一、集合與常用邏輯

空集。墨A

子集A=任意xwAnxwB

AC[B=A<^A^BA\JB=B^A^B

1.四種命題

原命題=逆否命題否命題=逆命題

2,充分必要條件：p是q的充分條件P是q的必要條件：P是q的充要條件：

3.復(fù)合命題的真值

①q真(假)O“7”假(真)②p、q同真O“pAq”真③p、q都假O“pVq”假

4.全稱命題、存在性命題的否定

二、函數(shù)概念與性質(zhì)

1.奇偶性

f(x)偶函數(shù)/(-X)=/(x)f(x)圖象關(guān)于y軸對稱

f(x)奇函數(shù)=于(—x)=T(x)=f(x)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱

注：①f(x)有奇偶性二>定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱

②f(x)奇函數(shù)，在x=0有定義二〉f(0)=0

③"奇畸=奇"(公共定義域內(nèi))

2.單調(diào)性

f(x)增函數(shù)：X1<X2-f(xi)<f(x2)或Xi>Xz=>f(X1)>f(x2)

/區(qū))一/區(qū))、n

或----------------

X]—I2

f(x)減函數(shù)：?

注：①判斷單調(diào)性必須考慮定義域

②f(x)單調(diào)性判斷

定義法、圖象法、性質(zhì)法“增+增=增"

③奇函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相同

偶函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相反

3.周期性

r是/(X)周期=/(x+Q=/(工)恒成立(常數(shù)7。0)

4.二次函數(shù)

解析式：f(x)=ax2+bx+c,f(x)=a(x-h)2+k

f(x)=a(x-xi)(x-X2)

_~bh4ac—b2

對稱軸：％一丁頂點(diǎn)：(一工一，--------------)

la2a4a

bb

單調(diào)性：a>0,(-oo,-------------］遞減，［r一『，+8)遞增

2a2a

_-b_4ac-b~

當(dāng)％二丁.f(x).i?=~

2a4a

奇偶性：f(x)=ax"bx+c是偶函數(shù)Vb=0

閉區(qū)間上最值：

配方法、圖象法、討論法--

注意對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系

注：一次函數(shù)f(x)=ax+b奇函數(shù)b=0

三、基本初等函數(shù)

_n1“

am

1.指數(shù)式=I(aW0)~a=

2.對數(shù)式l°gqN=ba=N(a>0,a#=l)

log。MN=log。M+log。N

M

log”7=log。MTog”N

n

iogaM=n\ogaM

1咆/=0=蚣

log,ilg”

log?=log人]二

alogba

注：性質(zhì)log”1=0loga"l=N

常用對數(shù)1gN=log]0NtIg2+lg5=1

自然對數(shù)lnN=logeN,lne=l

定義域、值域、過定點(diǎn)、單調(diào)性？

注：y=a'與y=logaX圖象關(guān)于y=x對稱

(互為反函數(shù))

4.幕函數(shù)y二工2,丁==犬2,丁二工

1.描點(diǎn)法

函數(shù)化簡一定義域一討論性質(zhì)(奇偶、單調(diào))

取特殊點(diǎn)如零點(diǎn)、最值點(diǎn)等

2.圖象變換

平移：“左加右減，上正下負(fù)”

y=/(x)一y=/(1+力)

、，一每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼摹１丁ⅰⅲ?1V、

伸縮：y-J(X)--------------------------->y-J\~X)

s

對稱：“對稱誰，誰不變，對稱原點(diǎn)都要變”

y=/(x)到->y=-/⑴

y=/(x)例-〉y=f(-x)

y=/(x)—->y=-/(-x)

直線x=a

注：y=fM->y=f(2a-x)

翻折：y=/(%)ty=i/(x)?保留x軸上方部分，

并將下方部分沿1軸翻折到上方

y=f(x)y=|f(x)|

y=/(x)7)=/(I%I)保留y軸右邊部分,

并將右邊部分沿/軸翻折到左邊

y=f(|x|)

3.零點(diǎn)定理

若f(a)f(b)<。，則》=/(不)在(。,匕)內(nèi)有零點(diǎn)

(條件：/(%)在匕］上圖象連續(xù)不間斷)

注：①/(%)零點(diǎn)：/(x)=。的實(shí)根

②在上連續(xù)的單調(diào)函數(shù)/(元)，/(。)/(〃)<。

貝"⑸在("，〃)上有且僅有一個零點(diǎn)

③二分法判斷函數(shù)零點(diǎn)一-f(?)/w<o?

