第13講勾股定理目標導航目標導航1．掌握勾股定理的內容，了解勾股定理的多種證明方法，體驗數形結合的思想；2．能夠運用勾股定理求解三角形中相關的邊長（只限于常用的數）；3．通過對勾股定理的探索解決簡單的實際問題，進一步運用方程思想解決問題．4.理解勾股定理的逆定理，并能與勾股定理相區別；5.能運用勾股定理的逆定理判斷一個三角形是否是直角三角形；6.理解勾股數的含義；7.通過探索直角三角形的判定條件的過程，培養動手操作能力和邏輯推理能力.知識精講知識精講知識點01勾股定理直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．如果直角三角形的兩直角邊長分別為，斜邊長為，那么．【微點撥】（1）勾股定理揭示了一個直角三角形三邊之間的數量關系．（2）利用勾股定理，當設定一條直角邊長為未知數后，根據題目已知的線段長可以建立方程求解，這樣就將數與形有機地結合起來，達到了解決問題的目的．（3）理解勾股定理的一些變式：，，．【即學即練1】1、在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別為、、．（1）若＝5，＝12，求；（2）若＝26，＝24，求．【點撥】利用勾股定理來求未知邊長．【解析】解：（1）因為△ABC中，∠C＝90°，，＝5，＝12，所以．所以＝13．（2）因為△ABC中，∠C＝90°，，＝26，＝24，所以．所以＝10．【總結】已知直角三角形的兩邊長，求第三邊長，關鍵是先弄清楚所求邊是直角邊還是斜邊，再決定用勾股原式還是變式．知識點02勾股定理的證明方法一：將四個全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形．圖（1）中，所以．方法二：將四個全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形．圖（2）中，所以．方法三：如圖（3）所示，將兩個直角三角形拼成直角梯形．，所以．【微點撥】勾股定理的作用已知直角三角形的任意兩條邊長，求第三邊；用于解決帶有平方關系的證明問題；3．與勾股定理有關的面積計算；4．勾股定理在實際生活中的應用．【即學即練2】閱讀下面的材料勾股定理神秘而美妙，它的證法多種多樣，下面是教材中介紹的一種拼圖證明勾股定理的方法．先做四個全等的直角三角形，設它們的兩條直角邊分別為a，b，斜邊為c，然后按圖1的方法將它們擺成正方形．由圖1可以得到（a+b）2=4×，整理，得a2+2ab+b2=2ab+c2．所以a2+b2=c2．如果把圖1中的四個全等的直角三角形擺成圖2所示的正方形，請你參照上述證明勾股定理的方法，完成下面的填空：由圖2可以得到，整理，得，所以．【解析】證明：∵S大正方形=c2，S大正方形=4S△+S小正方形=4×ab+（b﹣a）2，∴c2=4×ab+（b﹣a）2，整理，得2ab+b2﹣2ab+a2=c2，∴c2=a2+b2．故答案是：；2ab+b2﹣2ab+a2=c2；a2+b2=c2．【總結】本題考查利用圖形面積的關系證明勾股定理，解題關鍵是利用三角形和正方形邊長的關系進行組合圖形．知識點03勾股定理的逆定理如果三角形的三條邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形.【微點撥】（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“數”轉為“形”，是通過計算來判定一個三角形是否為直角三角形.【即學即練3】判斷由線段組成的三角形是不是直角三角形．（1）＝7，＝24，＝25；（2）＝，＝1，＝；（3），，()；【點撥】判斷三條線段能否組成直角三角形，關鍵是運用勾股定理的逆定理：看較短的兩條線段的平方和是否等于最長線段的平方．若是，則為直角三角形，反之，則不是直角三角形．【解析】解：（1）∵，，∴．∴由線段組成的三角形是直角三角形．（2）∵，，，∴．∴由線段組成的三角形不是直角三角形．（3）∵，∴，．∵，，∴．∴由線段組成的三角形是直角三角形．