1.4用一元二次方程解決問題（二）【推本溯源】1.解決應用題的一般步驟：步驟內容摘要注意事項1.審審題目，分清已知量、未知量、等量關系等等量關系往往體現在關鍵詞句中2.設設未知數，有時會用未知數表示相關的量一般要帶單位3.列根據題目中的等量關系，列出方程方程兩邊單位要統一4.解解方程，注意分式方程需檢驗，將所求量表示清晰一般不必寫出解方程的過程5.檢檢驗方程的解能否保證實際問題有意義一般兩個根中只有一個符合實際意義6.答寫出答案，切忌答非所問注意帶上單位2.解下列應用（1）近年來，隨著城市居民入住率的增加，污水處理問題成為城市的難題．某城市環境保護局協同自來水公司為鼓勵居民節約用水，減少污水排放，規定：居民用水量每月不超過a噸時，只需交納10元水費，如果超過a噸，除按10元收費外，超過部分，另按每噸5a元收取水費（水費＋污水處理費）．（1）某市區居民2018年3月份用水量為8噸，超過規定水量，用a的代數式表示該用戶應交水費多少元；（2）下表是這戶居民4月份和5月份的用水量和繳費情況；月份用水量（噸）交水費總金額（元）47705540根據上表數據，求規定用水量a的值．圖表信息問題①明確該題實質是分段計費問題；②能根據表格中的數據判斷出A的范圍；③能通過觀察表格中每個月交費總額的數據，判斷出該月的計費方法。（2）一輛汽車以20m/s的速度行駛，司機發現前方路面有情況，緊急剎車后又滑行25m后停車．（1）從剎車到停車用了多少時間？（2）從剎車到停車平均每秒車速減少多少？（3）剎車后汽車滑行到15m時約用了多少時間（精確到0.1s）？行程問題在數學中存在著一類應用題,其研究的對象是路程、速度、時間及這三者之間的關系,這類問題統稱為行程問題.上述三個量就是行程問題的三個基本量,而這三個量之間的關系路程=時間x速度;時間=路程÷速度;速度=路程÷時間。在相遇問題里的關系式變為：相遇時間=總路程÷(甲的速度+乙的速度);追及問題的類型主要有求追及時間、求速度、求路程等幾種情況,解決問題的關鍵也是根據基本的數量關系解訣,即追及時間=路程差÷速度差;速度差=路程差÷追及時間;路程差=追及時間x速度差總路程=(甲的速度+乙的速度)x相遇時間流水行船問題順水速度=靜水速度+水流速度，逆水速度=靜水速度水流速度靜水速度=順水速度水流速度=逆水速度+水流速度=；水流速度=順水速度靜水速度=靜水速度逆水速度=。（3）在今年月號的學雷鋒活動中，八年級和九年級的共青團員去參加美化校園活動，如果八年級共青團員單獨做小時，九年級共青團員再單獨做小時，那么恰好能完成全部任務的；如果九年級共青團員先做小時，剩下的由八年級共青團員單獨完成，那么八年級共青團員所用時間恰好比九年級共青團員單獨完成美化校園所用時間多小時，求八九年級共青團員單獨完成美化校園活動分別各需多少小時．工程問題工程問題是指兩個或兩個以上對象合作完成一項工程或工作,有時還將內容延伸到相遇問題或和倍問題.解答工程問題時,經常把總工作量看作"1",若這項工程甲單獨做需要a天,則甲的工作效率為.可見,工作效率就是工作時問的倒數。工程問題的基本關系式為：工作效率×工作時間=工作量（4）等腰中，，動點從點出發，沿向點移動，通過點引平行于、的直線與、分別交于點、，問：等于多少厘米時，平行四邊形的面積等于．動態幾何問題以“靜”制“動”求解：①分析出動點的運行軌跡，用含有未知數的代數式把相應的線段表示出來是解決這類問題的關鍵；②結合題意，用“靜”的方法來處理“動”的問題，本題中的“靜”是指在某一時刻兩個三角形面積之間的關系。【解惑】例1：根據下表提供的信息，一元二次方程的解大概是（

