四川省天府教育大聯考2025屆數學高二上期末統考試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數，則下列判斷正確的是（）A.直線與曲線相切B.函數只有極大值，無極小值C.若與互為相反數，則的極值與的極值互為相反數D.若與互為倒數，則的極值與的極值互為倒數2．已知正方形ABCD的邊長為2，E，F分別為CD，CB的中點，分別沿AE，AF將三角形ADE，ABF折起，使得點B，D恰好重合，記為點P，則AC與平面PCE所成角等于（）A. B.C. D.3．有3個興趣小組，甲、乙兩位同學各自參加其中一個小組，每位同學參加各個小組的可能性相同，則這兩位同學參加同一個興趣小組的概率為A. B.C. D.4．定義運算：．已知，都是銳角，且，，則（）A. B.C. D.5．已知雙曲線的一條漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點.則C的方程為（）A. B.C. D.6．在如圖所示的莖葉圖中，若甲組數據的眾數為16，則乙組數據的平均數為（）A.12 B.10C.8 D.67．雙曲線的漸近線方程為A. B.C. D.8．已知拋物線的焦點為F，點A在拋物線上，直線FA與拋物線的準線交于點M，O為坐標原點.若，且，則（）A.1 B.2C.3 D.49．已知、是橢圓的兩個焦點，P為橢圓C上一點，且，若的面積為9，則的值為（）A.1 B.2C.3 D.410．已知函數滿足，則曲線在點處的切線方程為（）A. B.C. D.11．已知圓的方程為，直線：恒過定點，若一條光線從點射出，經直線上一點反射后到達圓上的一點，則的最小值是（）A.3 B.4C.5 D.612．設、是兩條不同的直線，、、是三個不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．中國三大名樓之一的黃鶴樓因其獨特的建筑結構而聞名，其外觀有五層而實際上內部有九層，隱喻“九五至尊”之意，為迎接2022年春節的到來，有網友建議在黃鶴樓內部掛燈籠進行裝飾，若在黃鶴樓內部九層塔樓共掛1533盞燈籠，且相鄰的兩層中，下一層的燈籠數是上一層燈籠數的兩倍，則內部塔樓的頂層應掛______盞燈籠14．已知橢圓()中，成等比數列，則橢圓的離心率為_______.15．數列的前項和為，若，則=____________.16．已知函數在處有極值．則=________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線C：上一點到焦點F的距離為2（1）求實數p的值；（2）若直線l過C的焦點，與拋物線交于A，B兩點，且，求直線l的方程18．（12分）已知拋物線焦點是，斜率為的直線l經過F且與拋物線相交于A、B兩點（1）求該拋物線的標準方程和準線方程；（2）求線段AB的長19．（12分）如圖，在三棱柱中，平面ABC，，，，點D，E分別在棱和棱上，且，，M為棱的中點（1）求證：；（2）求直線AB與平面所成角的正弦值20．（12分）已知橢圓的離心率是，且過點.（1）求橢圓的標準方程；（2）若直線與橢圓交于A、B兩點，線段的中點為，為坐標原點，且，求面積的最大值.21．（12分）已知函數其中.（1）當時，求函數的單調區間；（2）當時，函數有兩個零點，，滿足，證明.22．（10分）已知橢圓的一個頂點為，離心率為（1）求橢圓C的方程；（2）若直線l與橢圓C交于M、N兩點，直線BM與直線BN的斜率之積為，證明直線l過定點并求出該定點坐標