五、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

2.導(dǎo)數(shù)公式

(。)'=。(C為常數(shù))

(sinx)=cosx(cosx)=-sinA:

ci(ln%)'=1/%

ItIIIIz*?

(w±V)=U±V.(wv)=WV+wv.(Cw)=Cu.

(、/

〃vCv—wv1'',

3.導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

I

單調(diào)性：如果/⑴則

>0,/(x)為增函數(shù)

如果/(欠)<0,則/(x)為減函數(shù)

極大值點(diǎn)：在X。附近/(X)“左增右減/、”

極小值點(diǎn)：在X。附近/(X)“左減右增、/”注/(%)=。

求極值：f(X)定義域ff(x)f/(X)零點(diǎn)一列表：

X范圍、f(X)符號、/(元)增減、/(X)極值

求［a,b］上最值：f(X)在(a,b)內(nèi)極值與/(a)、/(b)比較

4.三次函數(shù)(利用導(dǎo)數(shù)中圖像的特征、單調(diào)性、極值)

/(%)=ax3+bx2+cx+d/z(%)=3ax2+2bx+c

圖象特征：“\/、”a>0,A>0a<0,A>0

極值情況：△>00/(x)有極值△<0=/(%)無極值

5.定積分

^f(x)dx=尸(。)—尸⑷其中尸(x)=/(%)

定理:

^kf(x)dx=k^f(x)dx&為常數(shù))

性質(zhì):

f/(%)±g(x)dx=ff(x)dx±fg(%)d%

應(yīng)用：

①由直線*=&,x=b,x軸及曲線y=f(x)

(f(x)》O)圍成曲邊梯形面積S-

=]力(x)dx-jf2(x)dx

六、三角函數(shù)

i.概念第二象限角(2%%+5,2%乃+%)(左6Z)

2.弧長/二a'r扇形面積$=5〃

y%y

、幣以sincr=—cosa=-tan6K=—

3-rrx

其中P(x,y)是。終邊上一點(diǎn)，PO-r

4.符號“一正全、二正弦、三正切、四余弦”

5.誘導(dǎo)公式：“奇變偶不變，符號看象限”

如SinQ/r-a)=—sina,cos(zr/2+a)=—sina

6.基本公式

sina

.2?1=tan(X

同角sina+cosa=lcosa

和差sin(a±夕)=sincrcos月±cosasin/3

cos(a±⑶=cosacos萬干sinasin0

tanQ±/?)=tana±tan/?

I+tan6/tan[3

倍角sin2a-2sinacosa

co2a=co《a-sirfa=2co^a-l=l-2sirfa

c2tana

tan2a=------------

1-tana

1+cos2a1—cosla

降募cos2a=2sin2a=?

sina+cosa-V2sin(a+—)

疊加4

石sina-cosa=2sin(a-令

asina+Z?cosa-yla2-\-b~sin(a+o)(tan0=￡)

9.解三角形

基本關(guān)系：sin(A+B)=sinCcos(A+B)=-cosC

.A+BC

tan(A+B)=-tanC，in—-COS—

abc

正弦定理：sinA=sin8=sinC

a=27?sinA4:匕：c=sinA:sinB:sinC

余弦定理：a2=h2+c2-2hccosA(求邊)

12,22

b+c—(2

cosA=2bc(求角)

