4/4第4講多元問題的最值問題一、方法綜述多元函數是高等數學中的重要概念之一，但隨著新課程的改革，高中數學與大學數學知識的銜接，多元函數的值域與最值及其衍生問題在高考試題中頻頻出現，因其技巧性強、難度大、方法多、靈活多變而具有挑戰性，成為最值求解中的難點和熱點。解決問題的常見方法有：導數法、消元法、均值不等式法（“1”代換）、換元法（整體換元三角換元）、數形結合法、柯西不等式法、向量法等。二、解題策略類型一導數法例1．已知函數，且對于任意的，恒成立，則的取值范圍為（）A． B．C． D．【舉一反三】【2020·浙江學軍中學高考模擬】）已知不等式對任意實數恒成立，則的最大值為（）A． B． C． D．類型二消元法例2．已知實數，，滿足，，則的最小值是（）A． B． C． D．【來源】中學生標準學術能力診斷性測試2021年3月測試理科數學（一卷）試卷【舉一反三】【2020重慶高考一模】若實數a，b，c滿足2a+2b=2a+b，2a+2b+2c=2a+b+c，則c的最大值是．類型三基本不等式法例3．【2020宜昌高考模擬】已知變量滿足，若目標函數取到最大值，則函數的最小值為（）A．1 B．2 C． D．【舉一反三】【2019湖南五市十校12月聯考】已知正實數，，滿足，則當取得最大值時，的最大值為（）A．B．C．D．【2020·陜西西北工業大學附屬中學高考模擬】已知函數，若當時，恒成立，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．類型四換元法例4．【2020浙江高考模擬】已知，則的最大值是__________．【舉一反三】【2020阜陽市三中調研】已知實數滿足,則有（）A．最小值和最大值1B．最小值和最大值1C．最小值和最大值D．最小值1,無最大值【2019山東濟南期末考】已知函數，若對任意，不等式恒成立，其中，則的取值范圍是()A．B．C．D．三、強化訓練1．已知函數對，總有，使成立，則的范圍是（）A． B． C． D．【來源】天津市第一中學2021屆高三下學期第四次月考數學試題2．設是定義在R上的偶函數，且當時，.若對任意的，均有，則實數的最大值是（）A． B． C． D．3．已知f（x）是定義在[﹣1，1]上的奇函數，且f（﹣1）＝﹣1，當a，b∈[﹣1，1]，且a+b≠0時，（a+b）（f（a）+f（b））＞0成立，若f（x）＜m2﹣2tm+1對任意的t∈[﹣1，1]恒成立，則實數m的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣2）∪{0}∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣2，2） D．（﹣2，0）∪（0，2）4．已知實數，不等式對任意恒成立，則的最大值是（）A． B． C． D．25．已知函數，當時設的最大值為，則當取到最小值時（）A．0 B．1 C．2 D．【來源】浙江省寧波市華茂外國語學校2020屆高三下學期3月高考模擬數學試題6．已知函數，其中，記為的最小值，則當時，的取值范圍為（）A． B． C． D．7．函數．若存在，使得，則的取值范圍是（）．A． B． C． D．8．若存在實數，對任意，不等式恒成立，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．9．已知函數的定義域為，，若存在實數，，，使得，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．10．已知函數若恒成立，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．11．設定義在上的函數滿足，且當時，.若對任意，不等式恒成立，則實數的最小值是（）A． B． C． D．【來源】河南省鶴壁市高級中學2020屆高三下學期線上第四次模擬數學（文）試題12．函數、分別是定義在上的偶函數、奇函數，且，若存在，使不等式成立，則實數的最小值為（）A．4 B． C．8 D．【來源】2020屆四川省巴中市高三第一次診斷性數學（理）試題第4講多元問題的最值問題一、方法綜述多元函數是高等數學中的重要概念之一，但隨著新課程的改革，高中數學與大學數學知識的銜接，多元函數的值域與最值及其衍生問題在高考試題中頻頻出現，因其技巧性強、難度大、方法多、靈活多變而具有挑戰性，成為最值求解中的難點和熱點。