河南省淮陽縣實驗高中課時教案

第一章計數原理第一課時總第教案

課型：新授課主備人：王慶云審核人：李俊濤二次備課

單元備

一、地位與作用

計數問題是數學中的重要研究對象之一，分類加法計數原理、分步乘法

計數原理是解決計數問題的最基本、最重要的方法，也稱為基本計數原理，

它們為解決很多實際提供了思想和工具.在本摸塊中，學生將學習計數基本原

理、排列、組合、二項式定理及其應用，了解計數與現實生活的聯系，會解

決簡單的計數問題.使學生學會正確地使用兩個基本計數原理，學會正確地使

用基本計數原理是這一章教學中必須抓住的一個關鍵.

二、章節重難點

1.本章的重點是分類加法計數原理和分步乘法計數原理，排列和組合的

意義，以及排列數、組合數計算公式，二項式定理.

2.本章的主要難點是如何正確運用有關公式解決應用問題.在解決問題

時，由于對問題本身和有關公式的理解不夠準確，常常發生重復和遺漏計算、

用錯公式的情況.為了突破這一難點，教學中應強調一些容易混淆的概念之間

的聯系與區別，強調運用各個公式的前提條件，并對學生計算中出現的一些

典型錯誤進行認真剖析.

三、教學策略

計數是人與生俱來的一種能力，也是了解客觀世界的一種最基本的方法.

計數問題是數學中的重要研究對象之一，分類加法計數和分步乘法計數是處

理計數問題的兩種基本思想方法.要求教學中要引導學生根據計數原理分析、

處理問題，而不是機械地套用公式，同時要避免繁瑣的、技巧性過高的計數

問題.

由于計數原理的思想和方法是最基本的，所有的計數問題都不會超越分

類和分步這兩大類，因此要求在推導排列數公式和組合數公式的過程中讓學

生進一步理解計數原理的思想；在用排列組合公式和組合數公式解決實際問

題時，也不要只是片面地將問題歸結為排列、組合兩類，而是引導學生學會

用計數原理來分析問題.

二項式定理是中學數學的傳統內容，定理揭示了二項式的正整數次幕的

展開法則.這個定理既是初中代數乘法公式的推廣，也是進一步研究概率中二

項分步的準備知識.學習二項式定理還可以深化對組合數的認識.新課標強調

利用基本計數原理對二項式定理進行證明.

三、課時安排：

本章總共12課時，具體分配如下：

1.1分類加法計數原理和分步乘法計數原理2課時

1.2排列與組合6課時

1.3二項式定理2課時

1.4章末總結2課時

河南省淮陽縣實驗高中課時教案

第一章計數原理第一課時總第教案

課型：新授課主備人：王慶云審核人：李俊濤二次備課

§1.1.1分類加法計數原理和分步乘法計數原理

一、三維目標

1、知識與技能

理解分類加法計數原理與分步乘法計數原理；會利用兩個原理分析和解

決一些簡單的應用問題；

2、過程與方法

培養學生的歸納概括能力；

3、情感態度與價值觀

引導學生形成“自主學習”與“合作學習”等良好的學習方式；

二、教學重點、難點

重點：分類計數原理（加法原理）與分步計數原理（乘法原理）

難點：分類計數原理（加法原理）與分步計數原理（乘法原理）的準確理解.

三、學法與教學用具

1、學法：合作探究

2、教學用具：多媒體

四、教學過程

（一）創設情境，揭示課題

①從我們班上推選出兩名同學擔任班長，有多少種不同的選法？

②把我們的同學排成一排，共有多少種不同的排法？

要解決這些問題，就要運用有關排列、組合知識.排列組合是一種重要

的數學計數方法.總的來說，就是研究按某一規則做某事時，一共有多少種

不同的做法.

在運用排列、組合方法時，經常要用到分類加法計數原理與分步乘法計

數原理.這節課，我們從具體例子出發來學習這兩個原理.

(二)研探新知

(1)提出問題

問題1.1:用一個大寫的英文字母或一個阿拉伯數字給教室里的座位編號，

總共能夠編出多少種不同的號碼？

問題1.2：從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車.如果一天中火車有3

班，汽車有2班.那么一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不

同的走法？

探究：你能說說以上兩個問題的特征嗎？

(2)發現新知

分類加法計數原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有加

種不同的方法，在第2類方案中有〃種不同的方法.那么完成這件事共有

N=血+〃種不同的方法.

2.分步乘法計數原理

(1)提出問題

問題2.1：用前6個大寫英文字母和1—9九個阿拉伯數字，以A，4，…，

用，與，…的方式給教室里的座位編號，總共能編出多少個不同的號碼？

用列舉法可以列出所有可能的號碼：

字母數字得到的號碼

我們還可以這樣來思考：由于前6個英文字母中的任意一個都能與9

個數字中的任何一個組成一個號碼，而且它們各不相同，因此共有6X9=54

個不同的號碼.

探究：你能說說這個問題的特征嗎？

(2)發現新知

分步乘法計數原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有

加種不同的方法，在第2類方案中有〃種不同的方法.那么完成這件事共

有N=wx〃種不同的方法.

(三)例題講解

例1.書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的

文藝書，第3層放2本不同的體育書.

