廣西桂林市2025屆高一數學第一學期期末統考模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知向量，，則與的夾角為A. B.C. D.2．已知冪函數為偶函數，則實數的值為（）A.3 B.2C.1 D.1或23．下列各組函數是同一函數的是（）①與②與③與④與A.②④ B.③④C.②③ D.①④4．定義在上的函數滿足，且當時，，若關于的方程在上至少有兩個實數解，則實數的取值范圍為（）A. B.C. D.5．設，則的值為（）A.0 B.1C.2 D.36．已知角x的終邊上一點的坐標為(sin，cos)，則角x的最小正值為()A. B.C. D.7．給出下列命題：①函數為偶函數；②函數在上單調遞增；③函數在區間上單調遞減；④函數與的圖像關于直線對稱．其中正確命題的個數是（）A.1 B.2C.3 D.48．在下列區間中函數的零點所在的區間為（）A. B.C. D.9．已知x，y是實數，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件10．已知全集，集合，集合，則集合A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．關于函數與有下面三個結論：①函數的圖像可由函數的圖像平移得到②函數與函數在上均單調遞減③若直線與這兩個函數的圖像分別交于不同的A，B兩點，則其中全部正確結論的序號為____12．已知冪函數的圖象關于軸對稱，且在上單調遞減，則滿足的的取值范圍為________.13．若命題“，”為假命題，則實數的取值范圍為______.14．已知函數若存在實數使得函數的值域為，則實數的取值范圍是__________15．已知．若實數m滿足，則m的取值范圍是__16．函數為奇函數，且對任意互不相等的，，都有成立，且，則的解集為______三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．若集合，，.（1）求；（2）若，求實數的取值范圍.18．近年來，我國大部分地區遭遇霧霾天氣，給人們的健康、交通安全等帶來了嚴重影響.經研究發現工業廢氣等污染物排放是霧霾形成和持續的重要因素，污染治理刻不容緩.為此，某工廠新購置并安裝了先進的廢氣處理設備，使產生的廢氣經過過濾后排放，以降低對空氣的污染.已知過濾過程中廢氣的污染物數量（單位：mg/L）與過濾時間（單位：h）間的關系為（，均為非零常數，e為自然對數的底數），其中為時的污染物數量.若經過5h過濾后還剩余90%的污染物.（1）求常數的值；（2）試計算污染物減少到40%至少需要多長時間.（精確到1h，參考數據：，，，，）19．已知函數.（1）直接寫出的單調區間，并選擇一個單調區間根據定義進行證明；（2）解不等式.20．從下面所給三個條件中任意選擇一個，補充到下面橫線處，并解答.條件一、，；條件二、方程有兩個實數根，；條件三、，.已知函數為二次函數，，，.（1）求函數的解析式；（2）若不等式對恒成立，求實數k的取值范圍.21．如圖，已知是半徑為圓心角為的扇形，是該扇形弧上的動點，是扇形的內接矩形，記為.（1）若的周長為，求的值；（2）求的最大值，并求此時的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】利用夾角公式進行計算【詳解】由條件可知，，，所以，故與的夾角為故選【點睛】本題考查了運用平面向量數量積運算求解向量夾角問題，熟記公式準確計算是關鍵，屬于基礎題2、C【解析】由題意利用冪函數的定義和性質，得出結論【詳解】冪函數為偶函數，，且為偶數，則實數，故選：C3、B【解析】利用函數的三要素：定義域、值域、對應關系相同即可求解.【詳解】對于①，與，定義域均為，但對應,兩函數的對應關系不同，故①不是同一函數；對于②，的定義域為，的定義域為，故②不是同一函數；對于③，與定義域均為，函數表達式可化簡為，故③兩函數為同一函數；對于④，根據函數的概念，與，定義域、對應關系、值域均相同，故④為同一函數，故選：B【點睛】本題考查了函數的三要素，函數相同只需函數的三要素：定義域、值域、對應關系相同，屬于基礎題.4、C【解析】把問題轉化為函數在上的圖象與直線至少有兩個公共點，再數形結合，求解作答.【詳解】函數滿足，當時，，則當時，，當時，，關于的方程在上至少有兩個實數解，等價于函數在上的圖象與直線至少有兩個公共點，函數的圖象是恒過定點的動直線，函數在上的圖象與直線，如圖，觀察圖象得：當直線過點時，，將此時的直線繞點A逆時針旋轉到直線的位置，直線(除時外)與函數在上的圖象最多一個公共點，此時或或a不存在，將時的直線(含)繞A順時針旋轉到直線(不含直線)的位置，旋轉過程中的直線與函數在上的圖象至少有兩個公共點，此時，所以實數的取值范圍為.