解決問題的常見方法有：導數法、消元法、均值不等式法（“1”代換）、換元法（整體換元三角換元）、數形結合法、柯西不等式法、向量法等。二、解題策略類型一導數法例1．已知函數，且對于任意的，恒成立，則的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】的定義域為，，∴為奇函數，又在上單調遞增，∴，∴，又，則，，∴恒成立；設，則，當時，∴在內單調遞減，的最大值為從負數無限接近于，，∴，，故選：B.【舉一反三】【2020·浙江學軍中學高考模擬】）已知不等式對任意實數恒成立，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】原不等式可以化為，設f(x)=,所以，所以只有a+4>0，才能有恒成立.此時,設g(x)=，所以所以故選A類型二消元法例2．已知實數，，滿足，，則的最小值是（）A． B． C． D．【來源】中學生標準學術能力診斷性測試2021年3月測試理科數學（一卷）試卷【答案】B【解析】由，可得，，由可得所以，由可得即，解得，所以，令，，由可得，由可得或，，，，，所以的最小值為，即的最小值為.故選：B.【舉一反三】【2020重慶高考一模】若實數a，b，c滿足2a+2b=2a+b，2a+2b+2c=2a+b+c，則c的最大值是．【答案】2﹣log23【解析】分析：由基本不等式得2a+2b≥，可求出2a+b的范圍，再由2a+2b+2c=2a+b+c=2a+b2c=2a+b+2c，2c可用2a+b表達，利用不等式的性質求范圍即可．解：由基本不等式得2a+2b≥，即2a+b≥，所以2a+b≥4，令t=2a+b，由2a+2b+2c=2a+b+c可得2a+b+2c=2a+b2c，所以2c=因為t≥4，所以，即，所以故答案為2﹣log23類型三基本不等式法例3．【2020宜昌高考模擬】已知變量滿足，若目標函數取到最大值，則函數的最小值為（）A．1 B．2 C． D．【答案】D【解析】試題分析：因為（當且僅當時取等號）,所以.則,記,則在上單調遞增,所以,應選D.【易錯點晴】本題以線性規劃的知識為背景考查的是函數的最小值的求法問題.求解時充分利用題設中所提供的有效信息,對線性約束條件進行了巧妙合理的運用,使得本題巧妙獲解.解答本題的關鍵是求出函數中的參數的值.本題的解答方法是巧妙運用待定系數法和不等式的可加性,將線性約束條件進行了合理的運用,避免了數形結合過程的煩惱,直接求出的最大值,確定了參數的值.【舉一反三】【2019湖南五市十校12月聯考】已知正實數，，滿足，則當取得最大值時，的最大值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由正實數，，滿足，得，當且僅當，即時，取最大值，又因為，所以此時，所以，故最大值為1【解題秘籍】在利用基本不等式求最值時，要根據式子特征靈活變形，然后再利用基本不等式，要注意條件：一正二定三相等．【2020·陜西西北工業大學附屬中學高考模擬】已知函數，若當時，恒成立，則實數的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】若當時，恒成立，即m（ex+e﹣x﹣1）≤e﹣x﹣1，∵x＞0，∴ex+e﹣x﹣1＞0，即m≤在（0，+∞）上恒成立，設t=ex，（t＞1），則m≤在（1，+∞）上恒成立，∵=﹣=﹣≥﹣，當且僅當t=2時等號成立，∴m≤﹣．故選B．類型四換元法例4．【2020浙江高考模擬】已知，則的最大值是__________．【答案】【解析】∵∴令，則.∵∴，∴又∵在上為單調遞增,∴∴的最大值是，故答案為.【點睛】解答本題的關鍵是將等式化簡到，再通過換元將其形式進行等價轉化，最后運用對勾函數的單調性求出該函數的最值，從而使得問題獲解.形如的函數稱為對勾函數，其單調增區間為，；單調減區間為，.【舉一反三】【2020阜陽市三中調研】已知實數滿足,則有（）A．最小值和最大值1B．最小值和最大值1C．最小值和最大值D．最小值1,無最大值【答案】B【解析】由,可設,則=,故選B【2019山東濟南期末考】已知函數，若對任意，不等式恒成立，其中，則的取值范圍是()A．B．C．D．【答案】B【解析】作出函數的圖象，由圖像可知：函數在R上單調遞減，，即，由函數在R上單調遞減，可得：，變量分離可得：，令，則，又，∴，∴，故選B．三、強化訓練1．