學校________________班級____________姓名____________考場____________準考證號學校________________班級____________姓名____________考場____________準考證號…………密…………封…………線…………內…………不…………要…………答…………題…………第1頁，共6頁2025屆山東省沂源縣九上數學開學考試試題題號一二三四五總分得分A卷（100分）一、選擇題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求）1、（4分）若一個函數中，隨的增大而增大，且,則它的圖象大致是（）A． B．C． D．2、（4分）下列圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是()A．（A） B．（B） C．（C） D．（D）3、（4分）已知點A（x1，y1），B（x2，y2）是一次函數y=（m﹣1）x+2﹣m上任意兩點，且當x1＜x2時，y1＞y2，則這個函數的圖象不經過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限4、（4分）函數的自變量x的取值范圍是（）A．x≠0 B．x≠1 C．x≥1 D．x≤15、（4分）已知△ABC的三邊分別是a，b，c，且滿足|a-2|++（c-4）2=0，則以a，b，c為邊可構成（）A．以c為斜邊的直角三角形 B．以a為斜邊的直角三角形C．以b為斜邊的直角三角形 D．有一個內角為的直角三角形6、（4分）若等腰三角形的周長為60cm，底邊長為xcm，一腰長為ycm，則y關于x的函數解析式及自變量x的取值范圍是()A．y＝60－2x(0<x<60) B．y＝60－2x(0<x<30)C．y＝(60－x)(0<x<60) D．y＝(60－x)(0<x<30)7、（4分）下列分解因式正確的是A． B．C． D．8、（4分）如圖，四邊形和四邊形都是正方形，反比例函數在第一象限的圖象經過點，若兩正方形的面積差為12，則的值為A．12 B．6 C． D．8二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）9、（4分）花粉的質量很小．一粒某種植物花粉的質量約為0.000037毫克，那么0.000037毫克可用科學記數法表示為________毫克.10、（4分）如圖，?ABCD中，AC、BD相交于點O，若AD=6，AC+BD=16，則△BOC的周長為_____．11、（4分）約分___________．12、（4分）若代數式在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是_____．13、（4分）一個裝有進水管和出水管的容器，從某時刻起只打開進水管進水，經過一段時間，再打開出水管放水.至12分鐘時，關停進水管.在打開進水管到關停進水管這段時間內，容器內的水量y（單位：升）與時間x（單位：分鐘）之間的函數關系如圖所示.關停進水管后，經過_____分鐘，容器中的水恰好放完.三、解答題（本大題共5個小題，共48分）14、（12分）若x＝3＋2，y＝3－2，求的值．15、（8分）如圖，一次函數y1=-x+b的圖象與反比例函數y2=(x＞0)的圖象交于A、B兩點，與x軸交于點C，且點A的坐標為(1，2)，點B的橫坐標為1．(1)在第一象限內，當x取何值時，y1＞y2？(根據圖直接寫出結果)(2)求反比例函數的解析式及△AOB的面積．16、（8分）已知一次函數的圖象經過點，且與正比例函數的圖象相交于點（1）求a的值；（2）求出一次函數的解析式；（3）求的面積．17、（10分）某公司招聘職員兩名，對甲乙丙丁四名候選人進行筆試和面試，各項成績均為100分，然后再按筆試70%、面試30%計算候選人綜合成績（滿分100分）各項成績如下表所示：候選人筆試成績面試成績甲9088乙8492丙x90丁8886（1）直接寫出四名候選人面試成績中位數；（2）現得知候選人丙的綜合成績為87.2分，求表中x的值；（3）求出其余三名候選人的綜合成績，并以綜合成績排序確定所要聘請的前兩名的人選．18、（10分）已知一次函數圖象經過和兩點（1）求此一次函數的解析式；（2）若點在函數圖象上，求的值．B卷（50分）一、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）19、（4分）在平面直角坐標xOy中，點O是坐標原點，點B的坐標是(m，m-4)，則OB的最小值是__________．20、（4分）《九章算術》卷九“勾股”中記載：今有立木，系索其末，委地三尺．引索卻行，去本八尺而索盡，問索長幾何？譯文：今有一豎立著的木柱，在木柱的上端系有繩索，繩索從木柱上端順木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牽著繩索（繩索頭與地面接觸）退行，在距木根部8尺處時繩索用盡．問繩索長是多少？設繩索長為x尺，可列方程為_____．21、（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AB=6，△BCD為等邊三角形，點E為△BCD圍成的區域（包括各邊）內的一點，過點E作EM∥AB，交直線AC于點M，作EN∥AC，交直線AB于點N，則的最大值為_____.22、（4分）如圖，矩形ABCD中，把△ACD沿AC折疊到△ACD′，AD′與BC交于點E，若AD＝8，DC＝6，則BE的長為______．23、（4分）化簡的結果為_____．二、解答題（本大題共3個小題，共30分）24、（8分）如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、AB上一點，且AF＝BE，AE與DF交于點G．（1）求證：AE＝DF．（2）如圖2，在DG上取一點M，使AG＝MG，連接CM，取CM的中點P．寫出線段PD與DG之間的數量關系，并說明理由．（3）如圖3，連接CG．若CG＝BC，則AF：FB的值為．25、（10分）又到一年豐收季，重慶外國語學校“國內中考、高考、國內保送、出國留學”捷報頻傳．作為準初三的初二年級學生希望抓緊暑期更好的提升自我．張同學采用隨機抽樣的方式對初二年級學生此次暑期生活的主要計劃進行了問卷調查，并將調查結果按照“A社會實踐類、B學習提高類、C游藝娛樂類、D其他”進行了分類統計，并繪制了如圖1和如圖2兩幅不完整的統計圖．（接受調查的每名同學只能在四類中選擇其中一種類型，不可多選或不選．）請根據圖中提供的信息完成以下問題．（1）扇形統計圖中表示B類的扇形的圓心角是度，并補全條形統計圖；（2）張同學已從被調查的同學中確定了甲、乙、丙、丁四名同學進行開學后的經驗交流，并計劃在這四人中選出兩人的寶貴經驗刊登在本班班刊上．請利用畫樹狀圖或列表的方法求出甲同學的經驗刊登在班刊上的概率．26、（12分）如圖，平行四邊形ABCD的邊OA在x軸上，將平行四邊形沿對角線AC對折，AO的對應線段為AD，且點D，C，O在同一條直線上，AD與BC交于點E.（1）求證：△ABC≌△CDA.（2）若直線AB的函數表達式為，求三角線ACE的面積.

