專題9.4四邊形中的線段最值問題【典例1】如圖，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，E為線段BC上一動點，EF⊥AC，垂足為F．（1）如圖1，連接DE交AC于點M，若∠DEF=15°，求AM的長；（2）如圖2，點G在BC的延長線上，點E在BC上運動時，滿足CG=BE，①連接BF，DG，判斷BF，DG的數量關系并說明理由；②如圖3，若Q為CG的中點，直接寫出DE+2DQ的最小值為．【思路點撥】（1）如圖1，過點M作MH⊥AD于點H，先根據正方形性質和三角形內角和定理得出：∠DAC=45°，∠ADM=60°，設DH=x，則DM=2x，運用勾股定理即可求出答案；（2）①如圖2，過點F作FH⊥BC于點H，設CG=BE=y，則EH=1?y②如圖3，取DE、DC的中點P、H，延長DC至K，使CK=CH=1，延長PC至L，使CL=CP，連接PH，KL，過點Q作QR//CL，延長KL交QR于R，先證得ΔCKL?ΔCHP(SAS)，再證得四邊形CQRL是平行四邊形，得出當D、Q、R三點共線時，QR+DQ最小，故當D、Q、R三點共線時，12DE+DQ=QR+DQ=DR最小，即【解題過程】解：（1）如圖1，過點M作MH⊥AD于點H，∵四邊形ABCD是邊長為2的正方形，∴AD=2，AD//BC，∠ACB=∠DAC=45°，∴∠ADM=∠DEC，∵EF⊥AC，∴∠FEC=90°?∠ACB=90°?45°=45°，∵∠DEF=15°，∴∠MEC=∠DEF+∠FEC=15°+45°=60°，即∠DEC=60°，∴∠ADM=60°，又∵MH⊥AD，∠DAC=45°，∴∠DMH=30°，∠HMA=∠DAC=45°，∴DM=2DH，AH=MH，設DH=x，則DM=2x，∴由勾股定理得MH=3又∵AH+DH=AD=2，∴3x+x=2∴x=3?1，即∴AH=MH=3RtΔAHM中，由勾股定理得：AM=2（2）①DG=2如圖2，過點F作FH⊥BC于點H，∴∠FHB=∠FHC=90°，∵∠ACB=45°，EF⊥AC，∴∠FEC=45°=∠ACB，∴FE=FC，∴EH=CH=FH，∵CG=BE，∴設CG=BE=y，則EH=CH=FH=BC?BE2=1?∴BH=y+1?y∵四邊形ABCD是邊長為2的正方形，點G在BC的延長線上，∴∠DCG=∠BCD=90°，在RtΔBFH和RtΔ分別由勾股定理得：BF2=F∴DG∴DG=2②如圖3，取DE、DC的中點P、H，延長DC至K，使CK=CH=1，延長PC至L，使CL=CP，連接PH，KL，過點Q作QR//CL，延長KL交QR于R，∵∠BCD=90°，P為DE中點，∴CP=1∵P、H分別是DE、DC的中點，∴PH//CE，PH=1∴∠CHP=180°?∠BCD=90°，在ΔCKL和ΔCHP中，CK=CH∠KCL=∠HCP∴ΔCKL?ΔCHP(SAS)，∴KL=PH=12CE∴KR//CG，∴∠CLK=∠ECP，又∵QR//CL，∴四邊形CQRL是平行四邊形，∴QR=CL=CP=12DE∴12∵當D、Q、R三點共線時，QR+DQ最小，∴當D、Q、R三點共線時，12即2DR=2(1此時，LR=CQ=12CG=∴KR=KL+LR=1∵DK=DC+CK=2+1=3，∠CKL=90°，∴DR=D∴2DR=210∴DE+2DQ的最小值為210故答案為：2101．（2023春·江蘇無錫·八年級?？茧A段練習）如圖，菱形ABCD中，AB=4，∠A=120°，點P、Q、K分別為線段BC、CD、BD上的任意一點，則PK+QK的最小值為（）A．4 B．25 C．4332．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖：E是邊長為1的正方形ABCD的對角線BD上一點，且BE=BC，P為CE上任意一點，PQ⊥BC于點Q，PR⊥BE于點R，則PQ+PR的值是（）A．32 B．12 C．223．（2023春·江蘇·八年級專題練習）如圖，在矩形ABCD中，點N、O、P、M分別是邊AB、BC、CD、DA上的點(不與端點重合)，若AN=CP，BO=DM，且AB=2BC=2，則四邊形MNOP周長的最小值等于（

）A．25 B．23 C．5 D．34．（2022秋·重慶大渡口·九年級重慶市第三十七中學校?？计谀┤鐖D，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，點P在AD上，點Q在BC上，且AP=CQ，連接CP，QD，則PC+QD的最小值為（）A．8 B．10 C．12 D．205．（2023·山西朔州·統考一模）如圖，菱形ABCD的邊長為8，∠ABC=60°，點E，F分別是AB，CD邊上的動點，且AE=CF，過點B作BG⊥EF于點G，連接AG，則AG長的最小值是（