面積公式：S^=—absinC

2

注：AABC中，A+B+C=？A<B<=>sinA<sin5

兀

a2>b2+c2^ZA>'2

七、數(shù)列

1、等差數(shù)列

定義：an+\.a=d

n通項(xiàng)：an=a\+(〃-Dd

a+c

_〃(為+”")中項(xiàng)：b=~^~

求和：

=nax+—n(n—l)d

性質(zhì)：若加+〃=P+q,則％,+%=%+3

2、等比數(shù)列

定義：常!=式"0)通項(xiàng)：冊=

叫(q=1)

求和：S“=<?w])中項(xiàng)：b2=ac

性質(zhì)：若m+n=p+q則〃加.〃〃一〃P?白q

3、數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系

[s]=〃](72=1)

=<

[%-為一](n>2)

4、數(shù)列求和常用方法

公式法、裂項(xiàng)法、錯位相減法、倒序相加法

八、不等式

1.一元二次不等式解法

若a>0,ax2+bx+c=0有兩實(shí)根a,。(a<夕)，則

ax2+bx+c<0解集(a,0)

ax2+bx+c>0解集(-8,CX)U(4,+8)

注：若。<0,轉(zhuǎn)化為。>0情況

2.其它不等式解法一轉(zhuǎn)化

x<a<^-a<x<a=<a2

x=或x<—a=A:2>a2

f(x)>0c

77T=f(x)g(x)>0

a"">a8(A>o/(x)>g(x)(〃>1)

(f(x)>0

log”fM>1嗎且⑴=,/、，、(。<4<1)

lf(x)<g(x)

3.基本不等式

①。2+b2>2ab

②若a,b￡R+,則3122d

ij/匕、2

注：用均值不等式a+b>2y/ababs?廠

求最值條件是“一正二定三相等”

4.平面區(qū)域與線性規(guī)劃

不等式表示的平面區(qū)域判斷:

①在直線Ax+By+C=°一側(cè)取一個特殊點(diǎn)（/,%）

（通常是原點(diǎn)）

②由你+為。+C的正負(fù)，判斷Ax+gy+C>0表示

直線哪一側(cè)的平面區(qū)域

注：直線同側(cè)所有點(diǎn)的坐標(biāo)代入Ax+By+C,得到實(shí)數(shù)的符號都相同

線性規(guī)劃問題的一般步驟：

①設(shè)所求未知數(shù)；②列約束條件（不等式組）;

③建立目標(biāo)函數(shù)；④作可行域；⑤求最優(yōu)解

x-A-y<-3

例：設(shè)X，y滿足‘3x+5y<25

x>l

求Z=2x+y最值

當(dāng)/過A(5,2)時，z最大，

當(dāng)/過時，Z最小

九、復(fù)數(shù)與推理證明

1.復(fù)數(shù)概念

復(fù)數(shù)：z=a-\-bi(a,beR),實(shí)部a、虛部b

分類：實(shí)數(shù)(〃=0),虛數(shù)(力w0),復(fù)數(shù)集c

注：Z是純虛數(shù)=。=。，。W0

相等：實(shí)、虛部分別相等

共幗z=a-bi模：忖=V?2+b2z?z=z

復(fù)平面：復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)(。,匕)

2.復(fù)數(shù)運(yùn)算

加減：(a+bi)土(c+di)=？

乘法：(a+bi)(c+di)=?

a+bi(Q+bi)(c-di)

除法：c+di=(c+di)(c-di)='"

1?〃-4k+r_?r

乘方：2?2=-I,2=2—I

3.合情推理

類比：特殊推出特殊歸納：特殊推出一般

演繹：一般導(dǎo)出特殊(大前題一小前題一結(jié)論)

4.直接與間接證明

綜合法：由因?qū)Ч?/p>

比較法：作差一變形一判斷一結(jié)論

反證法：反設(shè)一推理一矛盾一結(jié)論

分析法：執(zhí)果索因

分析法書寫格式：

要證A為真，只要證B為真，即證……，

這只要證C為真，而已知C為真，故A必為真

注：常用分析法探索證明途徑，綜合法寫證明過程

5.數(shù)學(xué)歸納法：

(I)驗(yàn)證當(dāng)n=l時命題成立，

(2)假設(shè)當(dāng)n=k(keN*,kNl)時命題成立，

證明當(dāng)n=k+l時命題也成立

由(1)(2)知這命題對所有正整數(shù)n都成立

注：用數(shù)學(xué)歸納法證題時，兩步缺一不可，歸納假設(shè)必須使用

三.算法案例

1、求兩個數(shù)的最大公約數(shù)

