第六章共形映射掌握共形映射的概念；掌握解析函數的映射的幾個重要性質；掌握分式線性映射的主要性質；掌握幾個初等函數構成的映射

第一節共形映射的概念正確理解解析函數導數的幾何意義及共形映射的概念；掌握解析函數的映射的保域性、保伸縮率及旋轉角的性質；伸縮率與旋轉角

可以看出，曲線被伸縮和旋轉。如圖，過點的曲線經映射后，變成了過點的曲線

1.伸縮率

切線

2.旋轉角

切線

伸縮率和旋轉角定量地刻畫了曲線經映射后的局部變化特征。

導數的定義

一、導數的幾何意義切線

切線

切線

切線

1.導數的幾何意義

為曲線在點的伸縮率。

為曲線在點的旋轉角。

結論:導數的幾何意義表現為切線

切線

2.伸縮率不變性

切線

切線

3.旋轉角不變性

4.保角性即保持了兩條曲線的交角的大小與方向不變。

切線

切線

二、共形映射的概念三、共形映射的基本問題對于問題一，有下面兩個定理對于問題二，有下面定理掌握分式線性函數的映射性質第二節分式線性函數一、分式線性函數的定義分式線性函數是指下列形狀的函數：其中是復常數，而且。在時，我們也稱它為整線性函數。分式線性函數的反函數為它也是分式線性函數，其中

注：(1)分式線性函數的定義域可以推廣到擴充復平面。(2)當時，規定它把映射成；(3)當時，規定它把映射成二、分式線性函數的拓廣保形映射的概念可以擴充到無窮遠點及其鄰域。把及其一個鄰域保形映射成t=0及其一個鄰域，那么我們說w=f(z)把及其一個鄰域保形映射成及其一個鄰域。如果注：分式線性函數把擴充z平面保形映射成擴充w平面。如果把及其一個鄰域保形映射成t=0及其一個鄰域，那么我們說w=f(z)把及其一個鄰域保形映射成及其一個鄰域。三、分式線性函數的分解一般分式線性函數是由下列四種簡單函數疊合而得的：（1）、（為一個復數）；（2）、（為一個實數）；（3）、（r為一個正數）；（4）、。事實上，我們有：（2）、確定一個旋轉；（3）、確定一個以原點為相似中心的相似映射；（4）、是由映射及關于實軸的對稱映射疊合而得。（1）、確定一個平移；把z及w看作同一個復平面上的點，則有：四、映射的性質1、保圓性規定：在擴充復平面上，任一直線看成半徑是無窮大的圓。定理6.6在擴充復平面上，分式線性函數把圓映射成圓。證明：由于分式線性函數所確定的映射是平移、旋轉、相似映射及型的函數所確定的映射復合而得。但前三個映射顯然把圓映射成圓，所以只用證明映射也把圓映射為圓即可。在圓的方程中（如果a=0，這表示一條直線），代入則得圓的復數表示：其中a,b,c,d是實常數，是復常數。函數把圓映射成為即w平面的圓（如果d=0，它表示一條直線，即擴充w平面上半徑為無窮大的圓）。注解：(1)、設分式線性函數把擴充z平面上的圓C映射成擴充w平面上的圓C‘。于是，C及C’把這兩個擴充復平面分別分成兩個沒有公共點的區域，及，其邊界分別是C及C'。(2)、映射后的區域的象究竟是還是，必須通過檢驗其中某一個點的象來決定。定理6.7對于擴充

z平面上任意三個不同的點以及擴充

w平面上任意三個不同的點存在唯一的分式線性函數，把依次分別映射成2、保形性證明：先考慮已給各點都是有限點的情形。設所求分式線性函數是那么，由得同理，有：因此，有由此，我們可以解出分式線性函數。由此也顯然得這樣的分式線性函數也是唯一的。其次，如果已給各點除外都是有限點。則所求分式線性函數有下列的形式：那么，由同理有由此，我們可以解出分式線性函數。顯然這樣的分式線性函數也是唯一的。

