第01講認識不等式（2類題型）課程標準學習目標1.認識不等式的概念；2.不等式的解集；1.掌握不等式的概念；2、掌握不等式的解集；知識點01：不等式1.不等式：（1）不等式的概念：用“＞”或“＜”號表示大小關系的式子，叫做不等式，用“≠”號表示不等關系的式子也是不等式．

（2）凡是用不等號連接的式子都叫做不等式．常用的不等號有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知數，也可不含未知數．2.不等式的解集：（1）不等式的解的定義：使不等式成立的未知數的值叫做不等式的解．

（2）不等式的解集：能使不等式成立的未知數的取值范圍，叫做不等式的解的集合，簡稱解集．

（3）解不等式的定義：求不等式的解集的過程叫做解不等式．（4）用數軸表示不等式的解集時，要注意“兩定”：

一是定界點，一般在數軸上只標出原點和界點即可．定邊界點時要注意，點是實心還是空心，若邊界點含于解集為實心點，不含于解集即為空心點；二是定方向，定方向的原則是：“小于向左，大于向右”．

【即學即練1】1．（2023秋·浙江·八年級專題練習）2月份的研學活動，對于初二的全體同學是難得且有意義的，我校租用55座和53座兩種型號的客車接送同學們，若租用55座客車輛，租用53座客車輛，則不等式“”表示的實際意義是（

）A．兩種客車總的載客量不少于990人 B．兩種客車總的載客量不超過990人C．兩種客車總的載客量不足990人 D．兩種客車總的載客量恰好等于990人【答案】A【分析】主要依據不等式的定義：用“”、“”、“”、“”、“”等不等號表示不相等關系的式子是不等式來判斷．【詳解】解：不等式“”表示的實際意義是兩種客車總的載客量不少于990人，故選：A．【點睛】本題考查不等式的識別，一般地，用不等號表示不相等關系的式子叫做不等式．解答此類題關鍵是要識別常見不等號．【即學即練2】2．（2023秋·浙江·八年級專題練習）下面給出的5個式子中：①3＞0，②4x+3y＞0，③x=3，④x－1，⑤x+2≤3，其中不等式有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【分析】根據不等式的概念可直接進行排除選項．【詳解】解：由題意得：3＞0；4x+3y＞0；x+2≤3是不等式．故選B．【點睛】本題主要考查不等式的定義，熟練掌握不等式的定義是解題的關鍵．題型01不等式的定義1．（2023春·河北保定·八年級?？茧A段練習）下列各式中，不是不等式的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】主要依據不等式的定義：用“”、“”、“”、“”、“”等不等號表示不相等關系的式子是不等式來判斷．【詳解】解：A、是不等式，故A不符合題意；B、是代數式，不是不等式，故B符合題意；C、是不等式，故C不符合題意；D、是不等式，故D不符合題意；故答案為：B．【點睛】本題考查不等式的識別，一般地，用不等號表示不相等關系的式子叫做不等式．解答此類題關鍵是要識別常見不等號：“”、“”、“”、“”、“”．2．（2023春·山東淄博·七年級統考期末）在下列數學表達式中，不等式的個數是（