參考答案與詳細解析一、選擇題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求）1、B【解析】

根據隨的增大而增大，可以判斷直線從左到右是上升的趨勢，說明一次函數與軸的交點在軸正半軸，綜合可以得出一次函數的圖像.【詳解】根據隨的增大而增大，可以判斷直線從左到右是上升的趨勢，說明一次函數與軸的交點在軸正半軸，綜合可以得出一次函數的圖像為B故選B本題主要考查了一次函數的圖像，以及和對圖像的影響，掌握一次函數的圖像和性質是解題的關鍵.2、C【解析】試題解析：A、是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項不符合題意；C、既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故本選項符合題意；D、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項不符合題意．故選C．3、C【解析】

先根據時，，得到隨的增大而減小，所以的比例系數小于，那么，解不等式即可求解.【詳解】時，，隨的增大而減小，函數圖象從左往右下降，，，，即函數圖象與軸交于正半軸，這個函數的圖象不經過第三象限.故選：.本題考查一次函數的圖象性質：當，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減小.4、B【解析】根據題意若函數y=有意義，可得x-1≠0；解得x≠1；故選B5、B【解析】

利用非負數的性質求得a、b、c的數值，利用勾股定理的逆定理判定三角形的形狀即可．【詳解】解：由題意可得：a=，b=2，c=4，∵22+42=20，()2＝20，即b2+c2=a2，所以△ABC是以a為斜邊的直角三角形．故選B．本題考查了非負數的性質和勾股定理的逆定理，根據非負數的性質求得a、b、c的值是解決此題的關鍵．6、D【解析】∵2y+x=60,∴y＝(60－x)(0<x<30).故選D.7、C【解析】

根據因式分解的方法（提公因式法，運用公式法），逐個進行分析即可.【詳解】A.，分解因式不正確；B.，分解因式不正確；C.，分解因式正確；D.2，分解因式不正確.故選：C本題考核知識點：因式分解.解題關鍵點：掌握因式分解的方法.8、A【解析】