①從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？

②從書架的第1、2、3層各取1本書，有多少種不同的取法？

③從書架上任取兩本不同學科的書，有多少種不同的取法？

解：(1)從書架上任取1本書，有3類方法：第1類方法是從第1層取

1本計算機書，有4種方法；第2類方法是從第2層取1本文藝書，有3種

方法；第3類方法是從第3層取1本體育書，有2種方法.根據分類加法

計數原理，不同取法的種數是％=町+“+/=4+3+2=9;

(2)從書架的第1,2,3層各取1本書，可以分成3個步驟完成:

第1步從第1層取1本計算機書，有4種方法；第2步從第2層取1本

文藝書，有3種方法；第3步從第3層取1本體育書，有2種方法.根

據分步乘法計數原理，不同取法的種數是

N=町xmjxm,=4X3X2=24.

(3)N=4x3+4x2+3x2=26。

(四)課堂檢測

1.一螞蟻沿著長方體的棱,從的一個頂點爬到相對的另一個頂點的最近路

線共有多少條？

解:從總體上看,如,螞蟻從頂點A爬到頂點C1有三類方法,從局部上看每類

又需兩步完成，所以，

第一類，ml=1X2=2條

第二類，m2=1X2=2條

第三類，m3=1X2=2條

所以，根據加法原理，從頂點A到頂點C1最近路線共有N=2+2+2=6

條

（五）課堂小結

1.分類加法計數原理和分步乘法計數原理是排列組合問題的最基本的原

理，是推導排列數、組合數公式的理論依據，也是求解排列、組合問題的基

本思想.

2.分類加法計數原理針對的是“分類”問題，其中各種方法相對獨立，用

其中任何一種方法都可以完成這件事；而分步乘法計數原理針對的是“分步”

問題，各個步驟中的方法相互依存，只有各個步驟都完成后才算做完這件事.

（六）課后作業

課本第6頁練習1、2

四、教學設計

一、復習舊知二、課前預習三、創設情境

四、講授新課五、課堂檢測六、歸納總結

六、板書設計

一、學習目標三、典例分析五、歸納總結

二、知識講解四、課堂檢測六、布置作業

七、課后反思

1、值得肯定之處

2、有待改進之處

河南省淮陽縣實驗高中課時教案

第一章計數原理第一課時總第教案

課型：新授課主備人：王慶云審核人：李俊濤二次備課

§1.1.2分類加法計數原理和分步乘法計數原理

一、三維目標

1、知識與技能

能根據具體問題的特征，選擇運用分類計數原理、分步計數原理；

2、過程與方法

會用列舉法解一些簡單問題，并體會兩個原理的作用；

3、情感態度與價值觀

引導學生形成“自主學習”與“合作學習”等良好的學習方式；

二、教學重點、難點

重點：兩個基本原理的進一步理解和體會.

難點：正確判斷是分類還是分步，分類計數原理的分類標準及其多樣性.

三、學法與教學用具

1、學法：合作探究

2、教學用具：多媒體

四、教學過程

(-)復習引入新課

什么是分類計數原理？什么是分步計數原理？

它們在使用時的主要區別是什么？

分類加法計數原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有加種不

同的方法，在第2類方案中有〃種不同的方法.那么完成這件事共有

N=m+〃種不同的方法.

分步乘法計數原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有加種不

同的方法，在第2類方案中有〃種不同的方法.那么完成這件事共有

N=根義〃種不同的方法.

（二）研探新知

兩個原理的應用

問題：給程序模塊命名，需要用3個字符，其中首字符要求用字母4?G或U?

Z,后兩個要求用數字1?9.問最多可以給多少個程序命名？

解：由分類加法計數原理可知，首字符共有7+6=13種選法，由分步乘法計

數原理可知共有13X9X9=1053個不同的名稱.

新知：用兩個計數原理解決計數問題時，最重要的是在開始計算之前進行仔

細分析，正確選擇是分類還是分步.分類要做到“不重不漏”，分類后再分別

對每一類進行計數，最后用加法原理求和；分步要做到“步驟完整”，完成所

有步驟，恰好完成任務.

（三）例題講解

例1核糖核酸（RNA）分子是生物細胞中發現的化學成分.一個RNA分子是一

個有著數百個甚至數千個位置的長鏈，長鏈中每一個位置上都由一種稱為堿

基的化學成分所占據.總共有4中不同的堿基，分別是A,C,G,〃表示.在一個

RNA分子中，各種堿基能夠以任意次序出現，所以在任意位置上的堿基與其

他位置的堿基無關.假設有一類RNA分子有100個堿基組成，那么能有多少種

不同的RNA分子？（課本第7頁）

解：100個堿基組成的長鏈共有100個位置，如圖1.1—2所示.從

左到右依次在每一個位置中，從A,C,G,U中任選一個填人，每個位置

有4種填充方法.根據分步乘法計數原理，長度為100的所有可能的不同

RNA分子數目有4?4?工二400（個）

100

例2計算機編程人員在編好程序以后需要對程序進行測試.程序員需要知道

到底有多少條執行路徑，以便知道需要提供多少個測試數據.一般地，一個程

序模塊由許多子模塊組成.如圖，它是一個具有許多執行路徑的程序模塊.問：

這個程序模塊有多少條執行路徑？（課本P8）

解：由分類加法計數原理，子模塊1或子模塊2或子模塊3中的子路徑共

有18+45+28=91（條）；

子模塊4或子模塊5中的子路徑共有38+43=81（條）.

