；若不存在，請說明理由.22．（10分）已知函數（1）求關于x的不等式的解集；（2）若對任意的，恒成立，求實數a的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由充分必要條件的定義，結合等比數列的通項公式和求和公式，以及利用特殊數列的分法，即可求解.【詳解】由題意，數列是等比數列，設等比數列的公比為，則，所以存在，使得，即充分性成立；若存在，使得，可取，即，可得，當，可得，此時數列不是等比數列，即必要性不成立，所以數列是等比數列為存在，使得的充分不必要條件.故選：D.2、B【解析】將300個數編號：001，002，003，，3000，再平均分為15個小組，然后按系統抽樣方法得解.【詳解】將300個數編號：001，002，003，，3000，再平均分為15個小組，則第一編號為006，第二個編號為.故選：B.3、A【解析】由，但無法得出，A滿足；由、均無法得出，不滿足“充分”；由，不滿足“不必要”.考點：不等式性質、充分必要性.4、D【解析】A.將直線方程的一般式化為斜截式可得；B.令y＝0可得；C.求出直線m斜率即可判斷；D.設要求直線的方程為，將代入即可.【詳解】根據題意，依次分析選項：對于A，直線l：，即，其斜率，則傾斜角是，A錯誤；對于B，直線l：，令y＝0，可得，l在x軸上的截距為，B錯誤；對于C，直線m：，其斜率，，故直線m與直線l不垂直，C錯誤；對于D，設要求直線的方程為，將代入，可得t＝0，即要求直線為，D正確；故選：D5、A【解析】先將雙曲線的方程化為標準方程得，再根據雙曲線漸近線方程求解即可.【詳解】解：將雙曲線的方程化為標準方程得，所以，所以其漸近線方程為：，即.故選：A.6、C【解析】利用導函數的圖象，判斷導函數的符號，得到函數的單調性以及函數的極值點，然后判斷選項即可【詳解】解：由題意可知：和時，，函數是增函數，時，，函數是減函數；是函數的極大值點，是函數的極小值點；所以函數的圖象只能是故選：C7、C【解析】設，，，利用結合數量積的運算即可得到答案.【詳解】設，，，由已知，得，，，，所以，所以.故選：C8、D【解析】由向量平行充要條件代入解之即可解決.【詳解】由，可知，則有，解之得故選：D9、A【解析】根據將最小值問題轉化為d取得最大值問題，然后結合圖形可解.【詳解】將，變形為，故直線恒過點，圓心，半徑，已知點P在圓內，過點作直線與圓相交于A，兩點，記圓心到直線的距離為d，則，所以當d取得最大值時，有最小值，結合圖形易知，當直線與線段垂直的時候，d取得最大值，即取得最小值，此時，所以.故選：A.10、B【解析】根據圓的性質，結合圓的切線的性質進行求解即可.【詳解】由，所以該圓的圓心為，半徑為，因為直線平分圓的周長，所以圓心在直線上，故，因此，，所以有，所以，故選：B11、B【解析】根據等比數列的前n項和公式即可求解.【詳解】由題可知是首項為2，公比為3的等比數列，則.故選：B.12、D【解析】由空間向量的坐標運算和空間向量平行的坐標表示，以及直線的方向向量的定義可得選項.【詳解】解：因為兩點，則，又因為與向量平行，所以直線的方向向量是，故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】取BC中點G，證明平面平面確定點P的軌跡，再計算作答.【詳解】在正方體中，取BC中點G，連接，如圖，因E、F分別是棱、的中點，則，而平面，平面，則有平面，因，則，而，則有四邊形為平行四邊形，有，又平面，平面，于是得平面，而，平面，因此，平面平面，即線段AG是點P在底面ABCD內的軌跡，，所以點P的軌跡長度為.