專題11特殊的平行四邊形中的最值模型之瓜豆模型（原理）動點軌跡問題是中考和各類模擬考試的重要題型，學生受解析幾何知識的局限和思維能力的束縛，該壓軸點往往成為學生在中考中的一個坎，致使該壓軸點成為學生在中考中失分的集中點。掌握該壓軸題型的基本圖形，構建問題解決的一般思路，是中考專題復習的一個重要途徑。本專題就最值模型中的瓜豆原理（動點軌跡為直線型）進行梳理及對應試題分析，方便掌握。【模型解讀】瓜豆原理：若兩動點到某定點的距離比是定值，夾角是定角，則兩動點的運動路徑相同。動點軌跡基本類型為直線型和圓弧型，本專題受教學進程影響，估只對瓜豆原理中的直線型軌跡作講解。主動點叫瓜，從動點叫豆，瓜在直線上運動，豆也在直線_上運動；瓜在圓周上運動，豆的軌跡也是圓。古人云：種瓜得瓜，種豆得豆．“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”。模型1、運動軌跡為直線1）如圖，P是直線BC上一動點，連接AP，取AP中點Q，當點P在BC上運動時，Q點軌跡是？解析：當P點軌跡是直線時，Q點軌跡也是一條直線．理由：分別過A、Q向BC作垂線，垂足分別為M、N，在運動過程中，因為AP=2AQ，所以QN始終為AM的一半，即Q點到BC的距離是定值，故Q點軌跡是一條直線．2）如圖，在△APQ中AP=AQ，∠PAQ為定值，當點P在直線BC上運動時，求Q點軌跡？解析：當AP與AQ夾角固定且AP:AQ為定值的話，P、Q軌跡是同一種圖形。理由：當確定軌跡是線段的時候，可以任取兩個時刻的Q點的位置，連線即可，比如Q點的起始位置和終點位置，連接即得Q點軌跡線段。【最值原理】動點軌跡為一條直線時，利用“垂線段最短”求最值。1）當動點軌跡確定時可直接運用垂線段最短求最值；2）當動點軌跡不易確定是直線時，可通過以下三種方法進行確定：=1\*GB3①觀察動點運動到特殊位置時，如中點，端點等位置時是否存在動點與定直線的端點連接后的角度不變，若存在該動點的軌跡為直線；=2\*GB3②當某動點到某條直線的距離不變時，該動點的軌跡為直線；=3\*GB3③當一個點的坐標以某個字母的代數(shù)式表示時，若可化為一次函數(shù)，則點的軌跡為直線；④若動點軌跡用上述方法都合適，則可以將所求線段轉化為其他已知軌跡的線段求值。例1．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考一模）如圖，在正方形中，點是上一動點，點是的中點，繞點順時針旋轉得到，連接，．則______，若正方形的邊長為2，則點在射線上運動時，的最小值是______．【答案】/度【分析】如圖1所示，延長交的延長線于點，由“”可證，可得，由直角三角形的性質可得，由三角形內角和定理可求，可得，即可求出；如圖2所示，連接，過點作于，由，知點在直線上運動，即得當時，有最小值為的長度，而，即有最小值為．【詳解】解：如圖1所示，延長交的延長線于點，點是的中點，，四邊形是正方形，，，，，，又，，繞點順時針旋轉得到，，，，，，，，，；如圖2所示，連接，過點作于，，點在直線上運動，當時，有最小值，最小值為的長度，，，，即有最小值為，故答案為：，．【點睛】本題考查了正方形的性質，全等三角形的性質與判定，旋轉的性質，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線的性質等等，正確作出輔助線是解題的關鍵．例2．（2023·四川內江·校考一模）如圖，矩形中，已知，點F是上一動點，點P是的中點，連接，則的最小值為________．