（四）課堂檢測

1.從5名同學中選出正，副組長各一名，共有20種不同的選法.

2.某電話局管轄范圍內的電話號碼由8位數字組成，其中前4位的數字是不

變的，后4位數字都是0到9之間的一個數字，那么這個電話局最多有

10000個.

3.在平面直角坐標系內，橫坐標與縱坐標均在集合｛0,1,2,3,4,5）內

取值的不同點共有36個.

4、隨著人們生活水平的提高，某城市家庭汽車擁有量迅速增長，汽車牌照號

碼需要擴容.交通管理部門出臺了一種汽車牌照組成辦法，每一個汽車牌照都

必須有3個不重復的英文字母和3個不重復的阿拉伯數字，并且3個字母必

須合成一組出現，3個數字也必須合成一組出現.那么這種辦法共能給多少輛

汽車上牌照？

解：將汽車牌照分為2類，一類的字母組合在左，另一類的字母組合在右.字

母組合在左時，分6個步驟確定一個牌照的字母和數字：

第1步，從26個字母中選1個，放在首位，有26種選法；

第2步，從剩下的25個字母中選1個，放在第2位，有25種選法；

第3步，從剩下的24個字母中選1個，放在第3位，有24種選法；

第4步，從10個數字中選1個，放在第4位，有10種選法；

第5步，從剩下的9個數字中選1個，放在第5位，有9種選法；

第6步，從剩下的8個字母中選1個，放在第6位，有8種選法.

根據分步乘法計數原理，字母組合在左的牌照共有26X25X24X10X9X

8=11232000（個）.

同理，字母組合在右的牌照也有11232000個.

所以，共能給11232000+11232000=22464000（個）輛汽車上牌照.

（五）課堂小結

1.正確選擇是分類還是分步的方法

2.分類要做到“不重不漏”，分步要做到“步驟完整”.

3.乘法運算是特定條件下加法運算的簡化，分步乘法計數原理和分類加法計

數原理也有類似關系.

（六）課后作業

課本第10頁練習2、3、4

五、教學設計

一、復習舊知二、課前預習三、創設情境

四、講授新課五、課堂檢測六、歸納總結

六、板書設計

一、學習目標三、典例分析五、歸納總結

二、知識講解四、課堂檢測六、布置作業

七、課后反思

1、值得肯定之處

2、有待改進之處

河南省淮陽縣實驗高中課時教案

第一章計數原理第一課時總第教案

課型：新授課主備人：王慶云審核人：李俊濤二次備課

§1.2.1排列

一、三維目標

1、知識與技能

利用捆綁法、插空法解決排列問題；

2、過程與方法

經歷把簡單的計數問題化為排列問題解決的過程，從中體會“化歸”的

數學思想；

3、情感態度與價值觀

能運用所學的排列知識，正確地解決實際問題，體會“化歸”思想的魅

力；

二、教學重點、難點

重點：排列數的概念與計算

難點：排列數的計算.

三、學法與教學用具

1、學法：合作探究

2、教學用具：多媒體

四、教學過程

（-）復習引入新課

提出問題1：前面我們學習了分類加法計數原理和分步乘法計數原理，

請同學們回顧兩個原理的內容，并回顧兩個原理的區別與聯系.

（二）研探新知

問題1：從甲、乙、丙3名同學中選取2名同學參加某一天的一項活動,

其中一名同學參加上午的活動，一名同學參加下午的活動，這是不是個排列

問題，排列數怎么求？

解決這一問題可分兩個步驟：第1步，確定參加上午活動的同學，從3

人中任選1人，有3種方法；第2步，確定參加下午活動的同學，當參加上

午活動的同學確定后，參加下午活動的同學只能從余下的2人中去選，于是

有2種方法.根據分步乘法計數原理，在3名同學中選出2名，按照參加上

午活動在前，參加下午活動在后的順序排列的不同方法共有3x2=6種，如圖

所示.

”

甲

乙

乙

甲

丙

丙

乙

甲

甲

丙

丙

乙

甲

甲

丙

乙

乙

丙

問題2：從1,2,3,4這4個數字中，每次取出3個排成一個三位數，共可

得到多少個不同的三位數，是不是排列問題，怎樣求排列數？

顯然，從4個數字中，每次取出3個，按“百”“十””個，位的順序排成一列,

就得到一個三位數.因此有多少種不同的排列方法就有多少個不同的三位

數.可以分三個步驟來解決這個問題：

第1步，確定百位上的數字，在1,2,3,4這4個數字中任取1個，有4種

方法；

第2步，確定十位上的數字，當百位上的數字確定后，十位上的數字只

能從余下的3個數字中去取，有3種方法；

第3步，確定個位上的數字，當百位、十位上的數字確定后，個位的數

字只能從余下的2個數字中去取，有2種方法.

根據分步乘法計數原理，從123,4這4個不同的數字中，每次取出3個

數字，按“百”“十”“個’位的順序排成一列，共有4x3x2=24種不同的排法，

因而共可得到24個不同的三位數，如圖所示.

1234

234134124123

/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\/\

342423341413241412231312

由此可寫出所有的三位數:

123,124,132,134,142,143,

213,214,231,234,241,243,

312,314,321,324,341,342,

412,413,421,423,431,432.

