22.4矩形第二十二章四邊形第1課時矩形及其性質逐點導講練課堂小結作業提升學習目標課時講解1課時流程2矩形及其對稱性矩形的邊角性質矩形的對角線性質課時導入兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.ABCD四邊形ABCD如果AB∥CDAD∥BCBD?ABCDAC平行四邊形的性質：邊平行四邊形的對邊平行；平行四邊形的對邊相等；角平行四邊形的對角相等；平行四邊形的鄰角互補；對角線平行四邊形的對角線互相平分；課時導入我們已經知道平行四邊形是特殊的四邊形，因此平行四邊形除具有四邊形的性質外，還有它的特殊性質，同樣對于平行四邊形來說有特殊情況即特殊的平行四邊形，也，這堂課我們就來研究一種恃殊的平行四邊形——矩形.一個角是直角兩組對邊分別平行平行四邊形矩形知識點矩形及其對稱性知1－講感悟新知11.如圖，剪出一個矩形紙片ABCD，點O是這個矩形的中心.請你用折疊的方法，驗證它是軸對稱圖形.

矩形有幾條對稱軸.它們都經過矩形的中心嗎？知1－講感悟新知2.四邊形具有不穩定性，即當一個四邊形的四條邊長

保持不變時，它的形狀卻是可以改變的.如圖，使

一個平行四邊形保持四條邊長不變，而將一個內角α由鈍角先變成直角，再變成銳角.知1－講感悟新知在這個過程中：(1)這個四邊形總是平行四邊形嗎？(2)當α=90°時，其余三個內角各是多少度的角？(3)當α=90°時，兩條對角線的長有什么關系？知1－講歸納感悟新知矩形既是中心對稱圖形，也是軸對稱圖形.知1－講感悟新知特別解讀：1.矩形必須具備兩個條件：（1）它是一個平行四邊形；（2）_x0007_它有一個角是直角，這兩個條件缺一不可2.由矩形的定義知，矩形一定是平行四邊形，但平行四邊形不一定是矩形.矩形的定義可以作為判定一個四邊形是矩形的一種方法.知1－講感悟新知例1[一題多解]如圖，直線EF過矩形ABCD對角線的交點O，分別交AB、CD于點E、F，若AB＝3，BC＝4，那么陰影部分的面積為________．導引：由題意易得到△OEB≌△OFD，將陰影部分的面積轉化為規則的幾何圖形的面積進行計算．3知1－講感悟新知解：方法一：∵四邊形ABCD是矩形，∴由矩形中心對稱的性質知S△EBO＝S△FDO，∴陰影部分的面積為矩形面積的.∴S陰影部分＝S△ABO＝×3×4＝3.知1－講感悟新知方法二：在矩形ABCD中，OB＝OD，∠EBO＝∠FDO.在△OEB與△OFD中，∴△OEB≌△OFD.∴S陰影部分＝S△ABO＝

S矩形ABCD＝×3×4＝3.知1－講歸納感悟新知

矩形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，根據對稱性將陰影部分的面積轉化為規則的幾何圖形的面積求解．體現了轉化思想．知1－練感悟新知1.下列說法不正確的是(

)A．矩形是平行四邊形B．矩形不一定是平行四邊形C．有一個角是直角的平行四邊形是矩形D．矩形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形B知1－練感悟新知2.【中考·菏澤】在?ABCD中，AB＝3，BC＝4，連接AC，BD，當?ABCD的面積最大時，下列結論正確的有(

)①AC＝5；②∠BAD＋∠BCD＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD.A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④B感悟新知知識點矩形的邊角性質2知2－講因為矩形是平行四邊形，所以它具有平行四邊形的所有性質.由于它有一個角為直角，它是否具有一般平行四邊形不具有的一些特殊性質呢？思考感悟新知知2－講(1)取一張矩形的紙片，分別沿它的兩組對邊的中點所在

的直線折疊，你發現矩形是軸對稱圖形嗎?如果是，它

有幾條對稱軸？(2)利用矩形的軸對稱性質，由矩形的一個角是直角，你

發現矩形的另外三個角有什么性質?證明你的結論．知2－講歸納感悟新知矩形的四個角都是直角.感悟新知例2知2－講

如圖所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于點E，

∠DAE∶∠BAE＝3∶1，求∠BAO和∠EAO的度數．感悟新知知2－講導引：由∠DAE與∠BAE之和為矩形的一個內角及兩角之比即可求出∠DAE和∠BAE的度數，從而得出∠ABE的度數，由矩形的性質易得∠BAO＝∠ABE，即可求出∠BAO的度數，再由∠EAO＝∠BAO－∠BAE可得∠EAO的度數．感悟新知知2－講解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，AO＝

AC，BO＝

BD，AC＝BD.∴∠BAE＋∠DAE＝90°，AO＝BO.又∵∠DAE∶∠BAE＝3∶1，∴∠BAE＝22.5°，∠DAE＝67.5°.∵AE⊥BD，∴∠ABE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°.∵AO＝BO，∴∠BAO＝∠ABE＝67.5°.∴∠EAO＝∠BAO－∠BAE＝67.5°－22.5°＝45°.知2－講歸納感悟新知