已知函數對，總有，使成立，則的范圍是（）A． B． C． D．【來源】天津市第一中學2021屆高三下學期第四次月考數學試題【答案】B【解析】由題意可知：，成立，即，又對，，所以，又可看作與在橫坐標相等時，縱坐標的豎直距離，由，，可取，所以的直線方程為，設與平行且與相切于，所以，所以，所以切線為，當與平行且與兩條直線的距離相等時，即恰好在的中間，此時與在縱坐標的豎直距離中取得最大值中的最小值，此時，則，又因為，所以，所以，此時或或，所以的范圍是，故選：B.2．設是定義在R上的偶函數，且當時，.若對任意的，均有，則實數的最大值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】當時，若對任意的，均有即為，由于,當時，為單調遞增函數，又∵函數為偶函數，∴等價于，即（∵）,由區間的定義可知,若，于是,即，由于的最大值為，故顯然不可能恒成立；,即,∴,即,故的最大值為,故選：B.3．已知f（x）是定義在[﹣1，1]上的奇函數，且f（﹣1）＝﹣1，當a，b∈[﹣1，1]，且a+b≠0時，（a+b）（f（a）+f（b））＞0成立，若f（x）＜m2﹣2tm+1對任意的t∈[﹣1，1]恒成立，則實數m的取值范圍是（）A．（﹣∞，﹣2）∪{0}∪（2，+∞） B．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）C．（﹣2，2） D．（﹣2，0）∪（0，2）【答案】B【解析】因為f（x）是定義在[﹣1，1]上的奇函數，當a，b∈[﹣1，1]，且a+b≠0時，（a+b）（f（a）+f（b））＞0成立，所以將換為，可得，所以函數在上是增函數，所以，所以f（x）＜m2﹣2tm+1對任意的t∈[﹣1，1]恒成立，等價于，即對任意的t∈[﹣1，1]恒成立，令，則，即，解得或，故選：B4．已知實數，不等式對任意恒成立，則的最大值是（）A． B． C． D．2【答案】B【解析】令，原不等式整理得，即，∴，即，兩邊除以得：，所以，因為，故，故為增函數.又，因此在上遞減，上遞增，又，，且，故.則.故選：B.5．已知函數，當時設的最大值為，則當取到最小值時（）A．0 B．1 C．2 D．【來源】浙江省寧波市華茂外國語學校2020屆高三下學期3月高考模擬數學試題【答案】A【解析】，當時設的最大值，在端點處或最低點處取得，最小值為2，最小值為，最小值為4.5，最小值綜上可得，取到最小值時0.故選：A6．已知函數，其中，記為的最小值，則當時，的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】①當時，在上單調遞增，所以，因此滿足題意；②當時，在上單調遞增，在上單調遞減因此⑴當時，在上單調遞增，所以，或或⑵當時，在上單調遞增，在上單調遞減，所以；綜上，的取值范圍為，故選：D7．函數．若存在，使得，則的取值范圍是（）．A． B． C． D．【答案】D【解析】當時，，因此，可化為，即存在，使成立，由于的對稱軸為，所以，當單調遞增，因此只要，即，解得，又因，所以，當時，，，滿足題意，綜上，．故選：．8．若存在實數，對任意，不等式恒成立，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】對任意，不等式恒成立，等價于不等式恒成立，等價于恒成立，等價于恒成立，等價于函數的圖象和函數的圖象分別位于直線的兩側在直角坐標系內畫出函數和函數的圖象如圖所示，由解得,所以兩個函數圖象的橫坐標較小的交點坐標為，由圖易得當時，取得最大值，令，解得，所以的取值范圍為，故選：B9．已知函數的定義域為，，若存在實數，，，使得，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】的定義域為，由，解得，的定義域為，，令，，，則,當時為增函數,，，存在實數,使得，即，解得故選：D10．已知函數若恒成立，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為由恒成立，分別作出及的圖象，由圖知，當時，不符合題意，只須考慮的情形，當與圖象相切于時，由導數幾何意義，此時，故.故選：D11．設定義在上的函數滿足，且當時，.若對任意，不等式恒成立，則實數的最小值是（）A． B． C． D．【來源】河南省鶴壁市高級中學2020屆高三下學期線上第四次模擬數學（