設正方形OABC、BDEF的邊長分別為a和b，則可表示出D（a，a-b），F（a+b，a），根據反比例函數圖象上點的坐標特征得到E（a+b，），由于點E與點D的縱坐標相同，所以=a-b，則a2-b2=k，然后利用正方形的面積公式易得k=1．【詳解】解：設正方形OABC、BDEF的邊長分別為a和b，則D（a，a-b），F（a+b，a），所以E（a+b，），所以=a-b，∴（a+b）（a-b）=k，∴a2-b2=k，∵兩正方形的面積差為1，∴k=1．故選：A．本題考查了反比例函數比例系數k的幾何意義：在反比例函數y=圖象中任取一點，過這一個點向x軸和y軸分別作垂線，與坐標軸圍成的矩形的面積是定值|k|．也考查了正方形的性質．二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）9、【解析】

絕對值小于1的正數也可以利用科學記數法表示，一般形式為a×10-n，與較大數的科學記數法不同的是其所使用的是負指數冪，指數由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．【詳解】0.000037毫克可用科學記數法表示為3.7×10-5毫克．故答案為：.本題考查用科學記數法表示較小的數，一般形式為a×10-n，其中1≤|a|＜10，n為由原數左邊起第一個不為零的數字前面的0的個數所決定．10、1【解析】

根據平行四邊形的性質，三角形周長的定義即可解決問題；【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC=6，OA=OC，OB=OD，∵AC+BD=16，∴OB+OC=8，∴△BOC的周長=BC+OB+OC=6+8=1，故答案為1．點睛：本題考查平行四邊形的性質．三角形的周長等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．11、【解析】

根據分式的性質,分子分母同時擴大或縮小相同倍數時分式的值不變即可解題.【詳解】=,（分子分母同時除以6abc）.本題考查了分式的變形和化簡,屬于簡單題,熟悉分式的性質是解題關鍵.12、x≤【解析】∵代數式在實數范圍內有意義，∴，解得：.故答案為：.13、1【解析】由0-4分鐘的函數圖象可知進水管的速度，根據4-12分鐘的函數圖象求出水管的速度，再求關停進水管后，出水經過的時間．解：進水管的速度為：20÷4=5（升/分），出水管的速度為：5-（30-20）÷（12-4）=3.75（升/分），∴關停進水管后，出水經過的時間為：30÷3.75=1分鐘．故答案為1．三、解答題（本大題共5個小題，共48分）14、1【解析】

先運用平方差及完全平方公式進行因式分解，再約分，將分式化到最簡即可．【詳解】====1．故當x＝3+2，y＝3?2時，原式=1．本題考查了二次根式的化簡求值．運用公式將分子因式分解可使運算簡便．由于所求代數式化簡之后是一個常數1，與字母取值無關．因而無論x、y取何值，原式都等于1．15、(1)1<x<1；(2)，面積為.【解析】

（1）根據交點坐標，由函數圖象即可求解；（2）運用待定系數法，求得一次函數和反比例函數的解析式，再根據解方程組求得C（0，4），最后根據S△AOB=S△AOC-S△BOC進行計算即可求解．【詳解】（1）根據圖象得：在第一象限內，當1＜x＜1時，y1＞y2．（2）把A（1，2）代入y2＝中得k2=1×2=2，∴反比例函數的解析式為y2＝，分別過點A、B作AE⊥x軸于E，BF⊥x軸于F，則AE=yA=2，把xB=1代入y2＝中，得yB＝，則BF=，把A（1，2）代入y1＝?x+b中，得：?+b＝2，∴b＝．∴一次函數的解析式為y1＝?x+；當yc=0時，?x+＝0，得：x=4，則OC=4，∴S△AOB=S△AOC-S△BOC=?OC(AE?BF)=×4(2?)＝．本題主要考查了反比例函數與一次函數交點問題，解決問題的關鍵是運用待定系數法求得一次函數和反比例函數的解析式．解題時注意：求正比例函數，只要一對x，y的值就可以；而求一次函數y=kx+b，則需要兩組x，y的值．16、（1）1（2）（3）【解析】