）①；②；③；④；⑤．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】由不等號（，，，，）連接的式子叫不等式，據此進行判斷．【詳解】不等式有：①；②；④；⑤．所以共有4個故選擇：C．【點睛】本題考查來了不等式的定義，熟練掌握不等式的定義是解題的關鍵．3．（2023春·福建泉州·七年級校聯考期中）“x的倍與的和大于”用不等式表示．【答案】【分析】由x的2倍與3的和大于35得出關系式為：x的2倍，把相關數值代入即可．【詳解】解：∵x的2倍為，∴x的2倍與3的和大于35可表示為：，故答案為：．【點睛】此題考查了列一元一次不等式，讀懂題意，抓住關鍵詞語，弄清運算的先后順序和不等關系，才能把文字語言的不等關系轉化為用數學符號表示的不等式．4．（2023春·七年級課時練習）對于下列結論：①x為自然數，則；②x為負數，則；③x不大于10，則；④m為非負數，則，正確的有．【答案】②④/④②【分析】根據自然數定義即可判斷①，根據負數定義即可判斷②，不大于10，即小于或等于可判斷③，根據非負數定義即可判斷④．【詳解】解：x為自然數，則，錯誤，不合題意；②x為負數，則，正確，符合題意；③x不大于10，則，錯誤，不合題意；④m為非負數，則，正確，符合題意；故答案為：②④．【點睛】本題考查了列不等式的知識，正確理解負數定義，非負數定義，自然數定義，不大于即小于或等于．5．（2023春·全國·八年級專題練習）根據下列數量關系列不等式：(1)x的7倍減去1是正數．(2)y的與的和不大于0．(3)正數a與1的和的算術平方根大于1．(4)y的20%不小于1與y的和．【答案】(1)；(2)；(3)；(4)【分析】（1）根據“x的7倍減去1是正數”直接列不等式即可；（2）根據“y的與的和不大于0”直接列不等式即可；（3）根據“正數a與1的和的算術平方根大于1”直接列不等式即可；（4）根據“y的20%不小于1與y的和”直接列不等式即可．【詳解】（1）解：由題意得：；（2）解：由題意得：；（3）解：由題意得：；（4）解：由題意得：．【點睛】本題主要考查列不等式，準確理解“大于，小于，不大于，不小于”這些詞語是關鍵．6．（2023春·全國·七年級專題練習）用不等式表示下列數量之間的不等關系：(1)去年某農場某種糧食畝產量是480kg，今年該糧食作物畝產量為xkg，較去年有所增加；(2)如圖，天平左盤放有三個乒乓球，右盤放有5g砝碼，天平傾斜，設每個乒乓球的質量為x(g)．【答案】(1)見解析;(2)見解析.【分析】（1）較去年有所增加，即比去年多的意思；（2）由圖可以得到放球的一邊向下沉說明球的總重量比5g要大，即可得到答案.【詳解】解：（1）根據題意可知，今年該糧食作物畝產量為xkg，較去年有所增加，則x＞480；（2）觀察圖可知，三個乒乓球的質量大于5克的砝碼，則3x＞5.【點睛】本題考查了不等式的定義，要抓住關鍵詞語，弄清不等關系，把文字語言的不等關系轉化為用數學符號表示的不等式．題型02不等式的解集1．（2023春·湖南衡陽·七年級校考期中）下列說法中，正確的是（

）A．不等式的解集是 B．是不等式的一個解C．不等式的整數解有無數個 D．不等式的正整數解有4個【答案】C【分析】先求出不等式的解集，再依次判斷解的情況．【詳解】解：A、該不等式的解集為，故錯誤，不符合題意；B、∵，故錯誤，不符合題意；C、正確，符合題意；D、因為該不等式的解集為，所以無正整數解，故錯誤，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了不等式的性質和不等式的解集的理解，解題關鍵是根據解集正確判斷解的情況．2．（2023春·山東德州·七年級?？茧A段練習）下列說法中，正確的是（