【答案】【分析】據中位線定理可得出點P的運動軌跡是線段，再根據垂線段最短可得當時，取得最小值；由矩形的性質以及已知的數(shù)據即可知，故的最小值為的長，由勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖：當點F與點C重合時，點P在處，，當點F與點E重合時，點P在處，，∴且．當點F在上除點C、E處的位置時，有．由中位線定理可知：且．∴點P的運動軌跡是線段，∴當時，取得最小值．∵矩形中，，E為的中點，∴為等腰直角三角形，．∴．∴．∴．∴，即，∴的最小值為的長．在等腰直角中，，∴∴的最小值是．故答案是：．【點睛】本題考查軌跡問題、矩形的性質等知識，解題的關鍵是學會利用特殊位置解決問題，有難度．例3．（2023·綿陽市·八年級期中）如圖，菱形中，，，點在邊上，且，動點在邊上，連接，將線段繞點順時針旋轉至線段，連接，則線段長的最小值為__．【答案】【分析】在上取一點，使得，連接，，作直線交于，過點作于．證明，推出點在射線上運動，根據垂線段最短可知，當點與重合時，的值最小，求出即可．【詳解】解：在上取一點，使得，連接，，作直線交于，過點作于．，，是等邊三角形，，，，，是等邊三角形，，，，，在和中，，，，，點在射線上運動，根據垂線段最短可知，當點與重合時，的值最小，，，，，，∴GT//AB∵BG//AT四邊形是平行四邊形，，，∴在中，∴，的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查菱形的性質，全等三角形的判定和性質，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題．例4．（2023·山東泰安·統(tǒng)考二模）如圖，矩形的邊，E為上一點，且，F(xiàn)為邊上的一個動點，連接，若以為邊向右側作等腰直角三角形，連接，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．【答案】B【分析】過點G作GH⊥AB于H，過點G作MN∥AB，由“AAS”可證△GEH≌△EFA，可得GH＝AE＝1，可得點G在平行AB且到AB距離為1的直線MN上運動，則當F與D重合時，CG有最小值，即可求解．【詳解】解：如圖，過點G作GH⊥AB于H，過點G作MN∥AB，∵四邊形ABCD是矩形，AB＝，BC＝3，∴∠B＝90°，CD＝，AD＝3，∵AE＝1，∴BE＝，∵∠GHE＝∠A＝∠GEF＝90°，∴∠GEH＋∠EGH＝90°，∠GEH＋∠FEA＝90°，∴∠EGH＝∠FEA，又∵GE＝EF，∴△GEH≌△EFA（AAS），∴GH＝AE＝1，∴點G在平行AB且到AB距離為1的直線MN上運動，∴當F與D重合時，CG有最小值，此時AF＝EH＝3，∴CG的最小值＝，故選B．【點睛】本題考查矩形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，確定點G的運動軌跡是本題的關鍵．例5．（2023·江蘇宿遷·校考期中）如圖，正方形的邊長為4，為上一點，且，為邊上的一個動點，連接，以為邊向右側作等邊，連接，則的最小值為_____．【答案】【分析】由題意分析可知，點為主動點，為從動點，所以以點為旋轉中心構造全等關系，得到點的運動軌跡，之后通過垂線段最短構造直角三角形獲得最小值．【詳解】由題意可知，點是主動點，點是從動點，點在線段上運動，點也一定在直線軌跡上運動將繞點旋轉，使與重合，得到，從而可知為等邊三角形，點在垂直于的直線上，作，則即為的最小值，作，可知四邊形為矩形，則.故答案為．【點睛】本題考查了線段極值問題，分清主動點和從動點，通過旋轉構造全等，從而判斷出點的運動軌跡，是本題的關鍵．例6．（2023春·江蘇·八年級校考期中），，，E為上一動點，連接，以為鄰邊作，的最小值為_________．