【總結】解此類題的關鍵是準確地判斷哪一條邊最大，然后再利用勾股定理的逆定理進行判斷，即首先確定最大邊，然后驗證與是否具有相等關系，再根據結果判斷是否為直角三角形．知識點04如何判定一個三角形是否是直角三角形首先確定最大邊（如）.驗證與是否具有相等關系.若，則△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，則△ABC不是直角三角形.【微點撥】當時，此三角形為鈍角三角形；當時，此三角形為銳角三角形，其中為三角形的最大邊.【即學即練4】類型一幾何判斷三角形形狀如圖，已知四邊形ABCD中，∠B＝∠90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四邊形ABCD的面積．【點撥】由AB＝3，BC＝4，∠B＝90°，應想到連接AC，則在Rt△ABC中即可求出△ABC的面積，也可求出線段AC的長．所以在△ACD中，已知AC，AD，CD三邊長，判斷這個三角形的形狀，進而求得這個三角形的面積．【解析】解：連接AC，在△ABC中，因為∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，所以，所以AC＝5，在△ACD中，AD＝13，DC＝12，AC＝5，所以，即．所以△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°．所以．【總結】有關四邊形的問題通常轉化為三角形的問題來解，本題是勾股定理及逆定理的綜合考察．類型二代數判斷三角形形狀已知：為的三邊且滿足，試判斷的形狀.【解析】解：∵∴∴，∴△ABC是直角三角形.【總結】此類問題中要判斷的三角形一般都是特殊三角形，一定要善于把題目中已知的條件等式進行變形，從而得到三角形的三邊關系.對條件等式進行變形常用的方法有配方法，因式分解法等.知識點05勾股數滿足不定方程的三個正整數，稱為勾股數（又稱為高數或畢達哥拉斯數），顯然，以為三邊長的三角形一定是直角三角形.熟悉下列勾股數，對解題會很有幫助：3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41……如果是勾股數，當為正整數時，以為三角形的三邊長，此三角形必為直角三角形.【微點撥】（1）（是自然數）是直角三角形的三條邊長；（2）（n≥1，是自然數）是直角三角形的三條邊長；（3）（是自然數）是直角三角形的三條邊長；能力拓展能力拓展考法01勾股定理類型01直角三角中利用角求邊1.在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別為、、．（1）已知＝6，＝10，求；（2）已知，＝32，求、．【答案】解：（1）∵∠C＝90°，＝6，＝10，∴，∴＝8．（2）設，，∵∠C＝90°，＝32，∴．即．解得＝8．∴，．類型02利用勾股定理求線段長度2、如圖，長方形紙片ABCD中，已知AD＝8，折疊紙片使AB邊與對角線AC重合，點B落在點F處，折痕為AE，且EF＝3，則AB的長為（）A．3B．4C．5D．6【答案】D；【解析】解：設AB＝，則AF＝，∵△ABE折疊后的圖形為△AFE，∴△ABE≌△AFE．BE＝EF，EC＝BC－BE＝8－3＝5，在Rt△EFC中，由勾股定理解得FC＝4，在Rt△ABC中，，解得．【總結】折疊問題包括“全等形”、“勾股定理”兩大問題，最后通過勾股定理求解．類型03利用勾股定理求面積3、如圖，直線l上有三個正方形a，b，c，若a，c的面積分別為5和11，則b的面積為（）A．6B．5C．11D．16【點撥】本題主要考察了全等三角形與勾股定理的綜合應用，由b是正方形，可求△ABC≌△CDE．由勾股定理可求b的面積=a的面積+c的面積．【答案】D【解析】解：∵∠ACB+∠ECD=90°，∠DEC+∠ECD=90°，

∴∠ACB=∠DEC，

在△ABC和△CDE中，

∵∴△ABC≌△CDE

∴BC=DE

