第24章解直角三角形24.4解直角三角形解直角三角形及其簡單的應用（第1課時）教學目標1.理解直角三角形中五個元素的關系，會運用勾股定理、直角三角形的兩個銳角互余及銳角三角函數解直角三角形.2.能夠把實際問題轉化成解直角三角形的問題.教學重難點重點：理解解直角三角形的含義.難點：能夠把實際問題轉化成解直角三角形的問題.教學過程復習鞏固1.銳角三角函數：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，則兩銳角關系：∠A+∠B＝90°.三邊關系：a2+b2＝c2.邊角關系：(1)∠A的對邊與斜邊的比值是∠A的正弦，記作sinA＝；(2)∠A的鄰邊與斜邊的比值是∠A的余弦，記作cosA＝；(3)∠A的對邊與鄰邊的比值是∠A的正切，記作tanA＝.2.30°、45°、60°角的三角函數值：銳角α三角函數30°45°60°sinαcosαtanα1導入新課我們已經掌握了直角三角形的有關性質以及邊角之間的各種關系，這些都是解決與直角三角形有關的實際問題的重要依據，這節課就是利用直角三角形這些知識來解決與直角三角形有關的問題.教師引出課題：24.4解直角三角形解直角三角形以及簡單的應用（第1課時）探究新知探究點一解直角三角形的概念活動1（學生交流，教師點評）例1如圖，一棵大樹在一次強烈的地震中于離地面5米處折斷倒下，樹頂落在離樹根12米處，這棵大樹在折斷前高多少米？此圖見教材第112頁【探索思路】(引發學生思考)本題已知直角三角形中兩條直角邊，求斜邊.【解】利用勾股定理，樹倒下部分的長度為(m)，135＝18（m）.答：這棵大樹在折斷前高18米.【題后總結】在直角三角形中，如果已知兩條邊的長度，那么就可利用勾股定理求出另外一條邊的長度.【思考】解直角三角形需要什么條件？活動2（學生交流，教師點評）典例講解（師生互動）△＝35°，解這個三角形.(精確到0.1，參考數據：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70)【探索思路】(引發學生思考)已知直角三角形中的兩個元素，要求解直角三角形，一般從直角三角形的性質出發，結合勾股定理與銳角三角函數的定義進行解題.【解】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，∴∠A＝55°.∵BC＝20，∠B＝35°，∴tan35°＝≈0.7，解得AC≈14.cos35°＝＝≈0.82，解得AB≈24.4.【總結】解直角三角形的概念：在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的過程，叫做解直角三角形.在直角三角形的六個元素中，除直角外，如果再知道兩個元素（其中至少有一個是邊），這個三角形就可以確定下來，這樣就可以由已知的兩個元素求出其余的三個元素.【即學即練】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，b＝20，解這個直角三角形（結果保留小數點后一位）.解：∠A＝90°-∠B＝90°-35°＝55°.∵tanB,∴a＝＝≈≈28.6.∵sinB＝，∴c＝＝≈≈35.1.探究點二解與方向角有關的直角三角形活動3合作探究，解決問題（學生交流，教師點評）典例講解，師生互動例3如圖，在相距2000米的東、西兩座炮臺A、B處同時發現入侵敵艦C，在炮臺A處測得敵艦C在它的南偏東40°的方向，在炮臺B測得敵艦C在它的正南方向，試求:敵艦與兩炮臺的距離.(精確到1米）【探索思路】(引發學生思考)本題是已知一邊、一銳角，求其他兩邊.解:在Rt△ABC中，因為∠CAB＝90°-∠DAC＝50°，tan∠CAB＝，所以BC＝AB?tan∠CAB＝2000×tan50°≈2384(米).又因為cos∠CAB＝cos50°，所以cos50°＝，AC＝答：敵艦與A，B兩炮臺的距離分別約3111米和2384米.【總結】解直角三角形的條件可分為兩大類：①已知一銳角、一邊（一銳角、一直角邊或一斜邊）②已知兩邊（一直角邊，一斜邊或兩條直角邊）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，解直角三角形有以下基本類型：基本類型選擇的關系式已知兩邊斜邊和一直角邊(c，a)b＝eq\r(c2－a2)；由sinA＝eq\f(a,c)，求∠A；∠B＝90°-∠A兩直角邊(a，b)c＝eq\r(a2＋b2)；由tanA＝eq\f(a,b)，求∠A；∠B＝90°-∠A已知邊和角斜邊和一銳角(c，∠A)∠B＝90°-∠A；由sinA＝eq\f(a,c)，求a＝c·sinA；由cosA＝eq\f(b,c)，求b＝c·cosA一直角邊和一銳角(a，∠A)∠B＝90°-∠A；由tanA＝eq\f(a,b)，求b＝eq\f(a,tanA)；由sinA＝eq\f(a,c)，求c＝eq\f(a,sinA)課堂練習1.如圖，沿AC方向開山修路，為加快進度，要在小山的另一邊同時施工，從AC上的一點B測得∠ABD＝145°，BD＝500m，∠D＝55°.要使A，C，E成一條直線，開挖點E離點D的距離是()A.500sin55°mB.500cos55°m C.500tan55°m D.m2如圖，露露從A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再從B地向正南方向走200m到C地，此時他離A地()A.503m B.100mC.150m D.10033.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，∠BAC的平分線AD＝，解這個直角三角形.4.在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，已知c＝10，∠B＝30°，解這個直角三角形.5.某數學興趣小組想測量河流的寬度AB，河流兩岸AC、BD互相平行，河流對岸有兩棵樹A和C，且A、C之間的距離是60米，他們在D處測得∠BDC＝36°，前行140米后測得∠BPA＝45°，請根據這些數據求出河流的寬度.(結果精確到0.1米，參考數據：tan36°≈0.73，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81)參考答案1.B【解析】∵在Rt△BDE中，cosD，∴DE＝BD·cosD＝500cos55°.2.D【解析】∵在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，∠B＝60°，AD＝AB·sin60°＝100＝50（m），BD＝AB·cos60°＝100＝50（m），∴CD＝150m∴AC＝AD2+CD23.【解】∵cos∠CAD＝＝＝，∴∠CAD＝30°.∵AD平分∠BAC，∴∠CAB＝60°，∠B＝30°.∴AB＝12，BC＝.4.【解】∠A＝90°-∠B＝90°-30°＝60°.∵cosB＝，∴a＝c·cosB＝10·cos30°＝10×＝5.∵sinB＝，∴b＝c·sinB＝10·sin30°＝10×＝5.5.【解】過點C作CH⊥BD，則BH＝AC＝60米，設AB為x米，則CH為x米.在Rt△ABP中，tan45°＝1，∴BP＝x米，∴HD＝BP+PD-BH＝x+140-60＝(x+80)(米).在Rt△CHD中，∵tan∠CDH＝，∴x+80＝，∴x＝(x+80)tan36°，∴x≈216.3.即河流的寬度約為216.3米.課堂小結(學生總結，老師點評)解直角三角形eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(概念,理論依據\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(兩銳角互余,勾股定理,銳角三角函數)),常見類型\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(已知兩邊,已知一邊和一角))))布置作業教材第113頁練習題第1，2題.板書設計課題24.4解直角三角形1解直角三角形及簡單的應用（第1課時）