第14講極點極線問題一、解答題1．已知橢圓M：（a＞b＞0）過A（－2，0），B（0，1）兩點．（1）求橢圓M的離心率；（2）設橢圓M的右頂點為C，點P在橢圓M上（P不與橢圓M的頂點重合），直線AB與直線CP交于點Q，直線BP交x軸于點S，求證：直線SQ過定點．2．若雙曲線與橢圓共頂點，且它們的離心率之積為．（1）求橢圓C的標準方程；（2）若橢圓C的左、右頂點分別為，，直線l與橢圓C交于P、Q兩點，設直線與的斜率分別為，，且．試問，直線l是否過定點？若是，求出定點的坐標；若不是，請說明理由．3．如圖，橢圓E：的離心率是，過點P（0,1）的動直線與橢圓相交于A，B兩點，當直線平行與軸時，直線被橢圓E截得的線段長為.（1）求橢圓E的方程；（2）在平面直角坐標系中，是否存在與點P不同的定點Q，使得恒成立？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.4．在平面直角坐標系中，如圖所示，已知橢圓的左、右頂點分別為，右焦點為.設過點的直線，與此橢圓分別交于點，，其中，，．（Ⅰ）設動點滿足：，求點的軌跡；（Ⅱ）設，求點的坐標；（Ⅲ）設，求證：直線必過軸上的一定點（其坐標與無關），并求出該定點的坐標．5．已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點，G為E的上頂點，，P為直線x=6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D．（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過定點.6．已知橢圓：的左焦點為，且過點.（1）求橢圓的標準方程；（2）已知，分別為橢圓的左、右頂點，為直線上任意一點，直線，分別交橢圓于不同的兩點，.求證：直線恒過定點，并求出定點坐標.7．設橢圓過點，且左焦點為．（1）求橢圓的方程；（2）當過點的動直線與橢圓相交于兩不同點，時，在線段上取點，且滿足，證明：點總在某定直線上．8．設，點的坐標為（1,1），點在拋物線上運動，點滿足，經過點與軸垂直的直線交拋物線于點，點滿足,求點的軌跡方程．9．已知橢圓的左?右頂點分別為點，，且，橢圓離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓的右焦點，且斜率不為的直線交橢圓于，兩點，直線，的交于點，求證：點在直線上.10．如圖，B，A是橢圓的左、右頂點，P，Q是橢圓C上都不與A，B重合的兩點，記直線BQ，AQ，AP的斜率分別是，，.（1）求證：；（2）若直線PQ過定點，求證：.11．已知橢圓的焦距為分別為橢圓的左、右頂點，為橢圓上的兩點(異于)，連結，且斜率是斜率的倍.（1）求橢圓的方程；（2）證明:直線恒過定點.12．橢圓的左、右頂點分別為，，上頂點為，點，線的傾斜角為.（1）求橢圓的方程；（2）過且斜率存在的動直線與橢圓交于、兩點，直線與交于，求證：在定直線上.13．已知橢圓的離心率為，且點在橢圓上．（1）求橢圓C的標準方程；（2）如圖，橢圓C的左、右頂點分別為A，B，點M，N是橢圓上異于A，B的不同兩點，直線的斜率為，直線的斜率為，求證：直線過定點．14．設分別是橢圓的左?右頂點，點為橢圓的上頂點.（1）若，求橢圓的方程；（2）設，是橢圓的右焦點，點是橢圓第二象限部分上一點，若線段的中點在軸上，求的面積.（3）設，點是直線上的動點，點和是橢圓上異于左右頂點的兩點，且，分別在直線和上，求證：直線恒過一定點.15．已知曲線.（1）若曲線C表示雙曲線，求的范圍；（2）若曲線C是焦點在軸上的橢圓，求的范圍；（3）設，曲線C與軸交點為A，B（A在B上方），與曲線C交于不同兩點M，N，與BM交于G，求證：A，G，N三點共線.16．已知橢圓過點，且橢圓的一個頂點的坐標為．過橢圓的右焦點的直線與橢圓交于不同的兩點，（，不同于點），直線與直線：交于點．連接，過點作的垂線與直線交于點．（1）求橢圓的方程，并求點的坐標；（2）求證：，，三點共線．17．