活動成果：

1、排列的概念：

從〃個不同元素中，任取/n(小<〃)個元素(這里的被取元素各不相同)

按照一定的順序排成一列，叫做從〃個不同元素中取出機個元素的一個排列.

2、排列數的定義：

從〃個不同元素中，任取加(〃?<〃)個元素的所有排列的個數叫做從“

個元素中取出加元素的排列數，用符號線,表示.

3、排列數公式及其推導：

由田的意義：假定有排好順序的2個空位，從〃個元素q,%%中任取

2個元素去填空，一個空位填一個元素，每一種填法就得到一個排列，反過

來，任一個排列總可以由這樣的一種填法得到，因此，所有不同的填法的種

數就是排列數記.由分步計數原理完成上述填空共有種填法，二

A^=n(n-Y).

由此，求4；可以按依次填3個空位來考慮，1)5-2),求4"

以按依次填加個空位來考慮A：=〃(〃T)(〃—2)(n-m+1),

排列數公式：第I位第2位第3位第"位

—〃(九一1)(〃-2)(n-m+1)ill~~

nn-1n-2n-m*-]

*圖10-5

Qm,neN,m<n)

(三)例題講解

例1.解方程：3AM2A\i+6A?.

思路分析：利用排列數公式求解即可.

解：由排列數公式得：3x(x—l)(x—2)=2(x+l)x+6x(x—1),

Vx>3,?.3(x-1)(x-2)=2(x+1)+6(x-1),即3f—17x+10=0,

2

解得x=5或x=],?.?應3,且xGN,.?.原方程的解為x=5.

(四)課堂檢測

1.解不等式：A>6A-r2.

a?a?

解：原不等式即二:>6?川?、一

(9—%)！(11—X)!

也就是又~~\廠>7Tiwinwo\Vf化簡得：21x+104>0,

(9—x)!(11—x)-(10—x)-(9—x)!

解得x<8或x>13,又且無GN,

所以，原不等式的解集為{3,4,5,6,7}.

2、若AA2“,則〃?的值為()

A.5B.3C.6D.7

(五)課堂小結

1.知識收獲：排列概念、排列數公式.

2.方法收獲：化歸.

3.思維收獲：分類討論、化歸思想.

(六)課后作業

課本第20頁練習1、4

六、教學設計

一、復習舊知二、課前預習三、創設情境

四、講授新課五、課堂檢測六、歸納總結

六、板書設計

一、學習目標三、典例分析五、歸納總結

二、知識講解四、課堂檢測六、布置作業

七、課后反思

1、值得肯定之處

2、有待改進之處

河南省淮陽縣實驗高中課時教案

第一章計數原理第一課時總第教案

課型：新授課主備人：王慶云審核人：李俊濤二次備課

§1.2.2排列

一、三維目標

1、知識與技能

利用排列和排列數公式解決簡單的計數問題；

2、過程與方法

經歷把簡單的計數問題化為排列問題解決的過程，從中體會“化歸”的

數學思想；

3、情感態度與價值觀

能運用所學的排列知識，正確地解決實際問題，體會“化歸”思想的魅力；

二、教學重點、難點

重點：利用排列和排列數公式解決簡單的計數問題.

難點：利用排列和排列數公式解決簡單的計數問題

三、學法與教學用具

1、學法：合作探究

2、教學用具：多媒體

四、教學過程

(-)復習回顧

提出問題1：判斷下列兩個問題是不是排列問題，若是求出排列數，若

不是，說明理由.

(1)有5本不同的書，從中選3本送給3名同學，每人各1本，共有多少

種不同的送法？

(2)有5種不同的書，要買3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種

不同的送法？

解：(1)從5本不同的書中選出3本分別送給3名同學，對應于從5個元

素中任取3個元素的一個排列，因此不同送法的種數是：解=5X4X3=60,

所以，共有60種不同的送法.

（2）由于有5種不同的書，送給每個同學的1本書都有5種不同的選購方

法，因此送給3名同學，每人各1本書的不同方法種數是：5X5X5=125,

所以，共有125種不同的送法.

本題中兩個小題的區別在于：第（1）小題是從5本不同的書中選出3本分

送給3名同學，各人得到的書不同，屬于求排列數問題；而第（2）小題中，給

每人的書均可以從5種不同的書中任選1種，各人得到哪種書相互之間沒有

聯系，要用分步計數原理進行計算.

（二）例題講解

例1.某年全國足球甲級（力組）聯賽共有14個隊參加，每隊要與其余各隊

在主、客場分別比賽一次，共進行多少場比賽？

解：任意兩隊間進行1次主場比賽與1次客場比賽，對應于從14個元素

中任取2個元素的一個排列.因此，比賽的總場次是的=14X13=182.

點評：要學會把具體問題抽象為從n個不同的元素中任取加（加個不同元

素，按一定順序排成一列的問題.

例2.用0到9這10個數字，可以組成多少個沒有重復數字的三位數？

百位十位個位

A：個A；個

解法一：由于在沒有重復數字的三位數中，百位上的數字不能是0,因

此可以分兩步完成排列.第1步，排百位上的數字，可以從1到9這九個數

字中任選1個，有A；種選法；第2步，排十位和個位上的數字，可以從余下

的9個數字中任選2個，有A；種選法（如圖）.根據分步乘法計數原理，所求

的三位數的個數為A；XA；=9X9X8=648.