∵∴∴b的面積為5+11=16，故選D．【總結】此題巧妙的運用了勾股定理解決了面積問題，考查了對勾股定理幾何意義的理解能力，根據三角形全等找出相等的量是解答此題的關鍵．類型04、利用勾股定理解決實際問題4、有一個小朋友拿著一根竹竿要通過一個長方形的門，如果把竹竿豎放就比門高出1尺，斜放就恰好等于門的對角線，已知門寬4尺，求竹竿高與門高．【點撥】根據題中所給的條件可知，竹竿斜放就恰好等于門的對角線長，可與門的寬和高構成直角三角形，運用勾股定理可求出門高．【解析】解：設門高為x尺，則竹竿長為（x+1）尺，根據勾股定理可得：x2+42=（x+1）2，即x2+16=x2+2x+1，解得：x=7.5，竹竿高=7.5+1=8.5（尺）答：門高7.5尺，竹竿高8.5尺．【總結】本題考查勾股定理的運用，正確運用勾股定理，將數學思想運用到實際問題中是解答本題的關鍵．考法02判斷三角形形狀類型01、勾股定理的逆定理1、如圖所示，在△ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周長為36cm，點P從點A開始沿AB邊向B點以每秒1cm的速度移動；點Q從點B沿BC邊向點C以每秒2cm的速度移動，如果同時出發，則過3秒時，△BPQ的面積為多少cm2.【點撥】本題先設適當的參數求出三角形的三邊，由勾股定理的逆定理得出三角形為直角三角形．再求出3秒后的BP，BQ的長，利用三角形的面積公式計算求解．【解析】解：設AB為3xcm，BC為4xcm，AC為5xcm，∵周長為36cm，AB+BC+AC=36cm，∴3x+4x+5x=36，得x=3，∴AB=9cm，BC=12cm，AC=15cm，∵AB2+BC2=AC2，∴△ABC是直角三角形，過3秒時，BP=9﹣3×1=6（cm），BQ=2×3=6（cm），∴S△PBQ=BP?BQ=×（9﹣3）×6=18（cm2）．故過3秒時，△BPQ的面積為18cm2．【總結】本題是道綜合性較強的題，需要學生把勾股定理的逆定理、三角形的面積公式結合求解．由勾股定理的逆定理得出三角形為直角三角形，是解題的關鍵．隱含了整體的數學思想和正確運算的能力．2、如圖，點D是△ABC內一點，把△ABD繞點B順時針方向旋轉60°得到△CBE，若AD=4，BD=3，CD=5．（1）判斷△DEC的形狀，并說明理由；（2）求∠ADB的度數．【點撥】把△ABD繞點B順時針方向旋轉60°，注意旋轉只是三角形的位置變了，三角形的邊長和角度并沒有變，并且旋轉的角度60°，因此出現等邊△BDE，從而才能更有利的判斷三角形的形狀和求∠ADB的度數．【解析】解：（1）根據圖形的旋轉不變性，AD=EC，BD=BE，又∵∠DBE=∠ABC=60°，∴△ABC和△DBE均為等邊三角形，于是DE=BD=3，EC=AD=4，又∵CD=5，∴DE2+EC2=32+42=52=CD2；故△DEC為直角三角形．（2）∵△DEC為直角三角形，∴∠DEC=90°，又∵△BDE為等邊三角形，∴∠BED=60°，∴∠BEC=90°+60°=150°，即∠ADB=150°．【總結】此題考查了旋轉后圖形的不變性、全等三角形的性質、等邊三角形的性質、勾股定理的逆定理等知識，綜合性較強，是一道好題．解答（2）時要注意運用（1）的結論．類型02勾股定理逆定理的應用3、已知a、b、c是△ABC的三邊，且滿足，且a+b+c=12，請你探索△ABC的形狀．【解析】解：令=k．∴a+4=3k，b+3=2k，c+8=4k，∴a=3k﹣4，b=2k﹣3，c=4k﹣8．又∵a+b+c=12，∴（3k﹣4）+（2k﹣3）+（4k﹣8）=12，∴k=3．∴a=5，b=3，c=4．∴△ABC是直角三角形．【總結】此題借用設比例系數k的方法，進一步求得三角形的三邊長，根據勾股定理的逆定理判定三角形的形狀．分層提分分層提分題組A基礎過關練1．如圖，△ABC中，AB=AC,AD是∠BAC的平分線.已知AB=5，AD=3，則BC的長為（）A．5B．6C．8D．10【答案】C；【解析】勾股定理．2．若直角三角形的三邊長分別為2，4，，則的值可能有()A．1個B．2個C．3個 D．4個【答案】B；【解析】可能是直角邊，也可能是斜邊．3．