已知橢圓的左右頂點分別為A和B，離心率為，且點在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）過點M（1，0）作一條斜率不為0的直線交橢圓于P，Q兩點，連接AP、BQ，直線AP與BQ交于點N，探求點N是否在一條定直線上，若在，求出該直線方程；若不在，請說明理由.18．已知橢圓的左、右頂點分別為，，為原點.以為對角線的正方形的頂點，在上.（1）求的離心率；（2）當時，過作與軸不重合的直線與交于，兩點，直線，的斜率分別為，，試判斷是否為定值？若是，求出定值，并加以證明；若不是，請說明理由.19．已知F為拋物線的焦點，直線與C交于A，B兩點且.（1）求C的方程.（2）若直線與C交于M，N兩點，且與相交于點T，證明：點T在定直線上.第14講極點極線問題一、解答題1．已知橢圓M：（a＞b＞0）過A（－2，0），B（0，1）兩點．（1）求橢圓M的離心率；（2）設橢圓M的右頂點為C，點P在橢圓M上（P不與橢圓M的頂點重合），直線AB與直線CP交于點Q，直線BP交x軸于點S，求證：直線SQ過定點．【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）由已知兩點坐標得，求得后可得離心率；（2）直線方程為，設（，），，．由三點共線求得點坐標（用點坐標表示），由共線求得點坐標（用點坐標表示），寫出直線的方程，把代入化簡對方程變形可得定點坐標．【詳解】解：（1）因為點，都在橢圓上，所以，．所以．所以橢圓的離心率．（2）由（1）知橢圓的方程為，．由題意知：直線的方程為．設（，），，．因為三點共線，所以有，，所以．所以．所以．因為三點共線，所以，即．所以．所以直線的方程為，即．又因為點在橢圓上，所以．所以直線的方程為．所以直線過定點．【點睛】關鍵點點睛：本題考查求橢圓的離心率，考查橢圓的直線過定點問題，解題方法是設橢圓上的點坐標，利用三點共線變為向量平行，求得直線交點的坐標，得出直線方程，再由在橢圓上，代入化簡湊配出定點坐標．2．若雙曲線與橢圓共頂點，且它們的離心率之積為．（1）求橢圓C的標準方程；（2）若橢圓C的左、右頂點分別為，，直線l與橢圓C交于P、Q兩點，設直線與的斜率分別為，，且．試問，直線l是否過定點？若是，求出定點的坐標；若不是，請說明理由．【答案】（1）；（2）直線l恒過定點．.【分析】（1）待定系數法橢圓的標準方程；（2）用“設而不求法”把直線和橢圓聯立方程組，，表示出，整理出直線過定點.【詳解】（1）由已知得雙曲線的離心率為，又兩曲線離心率之積為，所以橢圓的離心率為；由題意知，所以，．所以橢圓的標準萬程為．（2）當直線l的斜率為零時，由對稱性可知：，不滿足，故直線l的斜率不為零．設直線l的方程為，由，得：，因為直線l與橢圓C交于P、Q兩點，所以，整理得：，設、，則，，，．因為，所以，整理得：，，將，代入整理得：要使上式恒成立，只需，此時滿足，因此，直線l恒過定點．【點睛】（1）待定系數法可以求二次曲線的標準方程；（2）"設而不求"是一種在解析幾何中常見的解題方法，可以解決直線與二次曲線相交的問題；（3）證明直線過定點，通常有兩類：①直線方程整理為斜截式y=kx+b，過定點(0,b)；②直線方程整理為點斜式y-yo=k(x-x0)，過定點(x0,y0)．3．如圖，橢圓E：的離心率是，過點P（0,1）的動直線與橢圓相交于A，B兩點，當直線平行與軸時，直線被橢圓E截得的線段長為.（1）求橢圓E的方程；（2）在平面直角坐標系中，是否存在與點P不同的定點Q，使得恒成立？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在，Q點的坐標為.【詳解】（1）由已知，點在橢圓E上.因此，解得.所以橢圓的方程為.（2）當直線與軸平行時，設直線與橢圓相交于C、D兩點.如果存在定點Q滿足條件，則，即.所以Q點在y軸上，可設Q點的坐標為.當直線與軸垂直時，設直線與橢圓相交于M、N兩點.則，由，有，解得或.所以，若存在不同于點P的定點Q滿足條件，則Q點的坐標只可能為.