）23456513A．0 B．3.5 C．3.8 D．4.5例2：《九章算術》中有一題：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會，問甲乙各行幾何？”大意是說：“甲、乙二人同時從同一地點出發，甲的速度為6，乙的速度為4，乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇，甲、乙各走了多少步？”請問乙走的步數是（

）A．36 B．26 C．24 D．10例3：如圖，在中，，，，點從點開始沿邊向點以/s的速度移動，點從點開始沿邊向點以2cm/s的速度移動，當其中一點到達終點時，另一點也隨之停止運動，如果點，分別從，兩點同時出發，那么經過___后，，兩點間的距離為．

例4：如圖，約定：上方相鄰兩數之和等于這兩數下方箭頭共同指向的數．（1）當時，請直接寫出的值；（2）當時，求的值．例5：某市為鼓勵居民節約用水，對居民用水實行階梯收費，每戶居民用水量每月不超過a噸時，每噸按0.3a元繳納水費；每月超過a噸時，超過部分每噸按0.4a元繳納水費．（1）若a＝12，某戶居民3月份用水量為22噸，則該用戶應繳納水費多少元？（2）若如表是某戶居民4月份和5月份的用水量和繳費情況：月份用水量（噸）交水費總金額（元）4186252486根據上表數據，求規定用水量a的值【摩拳擦掌】1．（2023春·浙江·八年級專題練習）《九章算術》中有一題：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會，問甲乙各行幾何？”大意是說：“甲、乙二人同從同一地點出發，甲的速度為7，乙的速度為3，乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇．甲、乙各走了多少步？”請問甲走的步數是__．2．（2023春·安徽·八年級期中）如圖，在中，，，，點P從A點出發，沿射線方向以1cm/s的速度移動，點Q從B點出發，沿射線方向以4cm/s的速度移動．（1）______________；（2）如果P、Q兩點同時出發，問：經過____________秒后的面積等于．3．（2021秋·全國·九年級專題練習）一個小球以速度開始向前滾動，并且均勻減速，后小球停止滾動．小球滾動約用了________秒（結果保留小數點后一位）4．（2023春·八年級課時練習）某電廠規定，該廠家屬區的每戶居民如果一個月的用電量不超過度，那么這個月這戶居民只交10元電費；如果超過度，這個月除了交10元電費外，超過部分按每度元交費．(1)該廠某戶居民1月份用電90度，超過了度的規定，試寫出超過部分應交的電費．（用含的代數式表示）(2)下表是這戶居民2月、3月的用電情況，請根據其中的數據，求電廠規定的度是多少．月份用電量/度交電費總數/元2月80253月45105．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖是2022年5月份的日歷，在日歷表上可以用一個方框圈出的四個數．(1)若圈出的四個數中，最小的數為，則最大的數為______（用含的代數式表示）；(2)若圈出的四個數中，最小數與最大數的乘積為153，求這個最小數．6．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，已知等腰三角形，，，點從點出發，沿的方向以的速度向終點運動，同時點從點出發，沿的方向以的速度向終點運動，當點運動到點時，兩點均停止運動，運動時間記為秒，請解決下列問題：(1)若點在邊上，當為何值時，？(2)是否存在這樣的值，使的面積為？若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由．7．