2.1.5平面上兩點間的距離一、基礎過關1．已知點A(－3,4)和B(0，b)，且AB＝5，則b＝________.2．以A(1,5)，B(5,1)，C(－9，－9)為頂點的三角形為__________三角形．3．設點A在x軸上，點B在y軸上，AB的中點是P(2，－1)，則AB＝________.4．已知點A(1,2)，B(3,1)，則到A，B兩點距離相等的點的坐標滿足的條件是__________．5．已知A(－3,8)，B(2,2)，在x軸上有一點M，使得MA＋MB最短，則點M的坐標是________．6．設A，B是x軸上兩點，點P的橫坐標為2，且PA＝PB，若直線PA的方程為x－y＋1＝0，則直線PB的方程為____________．7．證明平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對角線的平方和．8．已知△ABC的頂點A(3，－1)，AB邊上的中線所在直線的方程為6x＋10y－59＝0，∠B的平分線所在直線的方程為x－4y＋10＝0，求BC邊所在直線的方程．二、能力提升9．已知點A(x,5)關于點C(1，y)的對稱點是B(－2，－3)，則點P(x，y)到原點的距離是_______．10．點M到x軸和到點N(－4,2)的距離都等于10，則點M的坐標為______________．11．等腰△ABC的頂點是A(3,0)，底邊長BC＝4，BC邊的中點是D(5,4)，則此三角形的腰長為________．12．△ABC中，D是BC邊上任意一點(D與B，C不重合)，且AB2＝AD2＋BD·DC.求證：△ABC為等腰三角形．三、探究與拓展13．已知直線l過點P(3,1)且被兩平行直線l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y＋6＝0截得的線段長為5，求直線l的方程．

答案1．0或82．等腰3．2eq\r(5)4．4x－2y＝55．(1,0)6．x＋y－5＝07．證明如圖所示，以頂點A為坐標原點，AB邊所在的直線為x軸，建立直角坐標系，有A(0,0)．設B(a,0)，D(b，c)，由平行四邊形的性質得點C的坐標為(a＋b，c)，因為AB2＝a2，CD2＝a2，AD2＝b2＋c2，BC2＝b2＋c2，AC2＝(a＋b)2＋c2，BD2＝(b－a)2＋c2.所以AB2＋CD2＋AD2＋BC2＝2(a2＋b2＋c2)，AC2＋BD2＝2(a2＋b2＋c2)．所以AB2＋CD2＋AD2＋BC2＝AC2＋BD2.因此，平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對角線的平方和．8．解設A關于∠B的平分線的對稱點為A′(x0，y0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x0＋3,2)－4×\f(y0－1,2)＋10＝0，,\f(y0＋1,x0－3)×\f(1,4)＝－1.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝1，,y0＝7.))即A′(1,7)．設B的坐標為(4a－10，a所以AB的中點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4a－7,2)，\f(a－1,2)))在直線6x＋10y－59＝0上，所以6×eq\f(4a－7,2)＋10×eq\f(a－1,2)－59＝0，所以a＝5，即B(10,5)．由直線的兩點式方程可得直線BC的方程為2x＋9y－65＝0.9.eq\r(17)10．(2,10)或(－10,10)11．2eq\r(6)12．證明作AO⊥BC，垂足為O，以BC所在直線為x軸，以OA所在直線為y軸，建立直角坐標系(如右圖所示)．設A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，D(d,0)．因為AB2＝AD2＋BD·DC，所以，由距離公式可得b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)(c－d)，即－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d)．又d－b≠0，故－b－d＝c－d，即－b＝c.所以AB＝AC，即△ABC為等腰三角形．13．解方法一若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x＝3，此時與直線l1，l2的交點分別是A(3，－4)，B(3，－9)，截得的線段AB的長為AB＝|－4＋9|＝5，符合題意．若直線l的斜率存在，則設直線l的方程為y＝k(x－3)＋1，分別與直線l1，l2的方程聯立，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－3＋1,x＋y＋1＝0))，解得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3k－2,k＋1)，\f(1－4k,k＋1))).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－3＋1,x＋y＋6＝0))，解得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3k－7,k＋1)，\f(1－9k,k＋1)))，由兩點間的距離公式，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3k－2,k＋1)－\f(3k－7,k＋1)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－4k,k＋1)－\f(1－9k,k＋1)))2＝25，解得k＝0，即所求直線方程為y＝1.綜上可知，直線l的方程為x＝3或y＝1.方法二設直線l與直線l1，l2分別相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則x1＋y1＋1＝0，x2＋y2＋6＝0，兩式相減，得(x1－x2)＋(y1－y2)＝5 ①又(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝25 ②聯立①②可得eq\b\lc\{\rc\