解法二：如圖所示，符合條件的三位數可分成3類.每一位數字都不是

0的三位數有屈個，個位數字是0的三位數有A；個，十位數字是0的三位數

有及個.根據分類加法計數原理，符合條件的三位數的個數為屈+代+國=

648.

百位十位個位百位十位個位百位十位個位

A3個A；個A；個

解法三：從0到9這10個數字中任取3個數字的排列數為七,其中0

在百位上的排列數是欣，它們的差就是用這10個數字組成的沒有重復數字的

三位數的個數，即所求的三位數的個數是A；。一A；=10X9X8—9X8=648.

點評：對于例2這類計數問題，可用適當的方法將問題分解，而且思考

的角度不同，就可以有不同的解題方法.解法一根據百位數字不能是0的要

求，分步完成選3個數組成沒有重復數字的三位數這件事，依據的是分步乘

法計數原理；解法二以0是否出現以及出現的位置為標準，分類完成這件事

情，依據的是分類加法計數原理；解法三是一種逆向思考方法：先求出從10

個不同數字中選3個不重復數字的排列數，然后從中減去百位是0的排列數

（即不是三位數的個數），就得到沒有重復數字的三位數的個數.從上述問題

的解答過程可以看到，引進排列的概念，以及推導求排列數的公式，可以更

加簡便、快捷地求解“從〃個不同元素中取出〃（加個元素的所有排列的

個數”這類特殊的計數問題.

（三）課堂檢測

1、某信號兵用紅、黃、藍3面旗從上到下掛在豎直的旗桿上表示信號，每次

可以任意掛1面、2面或3面，并且不同的順序表示不同的信號，一共可以

表示多少種不同的信號？

解：分3類：第一類用1面旗表示的信號有A；種；

第二類用2面旗表示的信號有用種；

第三類用3面旗表示的信號有A：種，

由分類加法計數原理，所求的信號種數是：A；+X+A：=3+3X2+3X2

Xl=15,

即一共可以表示15種不同的信號.

2、從10個不同的文藝節目中選6個編成一個節目單，如果某女演員的獨唱

節目一定不能排在第二個節目的位置上，則共有多少種不同的排法？

解法一：（從特殊位置考慮）A氏=136080；

解法二：（從特殊元素考慮）若選：5?浦；若不選：解，則共有5?A；+A；

=136080種;

解法三：（間接法）A：°-A；=136080.

（四）課堂小結

對于較復雜的問題，一般都有兩個方向的列式途徑，一個是“正面湊”，

一個是“反過來剔”.前者指，按照要求，一點點選出符合要求的方案；后者

指，先按全局性的要求，選出方案，再把不符合其他要求的方案剔出去.了

解排列數的意義，掌握排列數公式及推導方法，從中體會“化歸”的數學思

想，并能運用排列數公式進行計算.

（五）課后作業

課本第20頁練習5、6

五、教學設計

一、復習舊知二、課前預習三、創設情境

四、講授新課五、課堂檢測六、歸納總結

六、板書設計

一、學習目標三、典例分析五、歸納總結

二、知識講解四、課堂檢測六、布置作業

七、課后反思

1、值得肯定之處

2、有待改進之處

河南省淮陽縣實驗高中課時教案

第一章計數原理第一課時總第教案

課型：新授課主備人：王慶云審核人：李俊濤二次備課

§1.2.3排列

一、三維目標

1、知識與技能

利用捆綁法、插空法解決排列問題.

2、過程與方法

經歷把簡單的計數問題化為排列問題解決的過程，從中體會“化歸”的

數學思想.

3、情感態度與價值觀

能運用所學的排列知識，正確地解決實際問題，體會“化歸”思想的魅

力.

二、教學重點、難點

重點：利用捆綁法、插空法解決排列問題.

難點：利用捆綁法、插空法解決排列問題.

三、學法與教學用具

1、學法：合作探究

2、教學用具：多媒體

四、教學過程

(―)復習回顧

提出問題：7位同學排隊，根據上一節課所學的方法，解決下列排列問題.

(1)7位同學站成一排，共有多少種不同的排法？

(2)7位同學站成兩排(前3后4),共有多少種不同的排法？

(3)7位同學站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？

(4)7位同學站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？

(5)7位同學站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？

解：(1)問題可以看作：7個元素的全排列A；=5040.

⑵根據分步乘法計數原理：7X6X5X4X3X2X1=71=5040.

(3)問題可以看作：余下的6個元素的全排列點=720.

(4)根據分步乘法計數原理：第一步甲、乙站在兩端有房種；第二步余下

的5名同學進行全排列有A：；種，所以，共有虐?A，=240種排列方法.

(5)第一步從(除去甲、乙)其余的5位同學中選2位同學站在排頭和排尾

有用種方法；第二步從余下的5位同學中選5位進行排列(全排列)有A?種方

法，所以一共有A式=2400種排列方法.