【答案】【分析】根據垂線段最短，得當時，有最小值，即有最小值，過點B作交于點F，證明四邊形是矩形，在中，利用含30度角的直角三角形和勾股定理即可求解．【詳解】解：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴當時，有最小值，即有最小值，過點B作交于點F，∴，

∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∵，即，∴四邊形是矩形，∴，在中，，，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的判定和性質，平行四邊形的性質，含30度角的直角三角形和勾股定理，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題．例7．（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預測）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠C=120°，AD=4，AB=2，點H、G分別是邊CD、BC上的動點．連接AH、HG，點E為AH的中點，點F為GH的中點，連接EF則EF的最大值與最小值的差為__________．【答案】【分析】取AD的中點M，連接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N；再證明∠ACD=90°，求出AC=2、AN=；然后由三角形中位線定理，可得EF=AG，最后求出AG的最大值和最小值即可．【詳解】解：如圖：取AD的中點M，連接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠BCD=120°∴∠D=180°-∠BCD=60°，AB=CD=2∴AM=DM=DC=2∴△CDM是等邊三角形∴∠DMC=∠MCD=60°，AM=MC∴∠MAC=∠MCA=30°∴∠ACD=90°∴AC=2在Rt△ACN中，AC=2,∠ACN=∠DAC=30°∴AN=AC=∵AE=EH，GF=FH∴EF=AG∴AG的最大值為AC的長，最小值為AN的長∵AG的最大值為2，最小值為∴EF的最大值為，最小值為∴EF的最大值與最小值的差為-=．故答案為．【點睛】本題考查平行四邊形的性質、三角形的中位線定理、等邊三角形的判定和性質、直角三角形30度角性質、垂線段最短等知識，正確添加輔助線和證得∠ACD=90是解答本題的關鍵．例8．（2023·內蒙古呼和浩特·統(tǒng)考一模）如圖在菱形中，為對角線與的交點，點為邊上的任一點（不與、重合），過點分別作，，、為垂足，則可以判斷四邊形的形狀為___________．若菱形的邊長為，，則的最小值為___________．（用含的式子表示）【答案】矩形/【分析】根據菱形的性質即可得到，根據，即可得到，根據矩形的判定方法即可判斷出四邊形是矩形；根據菱形的邊長為，即可求出，，的長度，根據四邊形是矩形即可得到，即可判斷出當時，取得最小值，也取得最小值，根據三角形的面積計算方法，即可求出的最小值，即可得出答案．【詳解】解：如圖，連接∵四邊形是菱形，∴，∵，，∴，∴四邊形是矩形；∵菱形的邊長為，，∴，，∴是等邊三角形．∴，∴，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴當時，取得最小值，也取得最小值，此時，∴，∴的最小值為，故答案為：矩形，．【點睛】本題考查矩形的判定及性質、垂線段最短以及菱形的性質，熟練掌握菱形的性質是解題的關鍵．課后專項訓練1．（2023上·河北保定·九年級校考期中）如圖，在中，，且，點D是斜邊上的一個動點，過點D分別作于點M，于點N，連接，點O為的中點，則線段的最小值為（

）

A． B．5 C． D．【答案】C【分析】由勾股定理求出的長，再證明四邊形是矩形，可得，根據垂線段最短可得當時，的值最小，再利用三角形面積求出，可得，即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接，

，且，，，，，，四邊形是矩形，，，當時，的值最小，此時，，，的最小值為，故選：C．【點睛】本題主要考查了矩形的判定和性質、勾股定理、三角形面積、垂線段最短，關鍵是掌握矩形的對角線相等．2．（2023上·山西臨汾·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，點，分別是，邊上的動點，連結，，分別是，的中點，則的最小值為（

）

A．12 B．10 C．9.6 D．4.8【答案】D【分析】本題主要考查了三角形中位線定理，勾股定理，垂線段最短的性質．連接，作于點H．由三角形中位線的性質得，由垂線段最短可知當最小，即點E與點H重合時的值最小，然后利用勾股定理求出的長即可．【詳解】解：連接，作于點H．

∵點，分別是，邊上的動點，∴是的中位線，∴，∴當最小，即點E與點H重合時的值最小．設，則，∵，∴，∴，∴的最小值為4.8．故選D．3．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考一模）如圖，矩形中，，，M為線段上一動點，于點P，于點Q，則的最小值是（