）A．x＝3是不等式2x＞1的解 B．x＝3是不等式2x＞1的唯一解C．x＝3不是不等式2x＞1的解 D．x＝3是不等式2x＞1的解集【答案】A【分析】對A、B、C、D選項進行一一驗證，把已知解代入不等式看不等式兩邊是否成立．【詳解】解：A、當x＝3時，2×3＞1，成立，故A符合題意；B、當x＝3時，2×3＞1成立，但不是唯一解，例如x＝4也是不等式的解，故B不符合題意；C、當x＝3時，2×3＞1成立，是不等式的解，故C不符合題意；D、當x＝3時，2×3＞1成立，是不等式的解，但不是不等式的解集，其解集為：x＞，故D不符合題意；故選：A．【點睛】此題著重考查不等式中不等式的解、唯一解、解集概念之間的區別和聯系，是一道非常好的基礎題．3．（2023春·七年級課時練習）方程的解有個，不等式的解有個．【答案】1無數【分析】根據方程的解的定義，不等式的解的定義分析即可．方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數的值，不等式的解集是不等式的解的集合，不等式的解往往有多個．【詳解】一元一次方程的解只有一個，是，一元一次不等式的解集是，解有無數個，故答案為：1，無數【點睛】本題考查了方程的解和不等式的解集，理解不等式的解和解集的定義是解題的關鍵．4．（2023春·七年級單元測試）對于一個數，我們用表示小于的最大整數，例如：，，如果，則的取值范圍為．【答案】﹣3＜x≤﹣2或3＜x≤4【分析】根據的定義和絕對值的意義分兩種情況列出關于x的不等式，解不等式即可．【詳解】解：當x＜0時，∵，∴x＞﹣3∴﹣3＜x≤﹣2；當x＞0時，∵，∴x＞3，∴3＜x≤4，綜上所述，x的取值范圍是﹣3＜x≤﹣2或3＜x≤4【點睛】本題考查解不等式，理解的定義和分兩種情況是解題的關鍵．5．（2023春·江蘇·七年級專題練習）關于x的兩個不等式x+1<7?2x與?1+x<a．(1)若兩個不等式解集相同，求a的值；(2)若不等式x+1<7?2x的解都是?1+x<a的解，求a的取值范圍．【答案】(1)a=1；(2)a≥1．【分析】（1）求出第二個不等式的解集，表示出第一個不等式的解集，由解集相同求出a的值即可；（2）根據不等式x+1<7?2x的解都是?1+x<a的解，求出a的范圍即可．【詳解】（1）解：由x+1<7?2x得：x＜2，由?1+x<a得：x＜a+1，由兩個不等式的解集相同，得到a+1=2，解得：a=1；（2）解：由不等式x+1<7?2x的解都是?1+x<a的解，得到2≤a+1，解得：a≥1．【點睛】此題考查了不等式的解集，根據題意分別求出對應的值，利用不等關系求解．6．（2023春·七年級課時練習）下列各式哪些是不等式2(2x+1)＞25的解？哪些不是？(1)x=1．(2)x=3．(3)x=10．(4)x=12．【答案】(1)不是(2)不是(3)是(4)是【分析】把未知數的值代入計算，比較后，判斷即可【詳解】（1）把x=1代入不等式2(2x+1)＞25，因為：左邊=2×(2×1+1)=6＜25，所以x=1不是不等式2(2x+1)＞25的解．（2）把x=3代入不等式2(2x+1)＞25，因為：左邊=2×(2×3+1)=14＜25，所以x=3不是不等式2(2x+1)＞25的解．（3）把x=10代入不等式2(2x+1)＞25，因為：左邊=2×(2×10+1)=42＞25，所以x=10是不等式2(2x+1)＞25的解．（4）把x=12代入不等式2(2x+1)＞25，因為：左邊=2×(2×12+1)=50＞25，所以x=12是不等式2(2x+1)＞25的解．