下面證明：對任意的直線，均有.當直線的斜率不存在時，由上可知，結論成立.當直線的斜率存在時，可設直線的方程為，A、B的坐標分別為.聯立得.其判別式，所以，.因此.易知，點B關于y軸對稱的點的坐標為.又，所以，即三點共線.所以.故存在與P不同的定點，使得恒成立.【點睛】本題考查橢圓的標準方程與幾何性質、直線方程、直線與橢圓的位置關系等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查數形結合、化歸與轉化、特殊與一般、分類與整合等數學思想.4．在平面直角坐標系中，如圖所示，已知橢圓的左、右頂點分別為，右焦點為.設過點的直線，與此橢圓分別交于點，，其中，，．（Ⅰ）設動點滿足：，求點的軌跡；（Ⅱ）設，求點的坐標；（Ⅲ）設，求證：直線必過軸上的一定點（其坐標與無關），并求出該定點的坐標．【答案】（I）；（II）；（III）.【解析】試題分析：（I）設出點，利用坐標化簡，得到點的軌跡；（II）由分別得出直線的方程為，直線的方程為，聯立方程組即可求解點的坐標；（III）直線的方程為：，直線的方程為：，分別與橢圓的方程聯立，由，求得，此時直線的方程為，過點，若，由，所以直線過點.試題解析：（Ⅰ）由題設得，，設動點，由，代入化簡得，.故點的軌跡為直線.（Ⅱ）由，，得，則點，直線的方程為，由，，得，則點，直線的方程為，由（Ⅲ）由題設知，直線的方程為：，直線的方程為：，點滿足；點滿足；若，且，得，此時直線的方程為，過點；若，則，直線的斜率，直線的斜率，所以，所以直線過點.因此直線必過軸上一定點.考點：軌跡方程的求解；直線的交點；直線過定點的判斷．【方法點晴】本題主要考查了曲線軌跡方程的求解和兩直線的交點的計算、直線過定點問題的判定，著重考查了分類討論的思想方法及函數與方程思想的應用，屬于中檔試題，本題的第三問題的解答中，由直線的方程，直線的方程，分別與橢圓的方程聯立，利用韋達定理求得，再由和，由，兩種情況分別判定直線過定點.5．已知A、B分別為橢圓E：（a>1）的左、右頂點，G為E的上頂點，，P為直線x=6上的動點，PA與E的另一交點為C，PB與E的另一交點為D．（1）求E的方程；（2）證明：直線CD過定點.【答案】（1）；（2）證明詳見解析.【分析】（1）由已知可得：，，，即可求得，結合已知即可求得：，問題得解.（2）設，可得直線的方程為：，聯立直線的方程與橢圓方程即可求得點的坐標為，同理可得點的坐標為，當時，可表示出直線的方程，整理直線的方程可得：即可知直線過定點，當時，直線：，直線過點，命題得證.【詳解】（1）依據題意作出如下圖象：由橢圓方程可得：，，，，橢圓方程為：（2）證明：設，則直線的方程為：，即：聯立直線的方程與橢圓方程可得：，整理得：，解得：或將代入直線可得：所以點的坐標為.同理可得：點的坐標為當時，直線的方程為：，整理可得：整理得：所以直線過定點．當時，直線：，直線過點．故直線CD過定點．【點睛】本題主要考查了橢圓的簡單性質及方程思想，還考查了計算能力及轉化思想、推理論證能力，屬于難題.6．已知橢圓：的左焦點為，且過點.（1）求橢圓的標準方程；（2）已知，分別為橢圓的左、右頂點，為直線上任意一點，直線，分別交橢圓于不同的兩點，.求證：直線恒過定點，并求出定點坐標.【答案】（1）；（2）見解析.【解析】試題分析：（1）根據橢圓定義確定a，再根據c求b（2）設根據直線與橢圓方程聯立方程組解得，N坐標，再根據兩點式求MN直線方程，化成點斜式，求出定點試題解析：(1)橢圓的一個焦點，則另一個焦點為,由橢圓的定義知:，代入計算得．又,所以橢圓的標準方程為．(2)設，則直線，與聯立，解得同理所以直線的斜率為=所以直線所以直線恒過定點，且定點坐標為點睛：定點、定值問題通常是通過設參數或取特殊值來確定“定點”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉化為代數式或三角問題，證明該式是恒定的.定點、定值問題同證明問題類似，在求定點、定值之前已知該值的結果，因此求解時應設參數，運用推理，到最后必定參數統消，定點、定值顯現.7．