）A． B．3 C． D．【答案】C【分析】連接，先證四邊形是矩形，得，再由勾股定理得，當時，最小，則最小，然后由面積法求出的長，即可得出結論．【詳解】解：如圖，連接，于點，于點，，四邊形是矩形，，，，四邊形是矩形，，由勾股定理得：，當時，最小，則最小，此時，，即，，的最小值為，故選：C．【點睛】本題考查了矩形的判定與性質、勾股定理、垂線段最短以及三角形面積等知識，熟練掌握矩形的判定與性質是解題的關鍵．4．（2023·陜西商洛·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在菱形中，，，點是的中點，點是上一動點，連接，點分別是的中點，連接，則的最小值是_________．【答案】【分析】連接交于點，連接易證得，得到點G為的中點，所以是中位線，可得到，求最小值即為求最小值的一半，隨著點E的變化，點M在上動，即當時，有最小值，然后在中，借助三角函數(shù)計算即可．【詳解】解：如圖，連接交于點，連接，過點作于點N，∵點為中點，∴，∵四邊形是菱形，∴，，∴，∵，∴，∴，∴點G為的中點，∵點H為的中點，∴是中位線，∴，∴求最小值即為求最小值的一半，隨著點E的變化，點M在上動，即當時，有最小值，即最小值=，∵是的中點，∴，∵∴，∴．故答案為：【點睛】本題主要考查動點最值，根據條件做出輔助線，利用中位線轉化所求線段，然后借助點到線距離垂線段最短計算即可．5．（2023上·天津河東·九年級統(tǒng)考期中）如圖，長方形中，，E為上一點，且，F(xiàn)為邊上的一個動點，連接，將繞著點E順時針旋轉到的位置，連接，則的最小值為

【答案】【分析】將線段繞點E順時針旋轉得到線段，連接，連接交于點J，首先證明，推出點G在射線上運動，進而得到當時，的值最小，，求出的長即可得到答案．【詳解】解：如圖，將線段繞點E順時針旋轉得到線段，連接，連接交于點J，

∵四邊形是矩形，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴點G在射線上運動，∴當時，的值最小，∵，∴，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，∴，∴的最小值為．【點睛】本題考查了旋轉的性質、矩形的性質、全等三角形的判定與性質、垂線段最短等知識，解題的關鍵是學會添加常用的輔助線，構造全等三角形解決問題．6．（2023上·陜西西安·九年級校考期中）如圖，矩形中，，，是的中點，是直線上一動點，為的中點，則的最小值為．【答案】【分析】本題主要考查矩形的判定和性質、勾股定理和點的運動軌跡，取中點H，連接，交于點O，根據四邊形為矩形，得到四邊形為矩形，，結合點O為的中點，有為點P的運動軌跡，則求得當點F與點E重合時最小．【詳解】解：取中點H，連接，交于點O，如圖，∵四邊形為矩形，∴，，，∵點E為中點，點H為中點，∴，，∴四邊形為矩形，，∵點O為的中點，∴為點P的運動軌跡，∵在直線上運動，∴當點F與點E重合時最小為，故答案為：．7．（2023下·廣東佛山·八年級校聯(lián)考期末）如圖，，，點是射線上的任意一點，連接，以，為鄰邊作平行四邊形，連，則線段的最小值為．【答案】【分析】本題考查垂線段最短，平行四邊形的性質，直角三角形的性質．根據垂線段最短得：當時，最短，利用平行四邊形性質和直角三角形的性質即可求解．【詳解】解：設平行四邊形的對角線、相交于O，如圖，當時，最短，∵平行四邊形∴，，∴此時，最短，∵，∴∴故答案為：．8．（2023上·陜西延安·九年級統(tǒng)考期中）如圖，正方形的邊長為是邊的中點，點是正方形內一動點，且，連接，將線段繞點逆時針旋轉得到線段，連接，則線段的長的最小值為．【答案】8【分析】連接，將繞點逆時針旋轉得到，連接，，證明，可得，由勾股定理可得，根據，即可得出的最小值．【詳解】解：如圖，連接，將繞點逆時針旋轉得到，連接，，，，在與中，，，，正方形中，，是邊上的中點，，，，，，線段的最小值為8，故答案為：8．【點睛】本題考查線段的最值問題，涉及三角形的三邊關系、勾股定理、旋轉的性質、正方形的性質、全等三角形的判定與性質等知識，添加輔助線構造全等三角形是解題關鍵．9．（2022·陜西師大附中三模）如圖，正方形中，，點E為邊上一動點，將點A繞點E順時針旋轉得到點F，則的最小值為__________．【答案】【分析】上截取，過點作交的延長線于點，證明，是等腰直角三角形，進而根據垂線段最短即可求解．【詳解】如圖，上截取，過點作交的延長線于點，正方形中，，將點A繞點E順時針旋轉得到點F，是等腰直角三角形,在射線上運動，則是等腰直角三角形，與點重合時，取得最小值，等于即的最小值為故答案為：【點睛】本題考查了正方形的性質，全等三角形的性質，垂線段最短，求得的軌跡是解題的關鍵．10．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形中，，，點P在線段上運動（含B，C兩點），連接，以點A為中心，將線段逆時針旋轉到，連接，則線段的最小值為_____．【答案】【分析】如圖，以為邊向右作等邊，作射線交于點E，過點D作于H．利用全等三角形的性質證明，推出，推出點Q在射線上運動，求出，可得結論．【詳解】解：如圖，以為邊向右作等邊，作射線交于點E，過點D作于H．∵四邊形是矩形，∴，∵都是等邊三角形，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，，∴點Q在射線上運動，∵，∴，∵，∴．根據垂線段最短可知，當點Q與H重合時，的值最小，最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查矩形的性質，旋轉變換，等邊三角形的性質，全等三角形的判定和性質，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，本題的突破點是證明點Q的在射線上運動．11．（2023·陜西師大附中三模）如圖，正方形中，，點E為邊上一動點，將點A繞點E順時針旋轉得到點F，則的最小值為__________．【答案】【分析】上截取，過點作交的延長線于點，證明，是等腰直角三角形，進而根據垂線段最短即可求解．【詳解】如圖，上截取，過點作交的延長線于點，正方形中，，將點A繞點E順時針旋轉得到點F，是等腰直角三角形,在射線上運動，則是等腰直角三角形，與點重合時，取得最小值，等于即的最小值為故答案為：【點睛】本題考查了正方形的性質，全等三角形的性質，垂線段最短，求得的軌跡是解題的關鍵．12．（2023·湖北武漢·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，菱形中，，，點在邊上，且，動點在邊上，連接，將線段繞點順時針旋轉60°至線段，連接，則線段長的最小值為.

