第24章解直角三角形24.4解直角三角形解與仰角、俯角有關的直角三角形（第2課時）教學目標1.理解仰角、俯角的含義，能準確運用這些概念來解決一些實際問題.2.能夠把實際問題轉化成解直角三角形的問題.教學重難點重點：理解解直角三角形的含義.難點：能夠把實際問題轉化成解直角三角形的問題.教學過程復習鞏固1.銳角三角函數：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，則兩銳角關系：∠A+∠B＝90°.三邊關系：a2+b2＝c2.邊角關系：(1)∠A的對邊與斜邊的比值是∠A的正弦，記作sinA＝eq\f(∠A的對邊,斜邊)；(2)∠A的鄰邊與斜邊的比值是∠A的余弦，記作cosA＝eq\f(∠A的鄰邊,斜邊)；(3)∠A的對邊與鄰邊的比值是∠A的正切，記作tanA＝eq\f(∠A的對邊,∠A的鄰邊).2.解直角三角形有以下基本類型：基本類型選擇的關系式已知兩邊斜邊和一直角邊(c，a)b＝eq\r(c2－a2)；由sinA＝eq\f(a,c)，求∠A；∠B＝90°-∠A兩直角邊(a，b)c＝eq\r(a2＋b2)；由tanA＝eq\f(a,b)，求∠A；∠B＝90°-∠A已知邊和角斜邊和一銳角(c，∠A)∠B＝90°-∠A；由sinA＝eq\f(a,c)，求a＝c·sinA；由cosA＝eq\f(b,c)，求b＝c·cosA一直角邊和一銳角(a，∠A)∠B＝90°-∠A；由tanA＝eq\f(a,b)，求b＝eq\f(a,tanA)；由sinA＝eq\f(a,c)，求c＝eq\f(a,sinA)導入新課我們已經掌握了直角三角形的有關性質以及邊角之間的各種關系，這些都是解決與直角三角形有關的實際問題的重要依據，這節課就是利用直角三角形解關于仰角與俯角的問題.教師引出課題：24.4解直角三角形解與仰角、俯角有關的直角三角形（第2課時）探究新知探究點一仰角、俯角的概念活動1（學生交流，教師點評）閱讀教材第113頁讀一讀【總結】在進行觀察或測量時，從下向上看，視線與水平線的夾角叫做仰角；從上往下看，視線與水平線的夾角叫做俯角.典例講解（師生互動）例1如圖，為了測量電線桿的高度BC，在離電線桿10米的A處，用高1.50米的測角儀DA測得電線桿頂端C的仰角a＝52°，求電線桿BC的高.（精確到0.1米）【探索思路】(引發學生思考)本題要求BC，由圖示可知BC＝CE+EB，而EB＝DA，因此只要求出CE問題就解決了.【解】在Rt△CDE中，∵

CE＝DEtanα＝ABtanα＝10tan52°≈12.80（米），∴BC＝BE+CE＝DA+CE＝1.50+12.80＝14.3（米）.答：電線桿BC的高為14.3米.探究點二利用三角函數解實際問題的一般步驟活動2（學生交流，教師點評）【總結】利用三角函數解實際問題的一般步驟：（1）首先要弄清題意，結合實際問題中的示意圖分清題目中的已知條件和所求結論；（2）找出與問題有關的直角三角形，或通過作輔助線構造有關的直角三角形，把實際問題轉化為解直角三角形的問題；（3）合理選擇直角三角形的元素之間的關系求出答案.例2如圖，熱氣球探測器顯示，從熱氣球A處看一棟樓頂部B處的仰角為30°，看這棟樓底部C處的俯角為60°，熱氣球與樓的水平距離AD為100米，試求這棟樓的高度BC.【探索思路】分析法：要求BC，先求出BD與CD，只要解Rt△ADB、Rt△ADC.【解】由題意，得α＝30°，β＝60°，AD＝100米，∠ADC＝∠ADB＝90°.∴在Rt△ADB中，α＝30°，AD＝100米，∴tanα＝eq\f(BD,AD)＝eq\f(BD,100)＝，∴BD＝米.在Rt△ADC中，β＝60°，AD＝100米，∴tanβ＝eq\f(CD,AD)＝eq\f(CD,100)＝，∴CD＝100米.∴BC＝BD+CD＝+100＝(米)，即這棟樓的高度BC是米.【題后總結】(學生總結，老師點評)首先分析圖形：根據題意構造直角三角形；本題涉及到兩個直角三角形△ADB、△ADC，利用BC＝BD+CD可求出答案.【歸納】仰角、俯角問題的常見基本模型：模型一模型二模型三模型四模型五【即學即練】如圖，某大樓頂部有一旗桿AB，甲乙兩人分別在相距6米的C，D兩處測得B點和A點的仰角分別是42°和AB的長大約是多少米？