【點睛】本題考查了不等式的解即使不等式左右兩邊成立的未知數的值，正確理解不等式的解是解題的關鍵．A夯實基礎1．（2023秋·浙江·八年級專題練習）高鈣牛奶的包裝盒上注明“每100克內含鈣150毫克”，它的含義是指（）A．每100克內含鈣150毫克B．每100克內含鈣不低于150毫克C．每100克內含鈣高于150毫克D．每100克內含鈣不超過150毫克【答案】B【分析】根據不等號的含義，進行判斷即可．【詳解】解：根據的含義，“每100克內含鈣150毫克”，就是“每100克內含鈣不低于150毫克”，故選：B．【點睛】本題考查不等號的意義，熟練掌握不等號的意義，是解題的關鍵．2．（2023春·安徽宿州·八年級校考期中）下列式子：；；；；．其中是不等式的有（）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【分析】根據不等式的定義逐個判斷即可得到答案．【詳解】解：不等式有；；，故選：B．【點睛】本題考查不等式定義，熟記由不等號表示大小關系的式子叫不等式是解決問題的關鍵．3．（2023春·河南周口·七年級校考期中）據氣象臺報道．2023年2月14日鄭州市的最高氣溫為，最低氣溫為，則當天氣溫的變化范圍是．【答案】/【分析】根據最高氣溫和最低氣溫，可得答案．【詳解】解：由鄭州市的最高氣溫為，最低氣溫為，可得當天氣溫的變化范圍是，故答案為：．【點睛】本題考查了不等式的定義，熟練根據題意列出不等式是解題的關鍵．4．（2023春·江蘇宿遷·七年級統考期末）某校女子跑的記錄是14秒．在今年的校春季運動會上，很遺憾，沒有人能打破該項記錄，若參加運動會的女生小麗的成績為t秒，則用不等式表示為．【答案】【分析】根據沒有人能打破該項記錄列不等式即可．【詳解】解：∵沒有人能打破該項記錄，∴．故答案為：．【點睛】本題考查了列不等式表示數量關系，與列代數式問題相類似，首先要注意其中的運算及運算順序，再就是要注意分清大于、小于、不大于、不小于的區別．5．（2023春·江蘇·七年級專題練習）判斷下列各式哪些是等式，哪些是不等式，哪些既不是等式也不是不等式．（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）52；（7）．【答案】等式有：（3）（5），不等式有：（2）（4）（7），既不是等式也不是不等式的有：（1）（6）．【分析】根據所學知識，可知：含有等號的式子叫做等式，用不等號（）連接的式子叫做不等式，根據上述定義，找出用等號和不等號連接的式子即可找出等式和不等式，進而找出既不是等式也不是不等式的式子．【詳解】解：等式有：（3）（5），不等式有：（2）（4）（7），既不是等式也不是不等式的有：（1）（6）．【點睛】本題主要考查不等式的定義，掌握等式和不等式的定義是解題的關鍵．6．（2023春·八年級課時練習）用等式或不等式表示下列問題中的數量關系：(1)某市身高不超過的兒童可免費乘坐公共汽車．記可以免費乘坐公共汽車的兒童的身高為．(2)某農戶今年的收入比去年多1.5萬元．記去年的收入為p萬元，今年的收入為q萬元．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據不等量關系，直接列出不等式即可；（2）根據等量關系直接列出等式即可．【詳解】（1）解：由題意得：；（2）解：由題意得：．【點睛】本題主要考查列不等式和等式，準確找到等量關系和不等量關系是關鍵．B能力提升1．（2023春·遼寧沈陽·八年級沈陽市第四十三中學?？计谥校┙o出下列數學式：①；②；③；④；⑤．其中不等式的個數是（