（2023·江蘇·九年級假期作業）如圖，在矩形中，，動點P、Q分別從點A、C同時出發，點P以的速度向點B移動，一直到點B為止，點Q以的速度向點D移動（點P停止移動時，點Q也停止移動）．設移動時間為t（s）．連接，．(1)用含t的式子表示線段的長：__________；__________．(2)當t為何值時，P、Q兩點間的距離為？(3)當t為何值時，四邊形的形狀可能為矩形嗎？若可能，求出t的值；若不可能，請說明理由．8．（2022秋·陜西西安·九年級校考期中）如圖，已知A、B、C、D為矩形的四個頂點，，，動點P、Q分別從點A、C同時出發，點P以的速度向點B移動，一直到點B為止，點Q以的速度向點D移動．問：(1)P、Q兩點從出發開始幾秒時，四邊形的面積為？(2)幾秒時點P點Q間的距離是10厘米？(3)P，Q兩點間距離何時最小？9．（2023·江蘇·九年級假期作業）疫情期間，“大白”成了身穿防護服的人員的代稱．開學以來，我校很多老師在繁重的課務之余承擔起了核酸檢測的任務，化身可敬可愛的“大白”．據多日檢測結果調查發現一個熟能生巧的現象，當每位大白檢測人數是人時，每位同學人均檢測時間是秒，而檢測人數每提高人，人均就少耗時秒（若每位大白的檢測人數不超過人，設人均少耗時秒）．(1)補全下列表格：檢測人數（人）人均檢測時間（秒）(2)某位大白一節課（）剛好同時完成了檢測任務，那么他今日檢測總人數為多少人？【知不足】1．（2022秋·全國·九年級專題練習）請閱讀下列材料，并按要求完成相應的任務：人類對一元二次方程的研究經歷了漫長的歲月．一元二次方程及其解法最早出現在公元前兩千年左右的古巴比倫人的《泥板文書》中．到了中世紀，阿拉伯數學家花拉子米在他的代表作《代數學》中給出了一元二次方程的一般解法，并用幾何法進行了證明．我國古代三國時期的數學家趙爽也給出了類似的幾何解法．趙爽在其所著的《勾股圓方圖注》中記載了解方程即得方法.首先構造了如圖1所示得圖形，圖中的大正方形面積是，其中四個全等的小矩形面積分別為，中間的小正方形面積為，所以大正方形的面積又可表示為，據此易得．任務：（1）參照上述圖解一元二次方程的方法，請在下面三個構圖中選擇能夠說明方程的正確構圖是（從序號①②③中選擇）．（2）請你通過上述問題的學習，在圖2的網格中設計正確的構圖，用幾何法求解方程（寫出必要的思考過程）．2．（2022春·八年級單元測試）如圖，正方形的邊長為，動點從點出發，以的速度沿方向向點運動，動點從點出發，以的速度沿方向向點運動，若，兩點同時出發，運動時間為．(1)連接，，，當為何值時，面積為？(2)當點在上運動時，是否存在這樣的的值，使得是以為腰的等腰三角形？若存在，請求出符合條件的的值；若不存在，請說明理由．3．（2023春·八年級單元測試）等邊，邊長為，點P從點C出發以向點B運動，同時點Q以向點A運動，當一點到達終點時，另一點也隨之停止運動，設運動時間為，

(1)求當為直角三角形時的時間；(2)的面積能否為，若存在求時間，若不存在請說明理由．4．（2023春·上海靜安·八年級上海市回民中學校考期中）在中，，動點M、N分別從點A和點C同時開始移動，點M的速度為/秒，點N的速度為/秒，點M移動到點C后停止，點N移動到點B后停止．問經過幾秒鐘，的面積為？