輾轉(zhuǎn)相除法：到達(dá)余數(shù)為0

更相減損術(shù)：到達(dá)減數(shù)和差相等

nn1

2、多項(xiàng)式f(x)=anx+anjx'+....+aix+ao的求值

秦九韶算法：vi=anx+an-iv2=vix+an-2

v3=v2x+an3vn=vn-ix+a()

注：遞推公式Vo=anVk=vk-ix+an-k(k=1,2,...n)

求f(x)值，乘法、加法均最多n次

3、進(jìn)位制間的轉(zhuǎn)換

k進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)：

…。]。0(左)=anxk"+an_]xk"'+........+a]xk+a0

十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成k進(jìn)制數(shù)：“除k取余法”

例1輾轉(zhuǎn)相除法求得123和48最大公約數(shù)為3

例2已知f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7,秦九韶算法求f(5)

123=2X48+27v0=2

48=1X27+21Vi=2X5—5=5

27=1X21+6￥2=5X5-4=21

21=3X6+3V3=21X5+3=108

6=2X3+0v4=108X5-6=534

v5=534X5+7=2677

十一、平面向量

1.向量加減三角形法則，平行四邊形法則

AB+BC=AC首尾相接，OB-OC=CB共始點(diǎn)

中點(diǎn)公式：AB+AC=2AD=。是BC中點(diǎn)

—?—?—?—?

2.向量數(shù)量積〃.匕=Q.匕?cos<9=/工2+%乃

--?—?

注：①〃，b夾角：o0^e^180°

f——f一f

令〃Z?日后a，b=a?b

②同向：

a(，02不共線一基底)

3.基本定理=2商+22?2

―?—?—?—?

平行：allb0a=助=%為=4%北

—?―?—?-?

垂直：a_Lb<=>a?b=0=x^2+y]y2=0

模:同=J/+y24+3=（〃+3）2=

—?-?

a-b

夾角：cos6=I-H]?

\a\\b\

注：①。〃4②〃?「?（?）W（。㈤?c（結(jié)合律）不成立

③a，B=a-c=b=C（消去律）不成立

十二、立體幾何

i.三視圖正視圖、側(cè)視圖、俯視圖

，，r

2.直觀圖：斜二測畫法NXOY=45°

平行X軸的線段，保平行和長度

平行丫軸的線段，保平行，長度變原來一半

3.體積與側(cè)面積

Vtt=sah丫惟:生底卜

33

S阱*"/s一兀（R+r）ls_4派2

OM臺側(cè)一\/5球衣一■?"d

4.公理與推論確定一個平面的條件：

①不共線的三點(diǎn)②一條直線和這直線外一點(diǎn)

③兩相交直線④兩平行直線

公理：平行于同一條直線的兩條直線平行

定理：如果兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，

那么這兩個角相等或互補(bǔ)。

5.兩直線位置關(guān)系相交、平行、異面

異面直線——不同在任何一個平面內(nèi)

6.直線和平面位置關(guān)系

qua4alia

7.平行的判定與性質(zhì)

線面平行：

a//b,buagDana“a

ana,au0,0ca=bna〃b

面面平行：

AB//a,AC〃an平面ABC〃a

a//13,aua=a〃/3

8.垂直的判定與性質(zhì)

線面垂直：PJL/?1AC=>p1ffiABC

面面垂直：a-La,au/3=>4_La

如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線,那么這兩個平面垂直；

若兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直

三垂線定理：

PO±a,AOJ_a=>PA_L〃

PO_La,PA_LanAO_La

在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂

直，那么它也和這條斜線垂直

逆定理？

9.空間角、距離的計(jì)算

異面直線所成的角范圍（0°,90°]

平移法：轉(zhuǎn)化到一個三角形中，用余弦定理

直線和平面所成的角范圍[0°,90°]

定義法：找直線在平面內(nèi)射影，轉(zhuǎn)為解三角形

二面角范圍[0°,180°]

定義法：作出二面角的平面角，轉(zhuǎn)為解三角形

點(diǎn)到平面的距離

體積法一用三棱錐體積公式

注：計(jì)算過程，“一作二證三求”，都要寫出

10.立體幾何中的向量解法

法向量求法：設(shè)平面ABC的法向量〃=(x,y)

HlAB,HlAC

—?