小明想知道學校旗桿的高度，他發現旗桿上的繩子垂到地面還多1米,當他把繩子的下端拉開5米后，發現下端剛好接觸地面，則旗桿的高是()A．12米B．10米C．8米D．6米【答案】A；【解析】設旗桿的高度為米，則，解得米．4．Rt△ABC中，斜邊BC＝2，則的值為()A．8 B．4 C．6 D．無法計算【答案】A；【解析】．5．如圖，△ABC中，AB＝AC＝10，BD是AC邊上的高線，DC＝2，則BD等于()A．4B．6 C．8 D．5【答案】B；【解析】AD＝8，,∴BD=6．6．如圖，在△ABC中，AB=AC=5，P是BC邊上除B、C點外的任意一點，則代數式AP2+PB?PC等于（）A．25B．15C．20D．30【答案】A.【解析】解：過點A作AD⊥BC于D，∵AB=AC=5，∠ADP=∠ADB=90°，∴BD=CD，根據勾股定理得：PA2=PD2+AD2，AD2+BD2=AB2，∴AP2+PB?PC=AP2+（BD+PD）（CD﹣PD）=AP2+（BD+PD）（BD﹣PD）=AP2+BD2﹣PD2=AP2﹣PD2+BD2=AD2+BD2=AB2=25．故選A.題組B能力提升練7．如圖，△ABC中，D為AB中點，E在AC上，且BE⊥AC．若DE=10，AE=16，則BE的長度為（）A．10B．11C．12D．13【答案】C【解析】∵BE⊥AC，∴△AEB是直角三角形，∵D為AB中點，DE=10，∴AB=20，∵AE=16，,所以BE=12.8．如圖，長方形AOBC中，AO=8，BD=3，若將矩形沿直線AD折疊，則頂點C恰好落在邊OB上E處，那么圖中陰影部分的面積為（）A.30B．32C．34D．16【答案】A【解析】由題意CD＝DE＝5，BE＝4，設OE＝，AE＝AC＝，所以，，陰影部分面積為．9．如圖，已知△ABC中，∠ABC＝90°,AB＝BC，三角形的頂點在相互平行的三條直線，，上，且，之間的距離為2,，之間的距離為3,則的值是（）A．68B．20C．32D．47【答案】A【解析】如圖，分別作CD⊥交于點E，作AF⊥，則可證△AFB≌△BDC，則AF＝3＝BD,BF＝CD＝2＋3＝5，∴DF＝5＋3＝8＝AE，在直角△AEC中，勾股定理得．10．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12,則△ABC的周長為（）A．42B．32C．42或32D．37或33【答案】C【解析】高在△ABC內部，第三邊長為14；高在△ABC外部，第三邊長為4，故選C．11．如圖，它是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形．如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形較短的直角邊長為a，較長的直角邊長為b，那么（a+b）2的值是_________．【答案】25；【解析】根據題意，結合勾股定理a2+b2=13，四個三角形的面積=4×ab=13﹣1，∴2ab=12，聯立解得：（a+b）2=13+12=25．12．已知長方形ABCD，AB＝3，AD＝4，過對角線BD的中點O做BD的垂直平分線EF，分別交AD、BC于點E、F，則AE的長為_______________．【答案】；【解析】連接BE，設AE＝，BE＝DE＝，則，．題組C培優拔尖練13．如圖，正方形ABCD的邊長為2，其面積標記為S1，以CD為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標記為S2，…按照此規律繼續下去，則S2015的值為（）A． B． C． D． 【答案】C【解析】解：根據題意：第一個正方形的邊長為2；第二個正方形的邊長為：；第三個正方形的邊長為：，…第n個正方形的邊長是，所以S2015的值是（）2012，故選C.14．如圖，∠MON=90°，矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM，ON上，當B在邊ON上運動時，A隨之在邊OM上運動，矩形ABCD的形狀保持