5．（2023·全國·九年級假期作業）如圖，矩形中，，，點從開始沿邊向點以厘米/秒的速度移動，點從點開始沿邊向點以厘米/秒的速度移動，如果、分別是從同時出發，求經過幾秒時，(1)的面積等于平方厘米？(2)五邊形的面積最小？最小值是多少？6．（2023春·浙江·八年級階段練習）甲、乙兩個機器人分別從相距70m的A、B兩個位置同時相向運動．甲第1分鐘走2m，以后每分鐘比前1分鐘多走1m，乙每分鐘走5m．(1)甲、乙開始運動后多少分鐘第一次同時到達同一位置？(2)如果甲、乙到達A或B后立即折返，甲繼續每分鐘比前1分鐘多走1m，乙繼續按照每分鐘5m的速度行走，那么開始運動后多少分鐘第二次同時到達同一位置？7．（2023春·浙江·八年級專題練習）勻變速直線運動中，每個時間段內的平均速度（初始速度與末速度的算術平均數）與路程，時間的關系為．現有一個小球以的速度開始向前滾動，并且均勻減速，后小球停止運動．(1)小球的滾動速度平均每秒減少多少？(2)小球滾動約用了多少秒（結果保留小數點后一位，參考數據：）8．（2023·全國·九年級假期作業）全球疫情爆發時，口罩極度匱乏，中國許多企業都積極地生產口罩以應對疫情，經調查發現：1條口罩生產線最大產能是78000個/天，每增加1條生產線，每條生產線減少1625個/天，工廠的產線共x條（1）該工廠最大產能是_____個/天（用含x的代數式表示）．（2）若該工廠引進的生產線每天恰好能生產口702000個，該工廠引進了多少條生產線？9．（2023·重慶·模擬預測）某工程隊采用A、B兩種設備同時對長度為4800米的公路進行施工改造．原計劃A型設備每小時鋪設路面比B型設備的2倍多30米，則32小時恰好完成改造任務．(1)求A型設備每小時鋪設的路面長度；(2)通過勘察，此工程的實際施工里程比最初的4800米多了1000米．在實際施工中，B型設備在鋪路效率不變的情況下，時間比原計劃增加了小時，同時，A型設備的鋪路速度比原計劃每小時下降了米，而使用時間增加了小時，求的值．【一覽眾山小】1．（2023春·安徽滁州·八年級校聯考期中）如圖，在直角梯形中，，．動點P從點D出發，沿射線的方向以每秒2個單位的速度運動，動點Q從點C出發，沿射線的方向以每秒1個單位的速度向點B運動，點P，Q分別從點D，C同時出發，當點P運動到點A時，點Q隨之停止運動．設運動的時間為t（秒），當t為何值時，以B，P，Q三點為頂點的三角形是等腰三角形？

2．（2023春·重慶云陽·九年級校聯考期中）周末，小明和小紅約著一起去公園跑步鍛煉身體若兩人同時從A地出發，勻速跑向距離處的B地，小明的跑步速度是小紅跑步速度的1.2倍，那么小明比小紅早5分鐘到達B地．(1)求小明、小紅的跑步速度；(2)若從A地到達B地后，小明以跑步形式繼續前進到C地（整個過程不休息），據了解，在他從跑步開始前30分鐘內，平均每分鐘消耗熱量10卡路里，超過30分鐘后，每多跑步1分鐘，平均每分鐘消耗的熱量就增加1卡路里，在整個鍛煉過程中，小明共消耗2300卡路里的熱量，小明從A地到C地鍛煉共用多少分鐘．3．（2023·四川成都·成都實外校考一模）為切實推進廣大青少年學生走向操場、走進大自然、走到陽光下，積極參加體育鍛煉，陽光體育長跑是如今學校以及當代年輕人選擇最多的運動．學生堅持長跑，不僅能夠幫助身體健康，還能夠收獲身心的愉悅．周末，小明和小齊相約一起去天府綠道跑步．若兩人同時從地出發，勻速跑向距離處的地，小明的跑步速度是小齊跑步速度的1.2倍，那么小明比小齊早5分鐘到達地．根據以上信息，解答下列問題：(1)小明每分鐘跑多少米？(2)若從地到達地后，小明以跑步形式繼續前進到地（整個過程不休息）．據了解，從他跑步開始，前30分鐘內，平均每分鐘消耗熱量10卡路里，超過30分鐘后，每多跑步1分鐘，平均每分鐘消耗的熱量就增加1卡路里，在整個鍛煉過程中，小明共消耗2300卡路里的熱量，小明從地到地鍛煉共用多少分鐘．4．（2023·浙江臺州·統考一模）小明在平整的草地上練習帶球跑，他將球沿直線踢出后隨即跟著球的方向跑去，追上球后，又將球踢出……球在草地上滾動時，速度變化情況相同，小明速度達到6m/s后保持勻速運動．