故選：C【點睛】方法點睛：圖象法判斷函數零點個數，作出函數f(x)的圖象，觀察與x軸公共點個數或者將函數變形為易于作圖的兩個函數，作出這兩個函數的圖象，觀察它們的公共點個數.5、C【解析】根據分段函數，結合指數，對數運算計算即可得答案.【詳解】解：由于,所以.故選：C.【點睛】本題考查對數運算，指數運算，分段函數求函數值，考查運算能力，是基礎題.6、B【解析】先根據角終邊上點的坐標判斷出角的終邊所在象限，然后根據三角函數的定義即可求出角的最小正值【詳解】因為，，所以角的終邊在第四象限，根據三角函數的定義，可知，故角的最小正值為故選：B【點睛】本題主要考查利用角的終邊上一點求角，意在考查學生對三角函數定義的理解以及終邊相同的角的表示，屬于基礎題7、C【解析】①函數為偶函數，因為是正確的；②函數在上單調遞增，單調增是正確的；③函數是偶函數，在區間上單調遞增，故選項不正確；④函數與互為反函數，根據反函數的概念得到圖像關于對稱.是正確的.故答案為C.8、A【解析】根據解析式判斷函數單調性，再結合零點存在定理，即可判斷零點所處區間.【詳解】因為是單調增函數，故是單調增函數，至多一個零點，又，故的零點所在的區間為.故選：A.9、C【解析】由充要條件的定義求解即可【詳解】因為，若，則，若，則，即，所以，即“”是“”的充要條件，故選：C.10、A【解析】,所以，故選A.考點：集合運算.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、①②##②①【解析】根據三角函數的平移法則和單調性知①②正確，取代入計算得到③錯誤，得到答案.【詳解】向左平移個單位得到，①正確；函數在上單調遞減，函數在上單調遞減，②正確；取，則，，，③錯誤.故答案為：①②12、【解析】根據冪函數的單調性和奇偶性得到，代入不等式得到，根據函數的單調性解得答案.【詳解】冪函數在上單調遞減，故，解得.，故，，.當時，不關于軸對稱，舍去；當時，關于軸對稱，滿足；當時，不關于軸對稱，舍去；故，，函數在和上單調遞減，故或或，解得或.故答案為：13、【解析】命題為假命題時，二次方程無實數解，據此可求a的范圍.【詳解】若命題“，”為假命題，則一元二次方程無實數解，∴.∴a的取值范圍是：.故答案為：.14、【解析】當時，函數為減函數，且在區間左端點處有令，解得令，解得的值域為，當時，fx=x在，上單調遞增，在上單調遞減，從而當時，函數有最小值，即為函數在右端點的函數值為的值域為，則實數的取值范圍是點睛：本題主要考查的是分段函數的應用．當時，函數為減函數，且在區間左端點處有，當時，在，上單調遞增，在上單調遞減，從而當時，函數有最小值，即為，函數在右端點的函數值為，結合圖象即可求出答案15、【解析】由題意可得，進而解不含參數的一元二次不等式即可求出結果.【詳解】由題意可知，即，所以，因此，故答案：.16、【解析】由條件可得函數的單調性，結合，分和利用單調性可解.【詳解】因為，時，，所以在上單調遞減，又因為為奇函數，且，所以在上單調遞減，且.當時，不等式，得；當時，不等式，得.綜上，不等式的解集為.故答案：三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）解不等式求出集合，再進行交集運算即可求解；（2）解不等式求集合，根據并集的結果列不等式即可求解.【詳解】（1），，；（2），或，，.即實數的取值范圍為.18、（1）（2）42h【解析】（1）根據題意，得到，求解，即可得出結果；（2）根據（1）的結果，得到，由題意得到，求解，即可得出結果.【詳解】（1）由已知得，當時，；當時，.于是有，解得（或）.（2）由（1）知，當時，有，解得.故污染物減少到40%至少需要42h.【點睛】本題主要考查函數模型的應用，熟記指數函數的性質即可，屬于常考題型.19、（1）在區間，上單調遞增，在區間上單調遞減，證明見解析（2）【解析】(1)根據增減函數的定義，利用作差法比較與0的大小即可；(2)根據三角函數的性質可得、，利用函數的單調性列出三角不等式，解不等式即可.【小問1詳解】在區間，上單調遞增，在區間上單調遞減.①選區間進行證明.，，且，有，由，所以，由，所以，所以，，所以在區間上單調遞增.②選區間進行證明.，，且，有，由，，所以，，所以在區間上單調遞減.③選區間進行證明.參考②的證明，在區間上單調遞增.【小問2詳解】，因為，，在區間上單調遞減，所以，（），所以，所求解集為.20、（1）選擇條件一、二、三均可得（2）【解析】（1）根據二次函數的性質，無論選擇條件一、二、三均可得的對稱軸為，進而待定系數求解即可；（2）由題對恒成立，進而結合基本不等式求解即可.【小問1詳解】解：選條件一：設因為，，所以的對稱軸為，因為，，所以，解得，所以選條件二：設因為方程有兩個實數根，，所以的對稱軸為，因為，，所以，解得，所以選條件三：設因為，，所以的對稱軸為，因為，，所以，解得，所以【小問2詳解】解：對恒成立對恒成立當且僅當時取等號，∴所