（1）將點B代入正比例函數即可求出a的值；（2）將點A、B代入一次函數，用待定系數法確定k，b的值即可；（3）可將分割成兩個三角形求其面積和即可.【詳解】（1）依題意，點在正比例函數的圖象上，所以，（2）依題意，點A、B在一次函數圖象上，所以，，解得：，.一次函數的解析式為：，（3）直線AB與y軸交點為，的面積為：本題考查了一次函數與反比例函數的綜合，待定系數法求一次函數解析式是解題的關鍵，對于一般的三角形不易直接求面積時，可將其分割成多個易求面積的三角形.17、（1）89分；（2）86；（3）甲的綜合成績：89.4分，乙的綜合成績：86.4分，丁的綜合成績為87.4分，以綜合成績排序確定所要招聘的前兩名的人選是：甲、丁．【解析】

（1）根據中位數的意義，將四個數據排序后，處在第2、3位的兩個數的平均數即為中位數，

（2）根據加權平均數的計算方法，列方程求解即可，

（3）依據加權平均數的計算方法，分別計算甲、乙、丁的綜合成績，最后比較產生前兩名的候選人．【詳解】解：（1）面試成績排序得：86，88，90，92，處在第2、3位兩個數的平均數為（88+90）÷2=89，因此中位數是89，

答：四名候選人的面試成績的中位數是89分；

（2）由題意得：70%x+90×30%=87.2，

解得：x=86，

答：表格中x的值為86；

（3）甲的綜合成績：90×70%+88×30%=89.4分，乙的綜合成績：84×70%+92×30%=86.4分，

丁的綜合成績為：88×70%+86×30%=87.4分，

處在綜合成績前兩位的是：甲、丁．

∴以綜合成績排序確定所要招聘的前兩名的人選是：甲、丁．本題考查中位數、加權平均數的計算方法，掌握中位數的概念、加權平均數的計算公式是解題的關鍵．18、（1）（2）【解析】

（1）用待定系數法，設函數解析式為y=kx+b，將兩點代入可求出k和b的值，進而可得出答案．

（2）將點（m，2）代入可得關于m的方程，解出即可．【詳解】解：（1）設一次函數的解析式為，則有，解得：，一次函數的解析式為；（2）點在一次函數圖象上，．本題考查待定系數法求一次函數解析式和一次函數圖象上點的坐標特征，解題的關鍵是熟練掌握待定系數法求一次函數解析式.一、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）19、【解析】

利用勾股定理可用m表示出OB的長，根據平方的非負數性質即可得答案．【詳解】∵點B的坐標是(m，m-4)，∴OB==，∵(m-2)2≥0，∴2(m-2)2+8≥8，∴的最小值為=，即OB的最小值為，故答案為：本題考查勾股定理的應用及平方的非負數性質，熟練掌握平方的非負數性質是解題關鍵．20、（x﹣3）2+64＝x2【解析】

設繩索長為x尺，根據勾股定理列出方程解答即可【詳解】解：設繩索長為x尺，可列方程為（x﹣3）2+82＝x2，故答案為：（x﹣3）2+64＝x2本題考查了勾股定理在實際生活中的應用，找出等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵.21、【解析】

作輔助線，構建30度的直角三角形將轉化為NH，將，即：過A點作AM∥BC，過作交的延長線于點，，由△BCD圍成的區域（包括各邊）內的一點到直線AP的最大值時E在D點時，通過直角三角形性質和勾股定理求出DH’即可得到結論．【詳解】解：過A點作AP∥BC，過作交的延長線于點，，，四邊形是平行四邊形，設，，∵∠ACB=90°，∠CAB=60°，∴∠CAM=90°，∠NAH=30°，中，，∵NE∥AC，NH∥AC，∴E、N、H在同一直線上，，由圖可知：△BCD圍成的區域（包括各邊）內的一點到直線AM距離最大的點在D點，過D點作，垂足為.當在點時，=取最大值.∵∠ACB=90°，∠A=60°，AB=6，，∴AC=3，AB=，四邊形ACGH’是矩形，∴，∵△BCD為等邊三角形，，∴=,∴，∴的最大值為，故答案為．本題考查了等邊三角形的性質、直角三角形30度角的性質、平行四邊形的判定和性質，有難度．解題關鍵是根據在直角三角形中，30°角所對的邊等于斜邊的一半對進行轉化，使得最大值問題轉化為點到直線的距離解答.22、【解析】∵四邊形ABCD為矩形，