下圖記錄了小明的速度以及球的速度隨時間的變化而變化的情況，小明在4s時第一次追上球．（提示：當速度均勻變化時，平均速度，距離）(1)當時，求關于t的函數關系式；(2)求圖中a的值；(3)小明每次踢球都能使球的速度瞬間增加6m/s，球運動方向不變，當小明帶球跑完200m，寫出小明踢球次數共有____次，并簡要說明理由．5．（2023春·全國·八年級專題練習）由于疫情反彈，某地區開展了連續全員核酸檢測，9月7日，醫院派出13名醫護人員到一個大型小區設置了、兩個采樣點進行核酸采樣，當天共采樣9220份，已知點平均每人采樣720份，點平均每人采樣700份．(1)求、兩點各有多少名醫護人員？(2)9月8日，醫院繼續派出這13名醫護人員前往這個小區進行核酸采樣，這天，社區組織者將附近數個商戶也納入這個小區采樣范圍，同時重新規劃，決定從點抽調部分醫護人員到點經調查發現，點每減少1名醫護人員，人均采樣量增加10份，點人均采樣量不變，最后當天共采樣9360份，求從點抽調了多少名醫護人員到點？6．（2023秋·重慶合川·九年級統考期末）2022年暑期，我區遭遇連續高溫和干旱，一居民小區的部分綠化樹枯死．小區物業管理公司決定補種綠化樹，計劃購買小葉榕和香樟共50棵進行栽種．其中小葉榕每棵680元，香樟每棵1000元，經測算，購買兩種樹共需38800元．(1)原計劃購買小葉榕、香樟各多少棵？(2)實際購買時，經物業管理公司與商家協商，每棵小葉榕和香樟的售價均下降元（），且兩種樹的售價每降低10元，物業管理公司將在原計劃的基礎上多購買小葉榕2棵，香樟1棵．物業管理公司實際購買的費用比原計劃多3600元，求物業管理公司實際購買兩種樹共多少棵？7．（2023春·重慶北碚·八年級西南大學附中校考期中）甲、乙兩工程隊合作完成某修路工程，該工程總長為4800米，原計劃32小時完成．甲工程隊每小時修路里程比乙工程隊的2倍多30米，剛好按時完成任務．(1)求甲工程隊每小時修的路面長度；(2)通過勘察，地下發現大型溶洞，此工程的實際施工里程比最初的4800米多了1000米，在實際施工中，乙工程隊修路效率保持不變的情況下，時間比原計劃增加了()小時；甲工程隊的修路速度比原計劃每小時下降了米，而修路時間比原計劃增加m小時，求m的值．8．（2023·重慶開州·校聯考一模）某工程隊采用A，B兩種設備同時對長度為3600米的公路進行施工改造．原計劃A型設備每小時鋪設路面比B型設備的2倍多30米，則30小時恰好完成改造任務．(1)求A型設備每小時鋪設的路面長度；(2)通過勘察，此工程的實際施工里程比最初的3600米多了750米．在實際施工中，B型設備在鋪路效率不變的情況下，時間比原計劃增加了小時，同時，A型設備的鋪路速度比原計劃每小時下降了3m米，而使用時間增加了m小時，求m的值．9．（2023·江蘇·九年級假期作業）烏克蘭危機發生之后，外交戰線按照黨中央的部署緊急行動，在戰火粉飛中已將5200多名同胞安全從烏克蘭撤離，電影《萬里歸途》正是“外交為民”的真實寫照，如表是該影片票房的部分數據，（注：票房是指截止發布日期的所有售票累計收入）影片《萬里歸途》的部分統計數據發布日期10月8日10月11日10月12日發布次數第1次第2次第3次票房10億元12.1億元(1)平均每次累計票房增長的百分率是多少？(2)在（1）的條件下，若票價每張40元，求10月11日賣出多少張電影票10．（2023秋·貴州安順·九年級統考期末）如圖，在矩形中，，點P從點A沿向點B以的速度移動，同時點Q從點B沿邊向點C以的速度移動．當其中一點達到終點時，另一點也隨之停止．設P，Q兩點移動的時間為，求：(1)當x為何值時，為等腰三角形；(2)當x為何值時，的面積為；(3)當x為何值時，為等腰三角