設橢圓過點，且左焦點為．（1）求橢圓的方程；（2）當過點的動直線與橢圓相交于兩不同點，時，在線段上取點，且滿足，證明：點總在某定直線上．【答案】（1）（2）見解析【分析】（1）根據橢圓的左焦點為，得到，再根據橢圓過點，代入橢圓方程求解.（2）設直線的參數方程是，（為參數），代入橢圓方程，由，化簡得到，即，再代入直線參數方程求解.【詳解】（1）因為橢圓的左焦點為，所以，設橢圓方程為，又因為橢圓過點，所以，解得所以橢圓方程為：；（2）設直線的參數方程是，（為參數），代入橢圓方程，得：．由，得，即，則，點軌跡的參數方程是，則，所以點在定直線上【點睛】本題主要考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關系以及直線的參數方程的應用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.8．設，點的坐標為（1,1），點在拋物線上運動，點滿足，經過點與軸垂直的直線交拋物線于點，點滿足,求點的軌跡方程．【答案】略【解析】略9．已知橢圓的左?右頂點分別為點，，且，橢圓離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過橢圓的右焦點，且斜率不為的直線交橢圓于，兩點，直線，的交于點，求證：點在直線上.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由題知，解方程即可得，，故橢圓的方程是.（2）先討論斜率不存在時的情況易知直線，的交點的坐標是.當直線斜率存在時，設直線方程為，，，進而聯立方程結合韋達定理得，，直線的方程是，直線的方程是，進而計算得時的縱坐標，并證明其相等即可.【詳解】解：（1）因為，橢圓離心率為，所以，解得，.所以橢圓的方程是.（2）①若直線的斜率不存在時，如圖，因為橢圓的右焦點為，所以直線的方程是.所以點的坐標是，點的坐標是.所以直線的方程是，直線的方程是.所以直線，的交點的坐標是.所以點在直線上.②若直線的斜率存在時，如圖.設斜率為.所以直線的方程為.聯立方程組消去，整理得.顯然.不妨設，，所以，.所以直線的方程是.令，得.直線的方程是.令，得.所以分子..所以點在直線上.【點睛】本題第二問解題的關鍵在于分類討論直線斜率不存在和存在兩種情況，當直線斜率存在時，設，，寫出直線的方程是和直線的方程是，進而計算得時的縱坐標相等即可.考查運算求解能力，是中檔題.10．如圖，B，A是橢圓的左、右頂點，P，Q是橢圓C上都不與A，B重合的兩點，記直線BQ，AQ，AP的斜率分別是，，.（1）求證：；（2）若直線PQ過定點，求證：.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【分析】（1）設，代入斜率公式求；（2）設直線的方程是，與橢圓方程聯立，利用根與系數的關系表示，再根據（1）的結論證明.【詳解】（1）設；（2）設直線的方程是，設與橢圓方程聯立，得：，，，，,由（1）可知，兩式消去，解得：.【點睛】本題考查直線與橢圓的位置關系的綜合應用，定值和定點，意在考查轉化與化歸的思想和計算能力，屬于中檔題型，第二問中設而不求的基本方法也使得求解過程變得簡單，在解決圓錐曲線與動直線問題中，韋達定理，弦長公式都是解題的基本工具.11．已知橢圓的焦距為分別為橢圓的左、右頂點，為橢圓上的兩點(異于)，連結，且斜率是斜率的倍.（1）求橢圓的方程；（2）證明:直線恒過定點.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）根據題意列出方程組，解出方程組即可得橢圓方程；（2）連結設，由橢圓的性質可得出，故而可得，當斜率不存在時，設，解出，當直線斜率存在時，設，聯立直線與橢圓的方程，結合韋達定理，可得出，得出與的關系，代入直線方程即可得定點.