解方程組，得一個法向量〃

--?,

線線角：設(shè)"1，孔2是異面直線/］，4的方向向量,

4,4所成的角為°，則cos。=cos<n\,n2>

即/i，,2所成的角等于<%,%>或不一>

線面角:

設(shè)幾是平面a的法向量，AB是平面°的

-條斜線，A3與平面6f所成的角為夕

_____AB?九

sin0=cos<n,AB>=------

則AB-n

二面角：設(shè)々，〃2是面"，用的法向量，二面角—0的大小為6,則

————?

cos0—cos<%>或一cos<n\,n2>

-?--?—--*-

即二面角大小等于<%,八2>或萬—<為，>

點(diǎn)到面距離：

若〃是平面口的法向量，

AB是平面a的一條斜線段，且8e0,

ABTI

則點(diǎn)A到平面a的距離d~

n

十三、直線與圓

1、傾斜角范圍［°，萬）

斜率心.。=濘

注：直線向上方向與x軸正方向所成的最小正角

傾斜角為90°時，斜率不存在

2、直線方程

點(diǎn)斜式y(tǒng)—y（）=左（工一％0）,斜截式y(tǒng)=履+6

y-y,x,y

兩點(diǎn)式2=——x-x.L截距式[+]/

為一片0一七

一般式Ax+By+C=0

注意適用范圍：①不含直線X二

②不含垂直X軸的直線

③不含垂直坐標(biāo)軸和過原點(diǎn)的直線

3、位置關(guān)系（注意條件）

平行h-k?4Wb2

―

垂直kJ?—1垂直=44+B1B2—o

4、距離公式

兩點(diǎn)間距離：|AB|=）（西一%）2+（%一%）2

Ax++C

點(diǎn)到直線距離“二0

VA2+B2

圓標(biāo)準(zhǔn)方程:(x-a)2+(y—Z?)2=r2

5、

圓心（〃，/?），半徑r

圓一般方程：/+y2+Dx++/二°（條件是？）

[DE）JD2+E2-4F

圓心（一-J半徑不=2

6、直線與圓位置關(guān)系

位置關(guān)系相切相交相離

幾何特征d-rd<rd>r

代數(shù)特征

△二0△>0A<0

注：點(diǎn)與圓位置關(guān)系（%—。了+（R）一>丫〉/U>

點(diǎn)尸（工0,％）在圓外

7、直線截圓所得弦長

AB=24—屋

十四、圓錐曲線

一、定義

橢圓：|PF1|+|PF2|=2a（2a>|FiF2|）

雙曲線：|PF1|-iPF2|=±2a（0<2a<|F1F2|）

拋物線：與定點(diǎn)和定直線距離相等的點(diǎn)軌跡

二、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)（如焦點(diǎn)在x軸）

222

xy1x

------1------—1

橢圓4202(a>b>0)雙曲線滔—(a>0,b>0)

中心原點(diǎn)對稱軸？焦點(diǎn)Fi（c,O）、F2（-C,0）

頂點(diǎn)：橢圓（土a,0）,（0,±b）,雙曲線（土a,0）

范圍：橢圓-a^x。,-bVy<b

雙曲線|x|>a,yeR

焦距：橢圓2c（c=7^2-b2）

雙曲線2c（c=7?2+b2）

2a、2b:橢圓長軸、短軸長，

雙曲線實(shí)軸、虛軸長

離心率：e=c/a橢圓0<e<l,雙曲線e>l

注：雙曲線/一》"二i漸近線y=±7工

Ct-L/"

