專題06函數的性質（2）題型一函數的對稱性函數的對稱性要注意一下三點：（1）關于軸對稱（當時，恰好就是偶函數）（2）關于軸對稱（3）是偶函數，則，進而可得到：關于軸對稱。最突出的作用為“知一半而得全部”，即一旦函數具備對稱性，則只需要分析一側的性質，便可得到整個函數的性質，主要體現在以下幾點：（1）可利用對稱性求得某些點的函數值（2）在作圖時可作出一側圖像，再利用對稱性得到另一半圖像（3）極值點關于對稱軸（對稱中心）對稱（4）在軸對稱函數中，關于對稱軸對稱的兩個單調區間單調性相反；在中心對稱函數中，關于對稱中心對稱的兩個單調區間單調性相同例1、（2021·山東菏澤市·高三期末）已知函數對任意的都有，若的圖象關于直線對稱，且，則______．變式1、（2020屆山東省日照市高三上期末聯考）已知定義在上的函數滿足條件，且函數為奇函數，則（）A．函數是周期函數 B．函數的圖象關于點對稱C．函數為上的偶函數 D．函數為上的單調函數變式2、（2020屆浙江省寧波市鄞州中學高三下期初）已知是定義在上的奇函數，且的圖像關于直線對稱.若當時，，則（）A．0 B．1 C．2 D．4變式3、（2021·山東青島市·高三二模）已知定義在上的函數的圖象連續不斷，有下列四個命題：甲：是奇函數；乙：的圖象關于直線對稱；丙：在區間上單調遞減；丁：函數的周期為2.如果只有一個假命題，則該命題是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁變式4、（2018年徐州模擬）已知，方程在內有且只有一個，則在區間內根的個數為題型二單調性與奇偶性的結合例2、【2020年高考全國Ⅱ卷理數】設函數，則f(x)A．是偶函數，且在單調遞增 B．是奇函數，且在單調遞減C．是偶函數，且在單調遞增 D．是奇函數，且在單調遞減變式1、【2019年高考全國Ⅲ卷理數】設是定義域為R的偶函數，且在單調遞減，則A．（log3）＞（）＞（）B．（log3）＞（）＞（）C．（）＞（）＞（log3）D．（）＞（）＞（log3）變式2、（2020屆山東省日照市高三上期末聯考）已知定義在上的函數滿足條件，且函數為奇函數，則（）A．函數是周期函數 B．函數的圖象關于點對稱C．函數為上的偶函數 D．函數為上的單調函數題型三性質的結合例3、（2021·興寧市第一中學高三期末）已知函數為R上的奇函數，且圖象關于點對稱，且當時，，則函數在區間上的（）A．最小值為 B．最小值為 C．最大值為 D．最大值為變式1、（2021·江蘇揚州市高三模擬）已知定義在上的奇函數在上單調遞減，且滿足，則關于的不等式的解集為（）A． B．C． D．變式2、（福建省泉州市2021屆高三聯考）在平面直角坐標系中，如圖放置的邊長為的正方形沿軸滾動（無滑動滾動），點恰好經過坐標原點，設頂點的軌跡方程是，則對函數的判斷正確的是()A．函數是奇函數 B．對任意的，都有C．函數的值域為 D．函數在區間上單調遞增變式3、（2020·湖北荊州市·高三月考）對于定義在R上的函數，下列命題中正確的有（）A．若為奇函數，則B．若，當時，恒有成立，則為減函數C．若函數為偶函數，為奇函數.則為周期函數且最小正周期為4D．若函數為奇函數且在上有最大值1，則在上有最小值1、（2021·山東濟南市·高三二模）已知函數，則下列說法正確的是（）A．為奇函數 B．為減函數C．有且只有一個零點 D．的值域為2、（2020屆山東省濱州市三校高三上學期聯考）已知定義在上的函數滿足，且圖像關于對稱，當時，，則________.3、（江蘇省如皋市2019-2020學年高三上學期10月調研）設函數，則不等式的解集為_____________.4、（湖北省宜昌市2020-2021學年高三聯考）已知函數，則（）A．的最小正周期是B．的圖像可由函數的圖像向左平移個單位而得到C．是的一條對稱軸D．的一個對稱中心是5、（湖南省衡陽市2020-2021學年高三模擬）已知函數，則下列結論中，正確的有（）A．是的最小正周期B．在上單調遞增C．的圖象的對稱軸為直線D．的值域為6、（2021·天津高三三模）已知為定義在上的偶函數，當時，有，且時；，給出下列命題：①；②函數在定義域上是周期為2的周期函數；③直線與函數的圖象有1個交點；④函數的值域為，其中正確命題有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個專題06函數的性質（2）題型一函數的對稱性函數的對稱性要注意一下三點：（1）關于軸對稱（當時，恰好就是偶函數）（2）關于軸對稱（3）是偶函數，則，進而可得到：關于軸對稱。