）A．27 B．23 C．276．（2023春·江蘇·八年級專題練習）如圖，在正方形ABCD中，AB=12，E為BC邊上一點，CE=7．F為對角線BD上一動點（不與點B、D重合），過點F分別作FM⊥BC于點M、FN⊥CD于點N，連接EF、MN，則EF+MN的最小值為______．7．（2021春·湖北武漢·八年級?？茧A段練習）如圖，矩形ABCD中，AD=2AB，AB=8，E為AD的中點，點M為邊CD上一動點，PE⊥EM，EN平分∠PEM，過點P作PG⊥EN，垂足為G，取EM的中點K，連接DK，KG，則DK+KG+PG8．（2022春·江蘇·九年級專題練習）如圖，長方形ABCD中，AB=6，BC=8，E為BC上一點，且BE=2，F為AB邊上的一個動點，連接EF，將EF繞著點E順時針旋轉30°到EG的位置，連接FG和CG，則CG的最小值為______．9．（2022春·湖北十堰·九年級專題練習）如圖，M為矩形ABCD中AD邊中點，E、F分別為BC、CD上的動點，且BE＝2DF，若AB＝1，BC＝2，則ME+2AF的最小值為________．10．（2023春·重慶江津·八年級重慶市江津中學校?？茧A段練習）如圖，點A0,43，點B4,0，點P為線段AB上一個動點，作PM⊥y軸于點M，作PN⊥x軸于點N，連接MN，當MN11．（2022春·四川成都·八年級統考期末）如圖，在長方形ABCD中，AD=3，∠DBA=30°，點P為邊AB上的一個動點，過點P作PQ⊥BD，分別交BD、CD于點E、Q，則DP+BQ12．（2022·河南·九年級專題練習）如圖，邊長為4的菱形ABCD中，∠C＝60°，點M為AD的中點，E、F是對角線BD上的兩個動點，且EF＝2，則線段MF＋AE的最小值為________．13．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖1，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于O，E為BC邊上一動點（不與B，C重合），OF⊥OE交CD于F．（1）求證：△OBE≌△OCF；（2）求證：2OE（3）如圖2，若正方形ABCD邊長為22，G為EF中點，點E在運動過程中，CG14．（2022秋·陜西渭南·九年級統考期末）如圖，正方形ABCD的邊長為4，點M、N分別在AB、CD上．將該紙片沿MN折疊，使點D落在邊BE上的點E處，折痕MN與DE相交于Q．（1）請判斷DE與MN之間的數量關系，并說明理由；（2）若點G為EF的中點，隨著折痕MN位置的變化，請求出△GQE周長的最小值．15．（2023春·八年級課時練習）（1）如圖1，正方形ABCD中，點P為線段BC上一個動點，若線段MN垂直AP于點E，交線段AB于點M，交線段CD于點N，證明：AP＝MN；（2）如圖2，正方形ABCD中，點P為線段BC上一動點，若線段MN垂直平分線段AP，分別交AB，AP，BD，DC于點M，E，F，N．求證：EF＝ME+FN；（3）若正方形ABCD的邊長為2，求線段EF的最大值與最小值．16．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB=10,AD=16,∠A=60°，P是射線AD上一點，連接PB，沿PB將△APB折疊，得△A′PB．（1）如圖1所示，當∠DPA′=10°時，∠A'PB=_____度；（2）如圖2所示，當PA'⊥BC時，求線段PA的長度；（3）當點P為AD中點時，點F是邊AB上不與點A，B重合的一個動點，將△APF沿PF折疊，得到△A′PF，連接BA′，求△BA′F周長的最小值．17．（2022秋·全國·九年級專題練習）在長方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，點P、Q為BC邊上的兩個動點（點P位于點Q的左側，P、Q均不與頂點重合），PQ＝2（1）如圖①，若點E為CD邊上的中點，當Q移動到BC邊上的中點時，求證：AP＝QE；（2）如圖②，若點E為CD邊上的中點，在PQ的移動過程中，若四邊形APQE的周長最小時，求BP的長；（3）如圖③，若M、N分別為AD邊和CD邊上的兩個動點（M、N均不與頂點重合），當BP＝3，且四邊形PQNM的周長最小時，求此時四邊形PQNM的面積．18．（2022秋·全國·九年級專題練習）在?ABCD中，連接BD，若BD⊥CD，點E為邊AD上一點，連接CE．（1）如圖1，點G在BD上，且DG=DC，連接CG，過G作GH⊥CE于點H，連接DH并延長交AB于點M，若HG=BM，求證：BM+2（2）如圖2，∠ABC=120°，AB=5，點N在BC邊上，BC=4CN，若CE是∠DCB的角平分線，線段PQ（點P在點Q的左側）在線段CE上運動，PQ=152，連接BP、NQ19．（2022春·湖南長沙·八年級校聯考期末）定義：對角線互相垂直的凸四邊形叫做“準箏形”．如圖1，四邊形ABCD中，AC⊥BD，則四邊形ABCD是“準箏形”．（1）“三條邊相等的準箏形是菱形”是命題；（填“真”或“假”）（2）如圖1，在準箏形ABCD中，AB=2，AD=4，BC=6，求CD的長；（3）如圖2，在準箏形ABCD中，AC與BD交于點O，點P為線段AD的中點，且AD=4，AO=2，在線段BD上存在移動的線段EF，點E在點F的左側，且EF=1，當四邊形AEF