矩形的每條對角線把矩形分成兩個直角三角形，矩形的兩條對角線將矩形分成四個等腰三角形，因此有關矩形的計算問題經常通過轉化到直角三角形和等腰三角形中來解決．知2－練感悟新知1已知：如圖，E為矩形ABCD的邊AD的中點，連接BE，CE.求證：△EBC是等腰三角形.解：在矩形ABCD中，AB＝CD，∠A＝∠D＝90°，∵E為AD的中點，∴AE＝DE，在△ABE和△DCE中，∴△ABE≌△DCE.∴EB＝EC，∴△EBC是等腰三角形．知2－練感悟新知2.如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，對角線AC與BD相交于點O，EF經過點O且分別與AB，CD相交于點E，F，則圖中陰影部分的面積為________．3知2－練感悟新知3.如圖，點E是矩形ABCD的邊AD延長線上的一點，且AD＝DE，連接BE交CD于點O，連接AO，下列結論中不正確的是(

)A．△AOB≌△BOC

B．△BOC≌△EODC．△AOD≌△EOD

D．△AOD≌△BOCA知2－練感悟新知【中考·西寧】如圖，點O是矩形ABCD的對角線AC的中點，OM∥AB交AD于點M，若OM＝3，BC＝10，則OB的長為(

)A．5B．4C.D.D知2－練感悟新知5.【中考·安順】如圖，在矩形紙片ABCD中，AD＝4cm，把紙片沿直線AC折疊，點B落在E處，AE交DC于點O.若AO＝5cm，則AB的長為(

)A．6cmB．7cmC．8cmD．9cmC知2－練感悟新知6.【中考·紹興】在探索“尺規三等分角”這個數學名題的過程中，曾利用了如圖所示的圖形．該圖中，四邊形ABCD是矩形，E是BA延長線上一點，F是CE上一點，∠ACF＝∠AFC，∠FAE＝∠FEA.若∠ACB＝21°，則∠ECD的度數是(

)A．7°B．21°C．23°D．24°C感悟新知知識點矩形的對角線性質3知3－講任意畫一個矩形，作出它的兩條對角線，并比較它們的長．你有什么發現?已知：如圖所示，四邊形ABCD是矩形．求證：AC=DB．感悟新知知3－講證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠DCB=90°(矩形的性質定理1)．∵AB=CD(平行四邊形的對邊相等)，BC=CB．∴△ABC≌△DCB(SAS).∴AC=DB．于是，就得到矩形的性質：矩形的對角線相等.知3－講歸納感悟新知矩形的對角線相等.感悟新知知2－講例3如圖，矩形ABCD兩條對角線相交于點O，∠AOD=120°，AB=4cm.求矩形對角線的長.解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，AO=OC=BO=OD.∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°.∴∠AOB是等邊三角形.∴AO=BO=AB=4cm，AC=AO+OC=AO+OB=8(cm),即矩形ABCD對角線的長為8cm.知3－講歸納感悟新知因為矩形的對角線相等且互相平分，所以矩形的對角線將矩形分成了四個等腰三角形，再由特殊角可得到特殊的三角形——等邊三角形，利用等邊三角形的性質即可求解．知3－練感悟新知1.矩形具有而一般平行四邊形不一定具有的性質是__________________________________________________________________________.①矩形的四個內角都是直角；②矩形的兩條對角線相等知3－練感悟新知2.如圖，四邊形ABCD為矩形，指出圖中相等的線段和角.解：相等的線段：AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD，OA＝OC＝OB＝OD.相等的角：∠BAD＝∠ADC＝∠BCD＝∠ABC，∠AOB＝∠DOC，∠AOD＝∠BOC，∠OAB＝∠ABO＝∠ODC＝∠OCD，∠OAD＝∠ODA＝∠OBC＝∠OCB.知3－練感悟新知3.已知矩形ABCD的邊AB=4，BC=5.求對角線AC的長.解：如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，∠ABC＝90°.∴AC＝知3－練感悟新知4.如圖，在矩形ABCD中，E為AD上一點，EF丄CE，交AB于點F，DE=2.矩影的周長為16，且CE=EF.求AE的長.知3－練感悟新知解：在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，AD＝BC，AB＝CD，∵EF⊥CE，∴∠FEC＝90°，∴∠AEF＋∠DEC＝90°，∵∠DEC＋∠DCE＝90°，∴∠AEF＝∠DCE.在△AEF和△DCE中，∴△AEF≌△DCE，∴AE＝CD，設AE＝x，則CD＝x，AD＝x＋2.∵矩形的周長為16，∴2(x＋x＋2)＝16.解得x＝3.即AE＝3.知3－練感悟新知證明：在矩形ABCD中，AB∥CD，AC＝BD，因為AB∥CE，BE∥AC，所以四邊形ABEC是平行四邊形．所以AC＝BE，又因為AC＝BD，所以BD＝BE.5.已知：如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，過點B作BE∥AC，交DC的延長線于點E.求證：BD=BE.知3－練感悟新知6.已知：如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P為AD上一點，過點P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分別為E，F.求PE+PF的值.知3－練感悟新知解：連接PO，在矩形ABCD中，AC＝BD＝

＝5.OA＝OD＝

AC＝

BD＝.S△AOD＝S△AOP＋S△DOP＝

OA·PE＋

OD·PF＝OA·(PE＋PF)＝

S△ADC＝×AD·DC＝3.故PE＋PF＝.知3－練感悟新知7.如圖，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E為CD的中點，連接AE并延長，交BC的延長線于點F，連接DF.求DF的長.知3－練感悟新知解：連接AC，在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∠ADC＝∠DCF＝90°，因為E為CD的中點，所以DE＝CE.因為AD∥CF，所以∠DAE＝∠CFE.在△ADE和△FCE中，所以△ADE≌△FCE，知3－練感悟新知所以CF＝AD，又因為AD＝BC，所以BC＝CF，又因為DC⊥BF，所