最突出的作用為“知一半而得全部”，即一旦函數具備對稱性，則只需要分析一側的性質，便可得到整個函數的性質，主要體現在以下幾點：（1）可利用對稱性求得某些點的函數值（2）在作圖時可作出一側圖像，再利用對稱性得到另一半圖像（3）極值點關于對稱軸（對稱中心）對稱（4）在軸對稱函數中，關于對稱軸對稱的兩個單調區間單調性相反；在中心對稱函數中，關于對稱中心對稱的兩個單調區間單調性相同例1、（2021·山東菏澤市·高三期末）已知函數對任意的都有，若的圖象關于直線對稱，且，則______．【答案】3【解析】因為的圖象關于直線對稱，所以的圖象關于軸對稱，所以為偶函數，令則，所以，又，則,所以周期為6，所以,故答案為：3變式1、（2020屆山東省日照市高三上期末聯考）已知定義在上的函數滿足條件，且函數為奇函數，則（）A．函數是周期函數 B．函數的圖象關于點對稱C．函數為上的偶函數 D．函數為上的單調函數【答案】ABC【解析】因為，所以，即，故A正確；因為函數為奇函數，所以函數圖像關于原點成中心對稱，所以B正確；又函數為奇函數，所以，根據，令代有，所以，令代有，即函數為上的偶函數，C正確；因為函數為奇函數，所以，又函數為上的偶函數，，所以函數不單調，D不正確.故選：ABC.變式2、（2020屆浙江省寧波市鄞州中學高三下期初）已知是定義在上的奇函數，且的圖像關于直線對稱.若當時，，則（）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】C【解析】是定義在上的奇函數，的圖像關于直線對稱，，，是周期為的周期函數，.故選:C.變式3、（2021·山東青島市·高三二模）已知定義在上的函數的圖象連續不斷，有下列四個命題：甲：是奇函數；乙：的圖象關于直線對稱；丙：在區間上單調遞減；丁：函數的周期為2.如果只有一個假命題，則該命題是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】D【解析】由連續函數的特征知：由于區間的寬度為2，所以在區間上單調遞減與函數的周期為2相互矛盾，即丙、丁中有一個為假命題；若甲、乙成立，即，，則，所以，即函數的周期為4，即丁為假命題.由于只有一個假命題，則可得該命題是丁，故選：D.變式4、（2018年徐州模擬）已知，方程在內有且只有一個，則在區間內根的個數為【答案】2018【解析】，可得關于軸對稱，因為在內有且只有一個零點，所以由對稱性可得在只有兩個零點。所以一個周期中含有兩個零點，區間共包含1009個周期，所以有2018個零點變式5、（2019年宿遷中學模擬）已知定義在上的函數滿足：，當時，，則______________【答案】-【解析】：由可得：關于中心對稱，由可得：關于軸對稱，所以可求出的周期，則題型二單調性與奇偶性的結合例2、【2020年高考全國Ⅱ卷理數】設函數，則f(x)A．是偶函數，且在單調遞增 B．是奇函數，且在單調遞減C．是偶函數，且在單調遞增 D．是奇函數，且在單調遞減【答案】D【解析】由得定義域為，關于坐標原點對稱，又，為定義域上的奇函數，可排除AC；當時，，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，排除B；當時，，在上單調遞減，在定義域內單調遞增，根據復合函數單調性可知：在上單調遞減，D正確.故選：D．本題考查函數奇偶性和單調性的判斷；判斷奇偶性的方法是在定義域關于原點對稱的前提下，根據與的關系得到結論；判斷單調性的關鍵是能夠根據自變量的范圍化簡函數，根據單調性的性質和復合函數“同增異減”性得到結論.變式1、【2019年高考全國Ⅲ卷理數】設是定義域為R的偶函數，且在單調遞減，則A．（log3）＞（）＞（）B．（log3）＞（）＞（）C．（）＞（）＞（log3）D．（）＞（）＞（log3）【答案】C【解析】是定義域為的偶函數，．，又在(0，+∞)上單調遞減，∴，即.故選C．變式2、（2020屆山東省日照市高三上期末聯考）已知定義在上的函數滿足條件，且函數為奇函數，則（）A．函數是周期函數 B．函數的圖象關于點對稱C．函數為上的偶函數 D．函數為上的單調函數【答案】ABC【解析】因為，所以，即，故A正確；因為函數為奇函數，所以函數圖像關于原點成中心對稱，所以B正確；又函數為奇函數，所以，根據，令代有，所以，令代有，即函數為上的偶函數，C正確；因為函數為奇函數，所以，又函數為上的偶函數，，所以函數不單調，D不正確.