(結果保留整數，參考數據：sin42°≈0.67，tan42°≈0.9，sin65°≈0.91，tan65°≈2.1)【解】在Rt△ADE中，∠ADE＝65°，DE＝15米，則tan∠ADE＝，即tan65°＝≈2.1，解得AE≈31.5米.在Rt△BCE中，∠BCE＝42°，CE＝CD+DE＝21米，則tan∠BCE＝，即tan42°＝≈0.9，解得BE≈18.9米.則AB＝AE-BE＝31.5-18.9≈13(米).即旗桿AB的長大約是13米.【方法總結】把數學問題轉化成解直角三角形問題，如果示意圖不是直角三角形，可添加適當的輔助線，構造出直角三角形.課堂練習1.如圖所示，為測量一棵與地面垂直的樹OA的高度，在距離樹的底端30m的B處，測得樹頂A的仰角∠ABO為α，則樹OA的高度為()A.m B.30sinαmC.30tanαm D.30cosαm2.如圖所示，某飛機在空中A處探測到它的正下方地平面上目標C，此時飛機的飛行高度AC＝1200m，從飛機上看地平面指揮臺B的俯角α＝30°，則飛機A與指揮臺B的距離為()A.1200m B.12002mC.12003m3.如圖所示，某人站在樓頂觀測對面筆直的旗桿AB.已知觀測點C到旗桿的距離CE＝8m，測得旗桿的頂部A的仰角∠ECA＝30°，旗桿底部B的俯角∠ECB＝45°，那么，旗桿AB的高度是()A.()m B.(8+83)mC.m D.m4.如圖，從熱氣球C上測得建筑物A，B底部的俯角分別為30°和60°.如果這時熱氣球高度CD為150米，且點A，D，B在同一直線上，則建筑物A，B間的距離為()A.1503m B.1803C.2003m D.2205.如圖，在高樓前D點測得樓頂的仰角為30°，向高樓前進60m到C點，又測得樓頂的仰角為45°，則高樓的高度大約為為多少米.6.如圖所示，為了測得電視塔的高度AB，在D處用高為1m的測角儀CD，測得電視塔頂端A的仰角為30°，再向電視塔方向前進100m到達F處，又測得電視塔頂端A的仰角為60°，則這個電視塔的高度AB為多少米.參考答案1.C【解析】在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，∵BO＝30m，∠ABO＝α，tan∠ABO＝，∴AO＝BOtanα＝30tanαm.故選C.2.D【解析】由題意，得∠B＝30°，所以sinB＝.又AC＝1200m，所以AB＝2AC＝2400m.3.D【解析】由題意，得AE＝CEtan∠ECA＝8×(m)，BE＝CEtan∠ECB＝8(m).∴AB＝BE+AE＝m.4.C【解析】∵∠A＝30°，∠B＝60°，在Rt△ACD中，tanA＝，∴AD＝1503（m）.在Rt△BCD中，tanB，∴BD＝50（m），∴AB＝AD+BD＝200（m）.5.【解】設樓高AB為xm.在Rt△ADB中，DB.∵∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝x.∴CD＝BD-BC＝(3-1)x＝60，解得x故高樓的高度大約為82米.6.【解】如圖，過點C作CG⊥AB，垂足為G.由題意知C，E，G三點共線.設AG＝xm.由題意可知AB⊥DB，CG∥DB，∠AGE＝90°.在Rt△AEG中，∵∠AEG＝60°，tan∠AEG＝，∴EG＝x(m).在Rt△ACG中，∵∠ACG＝30°，tan∠ACG＝，∴CG＝＝3x∵CE＝DF＝100m，而CG-EG＝CE，∴x＝100，解得x＝503.∴AB＝AG+GB＝(503+1課堂小結(學生總結，老師點評)仰角、俯角的概念：在進行觀察或測量時，從下向上看，視線與水平線的夾角叫做仰角；從上往下看，視線與水平線的夾角叫做俯角.利用三角函數解實際問題的一般步驟：；（2）找出與問題有關的直角三角形，或通過作輔助線構造有關的直角三角形，把實際問題轉化為解直角三角形的問題；（3）合理選擇直角三角形的元素之間的關系求出答案.【方法總結】把數學問題轉化成解直角三角形問題，如果示意圖不是直角三角形，可添加適當的輔助線，構造出直角三角形.布置作業教材第114頁練習題第1，2題.板書設計課題24.4解直角三角形解與仰角、俯角有關的直角三角形（第2課時