(二)典例講解

類型一：捆綁法

例1.7位同學站成一排，

(1)甲、乙兩同學必須相鄰的排法共有多少種？

(2)甲、乙和丙三個同學都相鄰的排法共有多少種？

(3)甲、乙兩同學必須相鄰，而且丙不能站在排頭和排尾的排法有多少

種？

(4)甲、乙、丙三個同學必須站在一起，另外四個人也必須站在一起的排

法有多少種？

解：(1)先將甲、乙兩位同學“捆綁”在一起看成一個元素，與其余的5

個元素(同學)一起進行全排列有點種方法；再將甲、乙兩個同學“松綁”進

行排列有A；種方法.所以這樣的排法一共有就A；=l440種.

(2)方法同上，一共有A擄=720種.

(3)解法一：將甲、乙兩同學''捆綁”在一起看成一個元素，此時一共有

6個元素，因為丙不能站在排頭和排尾，所以可以從其余的5個元素中選取2

個元素放在排頭和排尾，有抬種方法；將剩下的4個元素進行全排列有A；種

方法；最后將甲、乙兩個同學“松綁”進行排列有A；種方法.所以這樣的排

法一共有AM=960種.

解法二：將甲、乙兩同學“捆綁”在一起看成一個元素，此時一共有6

個元素，若丙站在排頭或排尾有2虐種方法，所以，丙不能站在排頭和排尾的

排法有@一2相)?A；=960種.

解法三：將甲、乙兩同學“捆綁”在一起看成一個元素，此時一共有6

個元素，因為丙不能站在排頭和排尾，所以可以從其余的四個位置選擇共有

A：種方法，再將其余的5個元素進行全排列共有A：種方法，最后將甲、乙兩

同學“松綁”，所以，這樣的排法一共有A擄度=960種.

（4）將甲、乙、丙三個同學“捆綁”在一起看成一個元素，另外四個人“捆

綁”在一起看成一個元素，此時一共有2個元素，.?.一共有排法種數：A；A比

=288種.

類型二：插空法

例2.7位同學站成一排，

（1）甲、乙兩同學不能相鄰的排法共有多少種？

（2）甲、乙和丙三個同學都不能相鄰的排法共有多少種？

解：（1）方法一：（排除法）A；—您?&=3600；

方法二：（插空法）先將其余五個同學排好有點種方法，此時他們留下六

個位置（稱為“空”），再將甲、乙同學分別插入這六個位置（空）有虐種方法，

所以一共有A火=3600種方法.

（2）先將其余四個同學排好有A：種方法，此時他們留下五個''空"，再將

甲、乙和丙三個同學分別插入這五個“空”有A；種方法，所以一共有A：摞=1

440種方法.

（三）課堂檢測

1、某商場中有10個展架排成一排，展示10臺不同的電視機，其中甲廠5臺，

乙廠3臺，丙廠2臺，若要求同廠的產品分別集中，且甲廠產品不放兩端，

則不同的陳列方式有多少種？

解：將甲廠5臺不同的電視機“捆綁”在一起看成一個元素，乙廠3臺

不同的電視機“捆綁”在一起看成一個元素，丙廠2臺不同的電視機“捆綁”

在一起看成一個元素，此時一共有3個元素，甲不放兩端，甲有1種排法，

乙、丙排在兩端有的種排法，共有店A；A盤=2880種不同的排法.

2、5男5女排成一排，按下列要求各有多少種排法：（1）男女相間；（2）女生

按指定順序排

列.

解：（1）先將男生排好，有相種排法；再將5名女生插在男生之間的6個

“空”（包括兩端，但不能同時排在兩端）中，有2慰種排法,

故本題的排法有川=2度?相=28800種.

（四）課堂小結

1.知識收獲：進一步復習排列的概念和排列數公式.

2.方法收獲：捆綁法、插空法.

3.思維收獲：化歸思想、分類討論思想.

（五）課后作業

學習指導67頁第9題

五、教學設計

一、復習舊知二、課前預習三、創設情境

四、講授新課五、課堂檢測六、歸納總結

六、板書設計

一、學習目標三、典例分析五、歸納總結

二、知識講解四、課堂檢測六、布置作業

七、課后反思

1、值得肯定之處

2、有待改進之處

河南省淮陽縣實驗高中課時教案

第一章計數原理第一課時總第教案

課型：新授課主備人：王慶云審核人：李俊濤二次備課

§1.2.4組合

一、三維目標

1、知識與技能

理解組合的意義，能寫出一些簡單問題的所有組合.明確組合與排列的

聯系與區別，能判斷一個問題是排列問題還是組合問題.

2、過程與方法

通過具體實例，體會組合數的意義，總結排列數A；與組合數C；；之間的

聯系，掌握組合數公式，能運用組合數公式進行計算.

3、情感態度與價值觀

能運用組合要領分析簡單的實際問題，提高分析問題的能力.

二、教學重點、難點

重點：組合的概念和組合數公式.

難點：組合的概念和組合數公式.

三、學法與教學用具

1、學法：合作探究

2、教學用具：多媒體

四、教學過程

（-）引入新課

提出問題1：從甲、乙、丙3名同學中選出2名去參加一項活動，有多

少種不同的選法？

活動成果：問題中不但要求選出2名同學，而且還要按照一定的順序“排

列“，而問題只要求選出2名同學，是與順序無關的，不是排列.我們把這樣

的問題稱為組合問題.

提出問題2：結合上述問題，試總結組合和組合數的概念.

活動設計：學生小組討論，總結概念.