22r\

方程根x+ny=1表示橢圓=zn>0,〃〉0.mW〃

方程mx~+ny2=1表示雙曲線=mn<0

拋物線y?=2px（p>0）頂點(diǎn)（原點(diǎn)）對稱軸（x軸）

p（2-o）r__z

開口（向右）范圍X20離心率e=l焦點(diǎn)1準(zhǔn)線光―一5

十五、計(jì)數(shù)原理

1.計(jì)數(shù)原理加法分類，乘法分步

2.排列組合差異--排列有?序而組合無序

4m，0

公式=〃5-1>-5-加+1)=伽_〃2)!

n{n—l)---(n—m+1)n!

c：=

lx2x---xmm!,(幾一m)l

A；=ml^Cm

關(guān)系:n

性質(zhì)：c+c+J???+《=2〃

3.排列組合應(yīng)用題

原則：分類后分步，先選后排，先特殊后一般

解法：相鄰問題“捆綁法”，不相鄰“插空法”

復(fù)雜問題“排除法”

4.二項(xiàng)式定理

（。+份〃+C/"+管+..fqW+...￡/

特例（1+X）n=1+C：XH---FC[XH---FXn

通項(xiàng)T「+1=G"—'>（廠=。/，2…，n）

注C；-一第廠+1項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)：所有二項(xiàng)式系數(shù)和為2〃中間項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大

賦值法：取％二0,1-1等代入二項(xiàng)式

十六、概率與統(tǒng)計(jì)

1.加法公式：若事件A和8互斥，則

P（A+B）=P（A）+P（B）P（A）=1-P（A）

互斥事件:不可能同時發(fā)生的事件

對立事件:不同時發(fā)生，但必有一個發(fā)生的事件

2.常用抽樣（不放回）

簡單隨機(jī)抽樣：逐個抽取（個數(shù)少）

系統(tǒng)抽樣：總體均分，按規(guī)則抽取（個數(shù)多）分層抽樣：總體分成幾層，各層按比例抽取

（總體差異明顯）

3.用樣本估計(jì)總體

眾數(shù)：出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)

中位數(shù)：按從小到大，處在中間的一個數(shù)據(jù)

（或中間兩個數(shù)的平均數(shù)）

-J?1"_

平均數(shù)：*=方差S?二二E（七一工）標(biāo)準(zhǔn)差S

nz=lni=[

4.頻率分布直方圖

頻率

小長方形面積=組距X組是叵=頻率

各小長方形面積之和為1

眾數(shù)一最高矩形中點(diǎn)的橫坐標(biāo)

中位數(shù)一垂直于X軸且平分直方圖面積的直線與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

莖葉圖：由莖葉圖可得到所有的數(shù)據(jù)信息如

眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)等

十七、隨機(jī)變量的概率分布

1.條件概率

P（BlA）-也也皿

A發(fā)生條件下B發(fā)生：'?7或孔（A）

2.獨(dú)立事件的概率

A、B同時發(fā)生：P（AB）=P（A）'P（B）

一般：P（AB）=P（A）P（B\A）

若A與B獨(dú)立，則A與石、X與否也相互獨(dú)立

3.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率

一次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率是P,幾次獨(dú)立

重復(fù)這試驗(yàn)，事件A恰好發(fā):生左次:

做二。尸（1一尸尸

4.離散型隨機(jī)變量的概耳西分布：

???A>0

性質(zhì)XIX2Xn

???