【詳解】（1）因為，所以，即橢圓的方程為（2）連結設則因為點在橢圓上，所以因為，所以當斜率不存在時，設，不妨設在軸上方，因為，所以（ii）當斜率存在時，設，即，所以因為所以，即或當時，，恒過定點，當斜率不存在亦符合:當，，過點與點重合，舍去.所以直線恒過定點【點睛】本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交、一元二次方程的根與系數的關系、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．12．橢圓的左、右頂點分別為，，上頂點為，點，線的傾斜角為.（1）求橢圓的方程；（2）過且斜率存在的動直線與橢圓交于、兩點，直線與交于，求證：在定直線上.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由題意和過兩點的直線的斜率公式可求得b，可得橢圓的方程.（2）設，，，設過的動直線：，代入橢圓的方程得：，由韋達定理得：，，再由，，及，，三點共線，化簡可得證明點在定直線上.【詳解】（1），由題意，，所以橢圓的方程.（2）設，，，過的動直線：，代入橢圓的方程得：，得：，，，分別由，，及，，三點共線，得：，，兩式相除得：，得：，即在直線上.【點睛】本題考查求橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系之交點問題之動點在定直線上，屬于較難題.13．已知橢圓的離心率為，且點在橢圓上．（1）求橢圓C的標準方程；（2）如圖，橢圓C的左、右頂點分別為A，B，點M，N是橢圓上異于A，B的不同兩點，直線的斜率為，直線的斜率為，求證：直線過定點．【答案】（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）由，得到，再由點在該橢圓上，求得的值，即可求得橢圓的方程；（2）設的方程為，聯立方程組求得，再由的的方程，聯立方程組，求得，結合斜率公式，進而得到直線過定點.【詳解】（1）由橢圓的離心率為，且點在橢圓上，可得，所以，又點在該橢圓上，所以，所以，所以橢圓C的標準方程為（2）由于的斜率為，設的方程為，聯立方程組，整理得，所以，所以，從而，即，同理可得：由于的斜率為，則，聯立方程組，可得，即，所以，所以，從而，即，當時即；時，，過點，當時，，，即，所以直線過點，綜上可得，直線過點.【點睛】解答圓錐曲線的定點、定值問題的策略：1、參數法：參數解決定點問題的思路：①引進動點的坐標或動直線中的參數表示變化量，即確定題目中核心變量（通常為變量）；②利用條件找到過定點的曲線之間的關系，得到關于與的等式，再研究變化量與參數何時沒有關系，得出定點的坐標；2、由特殊到一般發：由特殊到一般法求解定點問題時，常根據動點或動直線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關.14．設分別是橢圓的左?右頂點，點為橢圓的上頂點.（1）若，求橢圓的方程；（2）設，是橢圓的右焦點，點是橢圓第二象限部分上一點，若線段的中點在軸上，求的面積.（3）設，點是直線上的動點，點和是橢圓上異于左右頂點的兩點，且，分別在直線和上，求證：直線恒過一定點.【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.【分析】（1）計算得，，代入解方程即可得，故可得橢圓的方程；（2）設另一焦點為，則軸，計算出點坐標，計算即可；（3）設點P的坐標為，直線：，與橢圓方程聯立，由韋達定理計算得出，同理可得，分，兩種情況表示出直線方程，從而確定出定點.【詳解】（1），，，，解得即橢圓的方程為.（2）橢圓的方程為，由題意，設另一焦點為，設，由線段的中點在y軸上，得軸，所以，代入橢圓方程得，即；（3）證明：由題意，設點P的坐標為，直線：，與橢圓方程聯立消去得：由韋達定理得即；同理；當，即即時，直線的方程為；當時，直線：化簡得，恒過點；綜上所述，直線恒過點.【點睛】關鍵點睛：解決第（3）的關鍵是能夠運用韋達定理表示出點的坐標，從而表示出直線，并能通過運算整理成關于的方程，從而確定出定點，考查學生的運算求解能力，有一定的難度.15．