∴AB=DC=6，BC=AD=8，AD∥BC，∠B=90°．

∵△ACD沿AC折疊到△ACD′，AD′與BC交于點E，

∴∠DAC=∠D′AC．

∵AD∥BC，

∴∠DAC=∠ACB．

∴∠D′AC=∠ACB．

∴AE=EC．

設BE=x，則EC=8-x，AE=8-x．

∵在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，

∴62+x2=（8-x）2，解得x=，即BE的長為.故答案是：.23、x【解析】

先把兩分數化為同分母的分數，再把分母不變，分子相加減即可.【詳解】，故答案為x.二、解答題（本大題共3個小題，共30分）24、(1)?見解析；(2)?DG＝DP，理由見解析；(3)?1∶1.【解析】

（1）用SAS證△ABE≌△DAF即可；（2）DG＝DP，連接GP并延長至點Q，使PQ＝PG，連接CQ，DQ，先用SAS證△PMG≌△PCQ，得CQ＝MG＝AG，進一步證明∠DAG＝∠DCQ，再用SAS證明△DAG≌△DCQ，得∠ADF＝∠CDQ，于是有∠FDQ＝90°，進而可得△DPG為等腰直角三角形，由此即得結論；（3）延長AE、DC交于點H，由條件CG＝BC可證CD=CG=CH，進一步用SAS證△ABE≌△HCE，得BE=CE，因為AF＝BE，所以AF：BF=BE：CE=1：1.【詳解】解：（1）證明：正方形ABCD中，AB＝AD，∠ABE＝∠DAF＝90°，BE＝AF，∴△ABE≌△DAF（SAS）∴AE＝DF；（2）DG＝DP，理由如下：如圖，連接GP并延長至點Q，使PQ＝PG，連接CQ，DQ，∵PM=PC，∠MPG=∠CPQ，∴△PMG≌△PCQ（SAS），∴CQ＝MG＝AG，∠PGM=∠PQC，∴CQ∥DF，∴∠DCQ＝∠FDC＝∠AFG，∵∠AFG＋∠BAE＝90°，∠DAG＋∠BAE＝90°，∴∠AFG=∠DAG.∴∠DAG＝∠DCQ.又∵DA=DC，∴△DAG≌△DCQ（SAS）.∴∠ADF＝∠CDQ.?∵∠ADC＝90°，∴∠FDQ＝90°.?∴△GDQ為等腰直角三角形∵P為GQ的中點∴△DPG為等腰直角三角形.∴DG＝DP.（3）1∶1.證明：延長AE、DC交于點H，∵CG=BC，BC=CD，∴CG=CD，∴∠1=∠2.∵∠1+∠H=90°，∠2+∠3=90°，∴∠3=∠H.∴CG=CH.∴CD=CG=CH.∵AB=CD，∴AB=CH.∵∠BAE=∠H，∠AEB=∠HEC，∴△ABE≌△HCE（SAS）.∴BE=CE.∵AF=BE，∴AF：BF=BE：CE=1：1.本題主要考查了正方形的性質、全等三角形的判定和性質、等腰直角三角形的判定和性質，其中第（1）小題是基礎，第（2）（3）兩小題探求結論的關鍵是添輔助線構造全等三角形，從解題過程看，熟練掌握正方形的性質和全等三角形的判定與性質是解題的關鍵.25、（1）144（2）【解析】

（1）先根據A類型人數及其所占百分比求得總人數，繼而根據各類型人數之和等于總人數求得B的人數，再用360°乘以B類型人數所占比例可得；（2）列表得出所有等可能結果，從中找打符合條件的結果數，再利用概率公式可得答案．【詳解】解：（1）∵被調查的人數為45÷30%＝150人，∴B等級人數為150﹣（45+15+30）＝60人，則扇形統計圖中表示B類的扇形的圓心角是360°×＝144°，補全圖形如下：故答案為1