故選：ABC.題型三性質的結合例3、（2021·興寧市第一中學高三期末）已知函數為R上的奇函數，且圖象關于點對稱，且當時，，則函數在區間上的（）A．最小值為 B．最小值為 C．最大值為 D．最大值為【答案】B【解析】時，，且是減函數，∵是奇函數，∴在上是減函數且又，∴在上是減函數．由的圖象關于點對稱得，又是奇函數，，∴，，即，∴是周期函數，周期為4．∴且，∴，∴．在上遞減，則在上遞減，，而，∴在上的最小值是．故選：B．變式1、（2021·江蘇揚州市高三模擬）已知定義在上的奇函數在上單調遞減，且滿足，則關于的不等式的解集為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意，函數定義在上的奇函數，在單調減，所以在單調減，且若函數，當時，，，此時無解；當時，，可得，，此時無解；當時，，可得，此時成立；當時，可得，，所以，所以當時，滿足不等式，令，可得函數的定義域為，且，所以函數奇函數，所以當時，滿足不等式成立，綜上可得，不等式的解集為.故選：B.變式2、（福建省泉州市2021屆高三聯考）在平面直角坐標系中，如圖放置的邊長為的正方形沿軸滾動（無滑動滾動），點恰好經過坐標原點，設頂點的軌跡方程是，則對函數的判斷正確的是()A．函數是奇函數 B．對任意的，都有C．函數的值域為 D．函數在區間上單調遞增【答案】BCD【解析】由題意，當時，頂點的軌跡是以點為圓心，以為半徑的圓；當時，頂點的軌跡是以點為圓心，以為半徑的圓；當時，頂點的軌跡是以點為圓心，以為半徑的圓；當，頂點的軌跡是以點為圓心，以為半徑的圓，與的形狀相同，因此函數在恰好為一個周期的圖像；所以函數的周期是；其圖像如下：A選項，由圖像及題意可得，該函數為偶函數，故A錯；B選項，因為函數的周期為，所以，因此；故B正確；C選項，由圖像可得，該函數的值域為；故C正確；D選項，因為該函數是以為周期的函數，因此函數在區間的圖像與在區間圖像形狀相同，因此，單調遞增；故D正確；故選：BCD.變式3、（2020·湖北荊州市·高三月考）對于定義在R上的函數，下列命題中正確的有（）A．若為奇函數，則B．若，當時，恒有成立，則為減函數C．若函數為偶函數，為奇函數.則為周期函數且最小正周期為4D．若函數為奇函數且在上有最大值1，則在上有最小值【答案】BD【解析】對于A，為定義在R上奇函數，則，錯誤；對于B，，當時，恒有成立，則有時，，或者時，，則為減函數，正確；對于C，為奇函數，所以，，由函數為偶函數，，則為周期函數且最小正周期為8，錯誤；對于D，函數為奇函數且在上有最大值1，根據奇函數的圖象關于原點對稱，則在上有最小值，正確.故選：BD.1、（2021·山東濟南市·高三二模）已知函數，則下列說法正確的是（）A．為奇函數 B．為減函數C．有且只有一個零點 D．的值域為【答案】AC【解析】,,,故為奇函數，又，在R上單調遞增，，，，，，即函數值域為令，即，解得，故函數有且只有一個零點0.綜上可知，AC正確，BD錯誤.故選：AC2、（2020屆山東省濱州市三校高三上學期聯考）已知定義在上的函數滿足，且圖像關于對稱，當時，，則________.【答案】-2【解析】因為圖像關于對稱，則，，故是以8為周期的周期函數，故答案為：.3、（江蘇省如皋市2019-2020學年高三上學期10月調研）設函數，則不等式的解集為_____________.【答案】【解析】因為,所以,所以函數為奇函數,因為(當且僅當時,等號成立)所以函數為上的遞增函數,所以不等式可化為,所以根據函數為奇函數可化為,所以根據函數為增函數可化為,可化為,可化為,解得:,所以不等式的解集為:.故答案為4、（湖北省宜昌市2020-2021學年高三聯考）已知函數，則（）A．的最小正周期是B．的圖像可由函數的圖像向左平移個單位而得到C．是的一條對稱軸D．的一個對稱中心是【答案】AB【解析】，A.函數的最小正周期，故A正確；B.根據圖象的平移變換規律，可知函數的圖像向左平移個單位而得到，故B正確；C.當時，，不是函數的對稱軸，故C不正確；D.當時，，此時函數值是2，故函數的一個對稱中心應是，故D不正確.故選：AB5、（湖南省衡陽市2020-2021學年高三模擬）已知函數，則下列結論中，正確的有（）A．是的最小正周期B．在上單調遞增C．的圖象的對稱軸為直線D．的值域為【答案】BD【解析】由，知函數為偶函數，又，知是的周期，當時，，畫出的圖象如圖所示：由圖知，的最小正周期是，A錯誤