）A．5 B．4 C．3 D．1【答案】C【分析】運用不等式的定義進行判斷．【詳解】解：③是等式，④是代數式，沒有不等關系，所以不是不等式．不等式有①②⑤，共3個．故選：C．【點睛】本題考查不等式的識別，一般地，用不等號表示不相等關系的式子叫做不等式．解答此類題關鍵是要識別常見不等號：＞，＜，≤，≥，≠．2．（2023秋·浙江·八年級專題練習）據悉，我國設計制造的天舟二號貨運飛船，在2021年5月29日順利升空，將6噸多物資運送到天和核心艙，若用a表示貨運飛船的載貨質量，則對a的取值理解最準確的是（）（單位：噸）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據“6噸多”得到的取值范圍即可．【詳解】解：根據“6噸多”物資運送到天和核心艙得到．故選：D．【點睛】本題主要考查了不等式的定義：用“”或“”號表示大小關系的式子，叫做不等式，用“”號表示不等關系的式子也是不等式．3．（2023春·河南周口·八年級?？茧A段練習）某品牌果汁外包裝標明：凈含量為，表明了這瓶果汁的凈含量x的取值范圍是．【答案】【分析】根據正負數的意義列出不等式可得答案．【詳解】解：凈含量的合格范圍是，即，故答案為：．【點睛】本題考查了不等式的定義，利用有理數的加減法得出合格范圍是解題關鍵．4．（2023春·七年級課時練習）生物興趣小組要在恒溫箱中培養某菌種，該菌種生長的溫度不低于且不高于，若恒溫箱的溫度為，則的取值范圍為．【答案】【分析】根據題意，利用不等式寫出的取值范圍即可．【詳解】解：依題意，的取值范圍為，故答案為：．【點睛】本題考查了不等式的定義，理解題意是解題的關鍵．5．（2023春·江蘇南通·七年級統考期末）求證：當時，一定比小．【答案】見解析【分析】對和進行作差與0進行比較，從而得出結論．【詳解】證明：由題意得，，，當時，，∴當時，一定比?。军c睛】本題考查了一元一次不等式，根據題意得出式子，在給定的取值范圍內，用作差法比較大小是解題的關鍵．6．（2023春·江蘇·七年級專題練習）用適當的符號表示下列關系：(1)x的與x的2倍的和是非正數；(2)一枚炮彈的殺傷半徑不小于300米；(3)三件上衣與四條長褲的總價錢不高于268元；(4)明天下雨的可能性不小于；(5)小明的身體不比小剛輕．【答案】(1)(2)設炮彈的殺傷半徑為r，則應有(3)設每件上衣為a元，每條長褲是b元，應有(4)用P表示明天下雨的可能性，則有(5)設小明的體重為a千克，小剛的體重為b千克，則應有【分析】（1）非正數用“”表示；（2）、（4）不小于就是大于等于，用“≥”來表示；（3）不高于就是等于或低于，用“≤”表示；（5）不比小剛輕，就是與小剛一樣重或者比小剛重．用“≥”表示．【詳解】（1）；（2）設炮彈的殺傷半徑為r，則應有；（3）設每件上衣為a元，每條長褲是b元，應有；（4）用P表示明天下雨的可能性，則有；（5）設小明的體重為a千克，小剛的體重為b千克，則應有．【點睛】本題考查了不等式的定義．一般地，用不等號表示不相等關系的式子叫做不等式．解答此類題關鍵是要識別常見不等號：＞，＜，≤，≥，≠．C綜合素養1．（2023春·河北廊坊·七年級統考期末）下列式子屬于不等式的有（）①；②；③；④；⑤．A．個 B．個 C．個 D．個【答案】C【分析】根據不等式的定義，用不等號連接的式子是不等式，對各式進行判斷即可．【詳解】解：根據不等式定義判斷，①②⑤為不等式，故選：．【點睛】本題考查了不等式的定義，熟練掌握不等式的定義是解答本題的關鍵．2．（2023春·全國·七年級專題練習）下列說法錯誤的是（）A．是不等式的解 B．是不等式的解C．的解集是 D．的解集就是、、【答案】D【分析】根據不等式的性質即可求解．【詳解】解：A選項，是不等式的解，把代入不等式，不等式成立，故正確；B選項，是不等式的解，把代入不等式，不等式成立，故正確；C選項，的解集是，解不等式得，故正確；D選項，的解集就是、、，不是不等式的解，故錯誤．故選：D．【點睛】本題主要考查不等式的性質解一元一次不等式，掌握不等式的性質是解題的關鍵．3．（2023春·八年級課時練習）若，，且，則值為．【答案】1或5【分析】由已知可以得到x=2或2，y=3或3，然后對x、y的取值進行分類討論，找出使x+y<0的取值組合，即可求得xy的值．【詳解】解：∵|x|=2，|y|=3，∴x=2或2，y=3或3，（1）當x=2時，要使x+y<0，必須y=3，此時xy=2(3)=2+3=5；（2）當x=2時，要使x+y<0，必須y=3，此時xy=2(3)=2+3=1；故答案為1或5．【點睛】本題考查絕對值、不等式和有理數加減法的綜合應用，熟練掌握絕對值、不等式、有理數加減法及分類討論的思想是解題關鍵．4．（2023春·四川廣安·七年級四川省武勝烈面中學校?？茧A段練習）當=時，不等式永遠成立．【