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】求出函數的導函數，通過在某點處的導數為該點處切線的斜率，求出切線方程，并且判斷出極值，通過結合與互為相反數，若與互為倒數，分別判斷的極值與的極值是否互為相反數，以及是否互為倒數.【詳解】，，令，得，所以，因為，，所以曲線在點處的切線方程為，故A錯；當時，存在使，且當時，；當時，，即有極小值，無極大值，故B錯誤；設為的極值點，則，且，所以，，當時，；當時，，故C正確，D錯誤.2、A【解析】如圖，以PE，PF，PA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，利用空間向量求解【詳解】由題意得，因為正方形ABCD的邊長為2，E，F分別為CD，CB的中點，所以，所以，所以所以PA，PE，PF三線互相垂直，故以PE，PF，PA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則，，，，設，則由，，，得，解得，則設平面的法向量為，則，令，則，因為，所以AC與平面PCE所成角的正弦值，因為AC與平面PCE所成角為銳角，所以AC與平面PCE所成角為，故選：A3、A【解析】每個同學參加的情形都有3種，故兩個同學參加一組的情形有9種，而參加同一組的情形只有3種，所求的概率為p=選A4、B【解析】，只需求出與的正、余弦值即可，用平方關系時注意角的范圍.【詳解】解：因為，都是銳角，所以，，因為，所以，即，，所以，，因為，所有，故選：B.【點睛】信息給予題，已知三角函數值求三角函數值，考查根據三角函數的恒等變換求值，基礎題.5、B【解析】根據已知和漸近線方程可得，雙曲線焦距，結合的關系，即可求出結論.【詳解】因為雙曲線的一條漸近線方程為，則①.又因為橢圓與雙曲線有公共焦點，雙曲線的焦距，即c＝3，則a2＋b2＝c2＝9②.由①②解得a＝2，b＝，則雙曲線C的方程為.故選：B.6、A【解析】根據眾數的概念，求得的值，再根據平均數的計算公式，即可求解.【詳解】由題意，甲組數據的眾數為16，得，所以乙組數據的平均數為故選：A.7、A【解析】根據雙曲線的漸近線方程知，，故選A.8、D【解析】設，由和在拋物線上，求出和，利用求出p.【詳解】過A作AP垂直x軸與P.拋物線的焦點為，準線方程為.設，因為，所以，解得：.因為在拋物線上，則.所以，即，解得：.故選：D9、C【解析】根據橢圓定義，和條件列式，再通過變形計算求解.【詳解】由條件可知，，即，解得：.故選：C【點睛】本題考查橢圓的定義，焦點三角形的性質，重點考查轉化與變形，計算能力，屬于基礎題型.10、A【解析】求出函數的導數，利用導數的定義求解，然后求解切線的斜率即可【詳解】解：函數，可得，，可得，即，所以，可得，解得，所以，所以曲線在點處的切線方程為故選：A11、B【解析】求得定點，然后得到關于直線對稱點為，然后可得，計算即可.【詳解】直線可化為，令解得所以點的坐標為.設點關于直線的對稱點為，則由,解得,所以點坐標為.由線段垂直平分線的性質可知，，所以（當且僅當，，，四點共線時等號成立），所以的最小值為4.故選:B.12、B【解析】根據線線、線面、面面的位置關系，對選項進行逐一判斷即可.【詳解】選項A.一條直線垂直于一平面內的，兩條相交直線，則改直線與平面垂直則由，不能得出，故選項A不正確.選項B.,則正確，故選項B正確.選項C若，則與可能相交，可能異面，也可能平行，故選項C不正確.選項D.若，則與可能相交，可能平行，故選項D不正確.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據給定條件，各層燈籠數從上到下排成一列構成等比數列，利用等比數列前n項和公式計算作答.【詳解】依題意，各層燈籠數從上到下排成一列構成等比數列，公比，前9項和為1533，于是得，解得，所以內部塔樓的頂層應掛3盞燈籠.故答案為：314、【解析】根據成等比數列，可得，再根據的關系可得，然后結合的自身范圍解方程即可求出【詳解】∵成等比數列，∴，∴，∴，∴，又，∴故答案為：【點睛】本題主要考查橢圓的離心率的計算以及等比數列定義的應用，意在考查學生的數學運算能力，屬于基礎題15、【解析】利用裂項相消法求和即可.