已知曲線.（1）若曲線C表示雙曲線，求的范圍；（2）若曲線C是焦點在軸上的橢圓，求的范圍；（3）設，曲線C與軸交點為A，B（A在B上方），與曲線C交于不同兩點M，N，與BM交于G，求證：A，G，N三點共線.【答案】（1）；（2）；（3）見解析【分析】（1）若曲線表示雙曲線，則：，解得的范圍；（2）若曲線是焦點在軸上的橢圓，則，解得的取值范圍；（3）聯立直線與橢圓方程結合，解得，設，，，求出的方程，可得，從而可得，，欲證，，三點共線，只需證，共線，利用韋達定理，可以證明．【詳解】（1）若曲線表示雙曲線，則：，解得：.（2）若曲線是焦點在軸上的橢圓，則：，解得：（3）當，曲線可化為：，當時，，故點坐標為：，，將直線代入橢圓方程得：，若與曲線交于不同兩點，，則，解得，由韋達定理得：

①，

②設，，，方程為：，則，∴，，欲證，，三點共線，只需證，共線，即，將①②代入可得等式成立，則，，三點共線得證．【點睛】本題考查橢圓和雙曲線的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查三點共線，解題的關鍵是直線與橢圓方程聯立，利用韋達定理進行求解，屬于中檔題.16．已知橢圓過點，且橢圓的一個頂點的坐標為．過橢圓的右焦點的直線與橢圓交于不同的兩點，（，不同于點），直線與直線：交于點．連接，過點作的垂線與直線交于點．（1）求橢圓的方程，并求點的坐標；（2）求證：，，三點共線．【答案】（1），；（2）證明見解析.【分析】（1）根據題意列方程組，即可得到橢圓的方程，進而得到焦點坐標；（2）討論直線的斜率，利用是平行的證明，，三點共線．【詳解】（1）因為點在橢圓上，且橢圓的一個頂點的坐標為，所以解得所以橢圓的方程為．所以橢圓的右焦點的坐標為．（2）①當直線的斜率不存在時，直線的方程為．顯然，，或，．當，時，直線的方程為，點的坐標為．所以．直線的方程為，點的坐標為．則，．所以，所以，，三點共線．同理，當，時，，，三點共線．②當直線的斜率存在時，設直線的方程為．由得．且．設，，則，．直線的方程為，點的坐標為．所以．直線的方程為，點的坐標為．則，．所以，，，，，．所以與共線，所以，，三點共線．綜上所述，，，三點共線．【點睛】本題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查韋達定理，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．17．已知橢圓的左右頂點分別為A和B，離心率為，且點在橢圓上.（1）求橢圓的方程；（2）過點M（1，0）作一條斜率不為0的直線交橢圓于P，Q兩點，連接AP、BQ，直線AP與BQ交于點N，探求點N是否在一條定直線上，若在，求出該直線方程；若不在，請說明理由.【答案】（1）；（2）在，x=4.【分析】（1）根據離心率及橢圓上的點可求出橢圓的標準方程；（2）設直線的方程為，聯立方程，直線的方程為，直線的方程為，求出交點，由根與系數關系化簡即可.【詳解】（1）由題設，，，且所以，橢圓方程為；（2）由（1）知，A（-2，0），B（2，0），設直線的方程為，聯立方程組，得，因為，設，所以，設直線的方程為，直線的方程為，則，即，而，∴，∴x=4，即直線與直線的交點在直線x=4上.【點睛】本題主要考查了橢圓的標準方程，橢圓的簡單幾何性質，橢圓中的定值問題，屬于中檔題.18．已知橢圓的左、右頂點分別為，，為原點.以為對角線的正方形的頂點，在上.（1）求的離心率；（2）當時，過作與軸不重合的直線與交于，兩點，直線，的斜率分別為，，試判斷是否為定值？若是，求出定值，并加以證明；若不是，請說明理由.【答案】（1）；（2）是，，證明見解析.【分析】（1）由題意可知，將其代入橢圓方程中化簡可得，從而可求出離心率；（2）當時，，所以橢圓的方程為，然后當直線的斜率不存在時，求出，兩點的坐標，從而可求出，，進而可得的值，當直線的斜率存在時，設的方程為，，設，，然后將直線方程與橢圓的方程聯立方程組，消去，