故答案為：14、5【解析】由拋物線的定義可得，所以，由圖可知當三點共線時，取得最小值，從而可求得結果【詳解】拋物線的焦點，準線為，如圖，過作垂直準線于點，則，所以，由圖可知當三點共線時，取得最小值，即最小值為,,所以的最小值為5，故答案為：515、【解析】根據題意得，表示點與點與距離之和的最小值，再找對稱點求解即可.【詳解】函數，表示點與點與距離之和的最小值，則點在軸上，點關于軸的對稱點，所以，所以的最小值為：.故答案為：.16、2【解析】因為{an}為等差數列，設公差為d，由an＋Sn＝An2＋Bn＋C，得a1＋(n－1)d＋na1＋n(n－1)d＝an＋Sn＝An2＋Bn＋C，即(d－A)n2＋(a1＋－B)n＋(a1－d－C)＝0對任意正整數n都成立所以(d－A)＝0，a1＋d－B＝0，a1－d－C＝0，所以A＝d，B＝a1＋d，C＝a1－d，所以3A－B＋C＝0.＋B－C＝＋3A≥2.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】根據基本初等函數的導數公式以及導數的運算法則計算可得；【詳解】解：（1）因為所以，即（2）因為所以，即18、（1）證明見解析；（2）證明見解析（3）【解析】（1）將所給等式變形為，根據等比數列的定義即可證明結論；（2）假設存在，，成等差數列，根據等差數列的性質可推出矛盾，故說明假設錯誤。從而證明原結論；（3）求出n=1,2,3,4時的情況，再結合時，，即可求得結果.【小問1詳解】由已知可知，顯然有，否則數列不可能是等比數列；因為，，故可得，由得：，即有，所以數列等比數列，且；【小問2詳解】假設存在，，成等差數列，則，即，整理得，即，而是奇數，故上式左側是奇數，右側是一個偶數，不可能相等，故數列中的任意三項，，都不成等差數列；【小問3詳解】關于正整數n的不等式，即，當n=1時，；當n=2時，；當n=3時，；當n=4時，，并且當時，，因關于正整數n的不等式的解集中有且僅有三個元素，故.19、（1）；（2）確定單價為50百元時，銷售利潤最大.【解析】（1）根據參考公式和數據求出，進而求出線性回歸方程；（2）設出定價，結合（1）求出利潤，進而通過二次函數的性質求得答案.【小問1詳解】由題意，，則，，結合參考數據可得，，所以線性回歸方程為.【小問2詳解】設定價為x百元，利潤為，則，由題意，則（百元）時，最大.故確定單價為50百元時，銷售利潤最大.20、（1）（2）或【解析】（1）結合拋物線的定義求得，由此求得拋物線的方程.（2）設，根據三角形的面積列方程，求得的值，進而求得點的坐標.【小問1詳解】由拋物線的方程可得其準線方程，依拋物線的性質得，解得.∴拋物線的方程為.【小問2詳解】將代入，得.所以，直線的方程為，即.設，則點到直線的距離，又，由題意得，解得或.∴點的坐標是或.21、（1）證明見解析；（2）；（3）存在，構造棱長均為，底面相鄰兩邊的夾角為的直四棱柱即滿足條件.【解析】（1）由棱臺、棱錐的棱長和相等可得，再由面面平行有，結合正四面體的結構特征即可證結論.（2）取BC的中點M，連接PM、DM、AM，由線面垂直的判定可證平面PAM，即是二面角的平面角，進而求其大小.（3）設直四棱柱的棱長均為，底面相鄰兩邊的夾角為，結合已知條件用表示出即可確定直四棱柱.【小問1詳解】由棱臺與棱錐的棱長和相等，∴，故.又截面底面ABC，則，，∴，從而，故為正四面體.【小問2詳解】取BC的中點M，連接PM、DM、AM，由，，得：平面PAM，而平面PAM，故，從而是二面角的平面角.由（1）知，三棱錐的各棱長均為1，所以.由D是PA的中點，得.在Rt△ADM中，，故二面角的大小為.【小問3詳解】存在滿足條件的直四棱柱.棱臺的棱長和為定值6，體積為V.設直四棱柱的棱長均為，底