1.組合的概念：一般地，從〃個不同元素中取出加⑺9）個元素合成一

組，叫做從〃個不同元素中取出m個元素的一個組合.

2.組合數的概念：從〃個不同元素中取出風/%〃）個元素的所有不同組

合的個數，叫做從”個不同元素中取出機個元素的組合數.用符號C；；表示

由于排列是先組合再排列，而從4個不同元素中取出3個元素的排列數

司可以求得，故我們可以考察一下C杯口A：的關系，如下:

組合排列

abc—abc,bac.cab,acb,bca,cba

abd—^abd,bad,dab,adb,bda,dba

acd—>acd,cad,dac,adc,cda,dca

bed—bed,cbd,dbc,bdc,edb,deb

由此可知,每一個組合都對應著6個不同的排列，因此，求從4個不同

元素中取出3個元素的排列數A|,可以分如下兩步：①考慮從4個不同元素

中取出3個元素的組合，共有個；②對每一個組合的3個不同元素進行全

排列，各有A揪方法.由分步乘法計數原理得：Ai=ClAL所以，密=￡

提出問題3：你能想出求C：的方法嗎？

活動成果:

一般地，求從〃個不同元素中取出機個元素的組合數C3可以分如下兩

步:

①先求從〃個不同元素中取出m個元素的排列數A%

②求每一個組合中m個元素的全排列數A；；：,根據分步乘法計數原理得:

A；=C；?A*

A；；〃（〃一1）（〃一2）...（〃一1）

得到組合數的公式：C：=

A；；；~mI

n!

或C'=m!（〃一加）！（〃'm￡N,且m<n）.

規定：d=i.

（二）例題講解

類型一：組合數公式的應用

例1.計算：⑴a；(2)Clo.

47x6x5x4

解：(1)C7==35；

10x9x8x7x6x5x4

(2)解法1：

710!10x9x8

解法2：Cio=yj~~3!=~=120.

例2.一位教練的足球隊共有17名初級學員，他們中以前沒有一人參加過

比賽.按照足球比賽規則，比賽時一個足球隊的上場隊員是11人.問：

(1)這位教練從這17名學員中可以形成多少種學員上場方案？

(2)如果在選出11名上場隊員時，還要確定其中的守門員，那么教練員有

多少種方式做這件事情？

解：(1)由于上場學員沒有角色差異，所以可以形成的學員上場方案種數

為C；”12376.

(2)教練員可以分兩步完成這件事情：

第1步，從17名學員中選出11人組成上場小組，共有C號種選法；

第2步，從選出的11人中選出1名守門員，共有Ch種選法.

所以教練員做這件事情的方式種數為

Ci7xC!i=136136.

(三)課堂檢測

1.判斷下列問題哪個是排列問題，哪個是組合問題：

(1)從4個風景點中選出2個安排游覽，有多少種不同的方法？

(2)從4個風景點中選出2個，并確定這2個風景點的游覽順序，有多少

種不同的方法？

(1)是組合問題(2)是排列問題

2、(1)平面內有10個點，以其中每2個點為端點的線段共有多少條？

(2)平面內有10個點，以其中每2個點為端點的有向線段共有多少條？

解：(1)以平面內10個點中每2個點為端點的線段的條數，就是從10個不同

的元素中取出2個元素的組合數，即線段條數為CTO=7^=45.

1人乙

（2）由于有向線段的兩個端點中一個是起點、另一個是終點，以平面內

10個點中每2個點為端點的有向線段的條數，就是從10個不同元素中取出2

個元素的排列數，即有向線段條數為Af0=10x9=90.

（四）課堂小結

1.知識收獲：組合概念、組合數公式.

2.方法收獲：化歸.

3.思維收獲：分類討論、化歸思想.

（五）課后作業

課本第25頁練習1、6

五、教學設計

一、復習舊知二、課前預習三、創設情境

四、講授新課五、課堂檢測六、歸納總結

六、板書設計

一、學習目標三、典例分析五、歸納總結

二、知識講解四、課堂檢測六、布置作業

七、課后反思

1、值得肯定之處

2、有待改進之處

河南省淮陽縣實驗高中課時教案

第一章計數原理第一課時總第教案

課型：新授課主備人：王慶云審核人：李俊濤二次備課

§1.2.5組合

一、三維目標

1、知識與技能

了解組合數的性質，會利用組合數的性質簡化組合數的運算；能把一些

計數問題抽象為組合問題解決，會利用組合數公式及其性質求解計數問題.

2、過程與方法

通過具體實例，經歷把具體事例抽象為組合問題，利用組合數公式求解

的過程.

3、情感態度與價值觀

能運用組合要領分析簡單的實際問題，提高分析問題的能力.

二、教學重點、難點

重點：組合數的性質、利用組合數公式和性質求解相關計數問題

難點：利用組合數公式和性質求解相關計數問題.

三、學法與教學用具

1、學法：合作探究

2、教學用具：多媒體

四、教學過程

（-）新課講授

提出問題1：利用上節課所學組合數公式，完成下列練習：

練習:計算:①0）和C-②—一戲與Cg；③Cti+C，

活動設計：學生板演.

活動成果：練習：【答案】①120,120②20,20③792.

提出問題2：由問題1練習中所求的幾個組合數，你有沒有發現一些規

律，能不能總結并證明一下？

活動設計：小組交流后請不同的同學總結補充.