和分別稱為及的交比。分別記為，注：推論在分式線性函數所確定的映射下，交比不變。即設一個分式線性函數把擴充

z平面上任意不同四點映射成擴充

w平面上四點，那么定理6.8擴充

z平面上任何圓，可以用一個分式線性函數映射成擴充

w平面上任何圓。證明：設C是z平面上的一個圓，C‘是w平面上的一個圓，在C和C’上分別取三個不同的點，由定理6.7，存在一個分式線性函數，把映射成，從而把圓C映射成圓C‘。設已給圓3、保對稱點性如果兩個有限點及在過的同一射線上，并且那么我們說它們是關于圓C的對稱點。注解1、圓C上的點是它本身關于圓C的對稱點；2、規定及是關于圓C的對稱點；3、利用此定理也可以解釋關于直線的對稱點。引理6.1不同兩點及是關于圓C的對稱點的必要與充分條件是：通過及的任何圓與圓C正交。證明：如果C是直線（半徑為無窮大的圓）；或者C是半徑為有限的圓，及之中有一個是無窮遠點，則結論顯然。必要性設及關于圓C的對稱，那么通過及的直線（半徑為無窮大的圓）顯然和圓C正交。而及都是有限的情形。現在考慮圓C為作過z1及z2的任何圓C‘

（半徑為有限）；過z0作圓C‘的切線，設其切點是z’，于是從而這說明z’∈C

。從而上述C'的切線恰好是圓C的半徑，因此C與C'直交。顯然，z1及z2在這切線的同一側。又過z1及z2作一直線L，由于L與C直交，它通過圓心z0。于是z1及z2在通過z0的一條射線上。充分性過z1及z2作一個圓C‘

（半徑為有限），與C交于一點z’。由于圓C與C‘正交，C’在z‘的切線通過圓C的心z0。則因此，z1及z2是關于圓C的對稱點。定理6.9(保圓的對稱性）如果分式線性函數把

z平面上圓C映射成

w平面上的圓C‘，那么它把關于圓C的對稱點z1及z2映射成關于圓C‘的對稱點w1及w2

。證明：過w1及w2的任何圓是由過z1及z2的圓映射得來的。由引理6.1，過z1及z2的任何圓與圓C直交。從而由分式線性函數的保形性，過w1及w2的任何圓與圓C‘直交。再利用引理6.1，w1及w2是關于圓C'的對稱點。分式線性函數把w1及w2映射成關于圓w|=R的對稱點0及∞，把擴充z平面上的曲線映射為圓w|=R。由定理6.1、定理6.9知，上式表示一個圓，z1及z2是關于它對稱點。例：考慮擴充w平面上的一個圓|w|=R。五、兩個特殊的分式線性函數(1)、上半平面Imz>0保形映射成單位圓|w|<1內部的分式線性函數解：該函數應當一方面把Imz>0內某一點z0

映射成w=0，一方面把Imz=0映射成|w|=1。由于線性函數把關于實軸Imz=0的對稱點映射成為關于圓|w|=1的對稱點，所求函數不僅把z0映射成w=0，而且把映射成w=∞。因此這種函數的形狀是：其中是一個復常數。其次，如果z是實數，那么于是，其中是一個實常數。由于z是實數時，|w|=1，因此它把直線Imz=0映射成圓|w|=1，從而把上半平面Imz>0映射成|w|<1或|w|>1。又因為當z=z0時，|w|=0<1，因此該函數正是所要求的。因此所求的函數應是注解：1、圓盤|w|<1的直徑是由通過z0

及的圓在上半平面的弧映射成的；2、以w=0為心的圓由以z0及為對稱點的圓映射成的；3、w=0是由z=z0

映射成的。(2)、把單位圓|z|<1保形映射成單位圓盤|w|<1的分式線性函數解：首先，這種函數應當把|z|<1內某一點z0

映射成w=0，并且把|z|=1映射成|w|=1。不難看出，與z0關于圓|z|=1的對稱點是，和上面一樣，這種函數還應當把映射成因此這種函數的形狀是：其中是一個復常數。其次，如果|z|=1時，那么于是因此，其中是一個實常數。所求的函數應是由于當|