【答案】【分析】在上取一點，使得，連接，，作直線交于，過點作于．證明，推出點在射線上運動，根據垂線段最短可知，當點與重合時，的值最小，求出即可．【詳解】解：在上取一點，使得，連接，，作直線交于，過點作于．

，，是等邊三角形，，，，，是等邊三角形，，，，，，，，點在射線上運動，根據垂線段最短可知，當點與重合時，的值最小，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查菱形的性質，全等三角形的判定和性質，直角三角形性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．13．（2023下·江蘇泰州·八年級校考期中）如圖，線段的長為12，點在上（不與端點重合），以為邊向上作等邊，過作與垂直的射線，點是上一動點（不與點重合），以、為邊作矩形，對角線與交于點，連接，則線段的最小值為．

【答案】6【分析】連接，證明平分，從而確定點O在定直線上，結合等邊，確定，是定角，根據垂線段最短計算即可．【詳解】解：如圖，連接，

因為等邊，矩形，所以，所以，所以，所以，所以平分，因為是定角，所以的角平分線是唯一確定的射線，所以點O在定直線上，所以，過點B作于點E，因為，所以，故答案為：6．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，矩形的性質，三角形全等的判定和性質，垂線段最短，直角三角形的性質，熟練掌握垂線段最短，直角三角形的性質是解題的關鍵．14．（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）如圖，正方形的邊長是8，點E是邊的中點，連接，點F是線段上不與點D，E重合的一個動點，連接，點G是線段的中點，則線段的最小值為．

【答案】【分析】連接，與相交于點H,取中點I，連接，由正方形的邊長是8得到，，，由中位線定理得到，則三點共線，即點G的運動軌跡是線段，由，當點G和點H重合時，線段值最小，由勾股定理求出，即可得到，得到線段的最小值．【詳解】解：連接，與相交于點H,取中點I，連接，

∵正方形的邊長是8，∴，，，∵點G是線段的中點，∴，∴三點共線，∴點G的運動軌跡是線段，∵，∴當點G和點H重合時，線段值最小，∴，∴，即線段的最小值為．【點睛】此題考查了正方形的性質、三角形中位線定理、勾股定理等知識，證明三