活動成果：

1.性質:(1—⑵cMi=C；'+c；尸.

________n!n!

2.證明:n

d)vcr(〃一機)！[n—(〃—機)]!m!(n-m)!

n!

又c;=

m!!，???-J??

幾!

(2)C7+Cm—1

nm\(n—m)![m-1)!\n-[m-1)]!

幾！(n—〃i+l)+〃！m_(〃一陽+]+1)〃!______(〃+1)!______m

m!(n—m+1)!ml(n—m+1)!m!(n-m+1)!C〃ii，

?「"J_I

(二)運用新知

類型一：組合數的性質

例i.(D計算：cHcl+ci+cS；

⑵求證:C>2=CM+2cA+C；2.

(1)解:原式=C[+d+C$=Cg+C$=C$o=C%=21O；

(2)證明：右邊=?,+。7)+((2『+*y)=0|+。；*=02=左邊

類型二：有約束條件的組合問題

例2.在100件產品中，有98件合格品，2件次品.從這100件產品中任

意抽出3件.

(1)有多少種不同的抽法？

(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種？

(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種？

解：(1)所求的不同抽法的種數，就是從100件產品中取出3件的組合數,

所以共有

100x99x98

C；oo=

1x2x3=161700種.

(2)從2件次品中抽出1件次品的抽法有C；種，從98件合格品中抽出2

件合格品的抽法有廢8種，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有

c3xC：8=95O6種.

(3)解法1：從100件產品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件

次品和有2件次品兩種情況.在第(2)小題中已求得其中1件是次品的抽法有

CSC嬴種，因此根據分類加法計數原理，抽出的3件中至少有一件是次品的

抽法有

CxC；8+C衣C%=9604種.

解法2：抽出的3件產品中至少有1件是次品的抽法的種數，也就是從

100件中抽出3件的抽法種數減去3件中都是合格品的抽法的種數，即

CIOO-C18=161700-152096=9604種.

例3、按下列條件，從12人中選出5人，有多少種不同選法？

(1)甲、乙、丙三人必須當選；

(2)甲、乙、丙三人不能當選；

(3)甲必須當選，乙、丙不能當選；

(4)甲、乙、丙三人只有一人當選；

(5)甲、乙、丙三人至多2人當選；

(6)甲、乙、丙三人至少1人當選；

解:(1)這戲=36；(2)一解=126；(3)C；C9=126；(4)C]C《=378；

(5)方法一：(直接法)C?c9+C；Cd+C：cS=756,

方法二：(間接法)C%—C1C；=756；

(6)方法一：(直接法)C；Cj+C，C$+RC；=666,

方法二：(間接法)C%—C?笳=666.

(三)課堂檢測

1、4名男生和6名女生組成至少有1個男生參加的三人社會實踐活動小

組，問組成方法共有多少種？

解法一：(直接法)小組構成有三種情形：3男，2男1女，1男2女，分

別有C：,C8。,C；xC看種方法，

所以，一共有C；+CacB+C]x或=100種方法.

解法二：(間接法)C；。-M=100.

(四)課堂小結

1.知識收獲：組合數的性質，用組合數公式解決簡單的計數問題.

2.方法收獲：化歸的思想方法.

3.思維收獲：化歸的思想方法.

（六）課后作業

課本第25頁練習2、3、4

五、教學設計

一、復習舊知二、課前預習三、創設情境

四、講授新課五、課堂檢測六、歸納總結

六、板書設計

一、學習目標三、典例分析五、歸納總結

二、知識講解四、課堂檢測六、布置作業

七、課后反思

1、值得肯定之處

2、有待改進之處

河南省淮陽縣實驗高中課時教案

第一章計數原理第一課時總第教案

課型：新授課主備人：王慶云審核人：李俊濤二次備課

§1.2.6組合

一、三維目標

1、知識與技能

理解排列組合的區別和聯系，綜合運用排列組合解決計數問題.

2、過程與方法

通過具體實例，經歷把具體事例抽象為排列組合問題，利用排列、組合

數公式求解的過程.

3、情感態度與價值觀

能運用排列組合要領分析簡單的實際問題，提高分析問題的能力

二、教學重點、難點

重點：綜合運用排列組合解決計數問題

難點：綜合運用排列組合解決計數問題.

三、學法與教學用具

1、學法：合作探究

2、教學用具：多媒體

四、教學過程

典型例題

類型一：排數字問題

例1.(1)用0,1,2,3,4能組成多少個無重復數字的四位數？

(2)這四位數中能被3整除的數有多少個？

解：(1)直接分類法：

①特殊元素分析法：分兩類：選0,有A；A：=72個；不選0,有A：=24

個.根據分類加法計數原理可得共有72+24=96個.

②特殊位置分析法：先考慮首位，可以從L2,3,4四個數字中任取一個,

共A：種方法，再考慮其他三個位置，可以從剩下的四個數字中任取3個，即

A；種方法.根據分步乘法計數原理共有A：A：=96種方法，即96個無重復數字

的四位數.

③間接排除法：先從五個數字中任取四個排成四位數：At再排除不符

合要求的四位數，即0在首位的四位數：A；則共有A；—A：=96個.

(2)能被3整除的四位數應該是四位數