【詳解】解：因為，所以.故答案為：.16、4【解析】根據極值點概念求解【詳解】，由題意得，，經檢驗滿足題意故答案為：4三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）2（2）或【解析】（1）根據拋物線上的點到焦點與準線的距離相等可得到結果（2）通過聯立拋物線與直線方程利用韋達定理求解關系式即可得到結果【小問1詳解】拋物線焦點為，準線方程為，因為點到焦點F距離為2，所以，解得【小問2詳解】拋物線C的焦點坐標為，當斜率不存在時，可得不滿足題意，當斜率存在時，設直線l的方程為聯立方程，得，顯然，設，，則，所以，解得所以直線l的方程為或18、（1）拋物線的方程為，其準線方程為，（2）【解析】（1）根據焦點可求出的值，從而求出拋物線的方程，即可得到準線方程；（2）設，，，，將直線的方程與拋物線方程聯立消去，整理得，得到根與系數的關系，由拋物線的定義可知，代入即可求出所求【小問1詳解】解：由焦點，得，解得所以拋物線的方程為，其準線方程為，【小問2詳解】解：設，，，直線的方程為.與拋物線方程聯立，得，消去，整理得，由拋物線定義可知，所以線段的長為19、（1）證明見解析；（2）【解析】（1）由線面垂直、等腰三角形的性質易得、，再根據線面垂直的判定及性質證明結論；（2）構建空間直角坐標系，確定相關點坐標，進而求的方向向量、面的法向量，應用空間向量夾角的坐標表示求直線與平面所成角的正弦值.【小問1詳解】在三棱柱中，平面，則平面，由平面，則，，則，又為的中點，則，又，則平面，由平面，因此，.【小問2詳解】以為原點，以，，為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，如圖所示，可得：，，，，，，.∴，，，，設為面的法向量，則，令得，設與平面所成角為，則，∴直線與平面所成角的正弦值為.20、（1）；（2）2.【解析】(1)根據已知條件列出關于a、b、c的方程組即可求得橢圓標準方程；(2)直線l和x軸垂直時，根據已知條件求出此時△AOB面積；直線l和x軸不垂直時，設直線方程為點斜式y＝kx＋t，代入橢圓方程得二次方程，結合韋達定理和弦長得k和t關系，表示出△AOB的面積，結合基本不等式即可求解三角形面積最值.【小問1詳解】由題知，解得，∴橢圓的標準方程為.【小問2詳解】當軸時，位于軸上，且，由可得，此時；當不垂直軸時，設直線的方程為，與橢圓交于，，由，得.得，，從而已知，可得.∵.設到直線的距離為，則，結合化簡得此時的面積最大，最大值為2.當且僅當即時取等號，綜上，的面積的最大值為2.21、（1）單調遞增區間,無遞減區間；（2）證明見解析【解析】（1）求出函數的導數，從而判斷其正負，確定函數的單調區間；（2）根據題意可得到，進而變形為，然后換元令，將證明的問題轉換為成立的問題，從而構造新函數，求新函數的導數，判斷其單調性，求其最值，進而證明不等式成立.【小問1詳解】時，，,令，當時，，當時，，故，則，故是單調遞增函數，即的單調遞增區間為,無遞減區間；【小問2詳解】當時，函數有兩個零點，，滿足,即，所以，則，令，由于，則，則x2=tx故，要證明，只需證明，即證，設，令，則，當時，，即在時為增函數，故，即，所以在時為增函數，即，即，故，即.【點睛】本題考查了利用導數求函數的單調區間以及涉及到零點的不等式的證明問題，解答時要注意導數的應用，主要是根據導數的正負判斷函數的單調性，進而求函數極值或最值，解答的關鍵時對函數式或者不等式進行合理的變形，進而能構造新的函數，利用新的函數的單調性或最值達到證明不等式成立的目的m.22、（1）；（2）答案見解析，直線過定點.【解析】（1）首先根據