PP1P2PnP]+〃2+…+P“=1

5.離散型隨機(jī)變量的期望與方差

定義：

E(X)=X]P|+%2P2+...+%〃〃〃(平均值)

"X)=e—EIX)]2”[+E—仇X)]2〃2+…+以—仇㈤]2〃”

性質(zhì)：

+/?)=aE^+bD(a<^+b)=a~D^

6.常用分布

兩點(diǎn)分布E(X)=p,O(X)=p(l—P)

二項(xiàng)分布8(〃，P)：E(X)=up,D(X)=np(1-P)

P(X=k)=C^pkqn-k

超幾何分布：

jn/yx_“MM/?M.N—n

()MD(X)=〃.不P(X=g

1人呼

7.正態(tài)分布密度函數(shù)/（%）=gme2〃，％e（_oo,+oo）

性質(zhì)：曲線在x軸上方、關(guān)于X=4對稱，曲線與X軸圍成面積為1

變量在區(qū)間（〃力）內(nèi)取值的概率等于

密度曲線與X軸、直線x=a、x=b

所圍成曲邊梯形的面積

a

圖中陰影部分面積

表示概率

8.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(O,1)：

E(X)=O,Z)(X)=1

尸(X<。)=。(〃)可查表

P(a<X<b)=忡)一蜘)

〃<0,0⑷=1一°(一〃)〃=0,0(0)=0.5

正態(tài)分布NQ/”2)：

E(X)=jU,D(X)=a2

尸(乂<。)=/(。)=。("幺)

(T

P(a<X<b)=F(b)-F(a)

P(X>a)=l-P(X<a)

福中敢學(xué)知?dú)J點(diǎn)總儲

1.對于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“確定性、互異性、無

序性二

如：集合A={xly=Igx},B={yly=Igx},C={(x,y)ly=Igx},A、B、C

中元素各表示什么？

2.進(jìn)行集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算時，不要忘記集合本身和空集0的特殊情況。

注重借助于數(shù)軸和文氏圖解集合問題。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

如：集合A={xlx?-2x-3=。},B={xlax=1}

若BuA,則實(shí)數(shù)a的值構(gòu)成的集合為

（答:（-1，0,I}）

3.注意下列性質(zhì)：

（1）集合{a1,a?,....,aj的所有子集的個數(shù)是2"；

（2）若AGB=AP|B=A,AUB=B；

（3）德摩根定律：

「（AIIB）=（CuA）n（CuB）,Cu（ADB）=（C.AjUfC.B）

4.你會用補(bǔ)集思想解決問題嗎？（排除法、間接法）

如：已知關(guān)于X的不等式學(xué)蘭<0的解集為M,若3eM且5任M,求實(shí)數(shù)a

x-a

的取值范圍。

a?3—5

（V3eM,J32\°

=>ae1,|jU（9,25））

a?5—5

V5^M,???「---->0

52-a

5.可以判斷真假的語句叫做命題，邏輯連接詞有“或”（v）,“且”（A）和

“非”㈠.

若pAq為真，當(dāng)且僅當(dāng)p、q均為真

若pvq為真，當(dāng)且僅當(dāng)p、q至少有一個為真

若「p為真，當(dāng)且僅當(dāng)p為假

6.命題的四種形式及其相互關(guān)系是什么？

（互為逆否關(guān)系的命題是等價命題。）

原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假。

7.對映射的概念了解嗎？映射f：A-B,是否注意到A中元素的任意性和B

中與之對應(yīng)元素的唯一性，哪兒種對應(yīng)能構(gòu)成映射？

(一對一，多對一，允許B中有元素?zé)o原象。)

8.函數(shù)的三要素是什么？如何比較兩個函數(shù)是否相同？

(定義域、對應(yīng)法則、值域)

9.求函數(shù)的定義域有哪些常見類型？

例：函數(shù)丫=四』的定義域是

lg(x-3)

(答：(0,2)U(2,3)U(3,4))

10.如何求復(fù)合函數(shù)的定義域？

如：函數(shù)f(x)的定義域是[a,b],b>-a>0,則函數(shù)F(x)=f(x)+f(—x)的定

義域是o

(答：[a,-a])

11.求一個函數(shù)的解析式或一個函數(shù)的反函數(shù)時，注明函數(shù)的定義域了嗎?

如：f(Jx+1)=e*+x,求f(x).

令1=Jx+1,貝UtNO

...x=t--1

.,.f(t)=e,2-1+t2-l

**.f(x)=ex2_|+x2-1(x>0)

12.反函數(shù)存在的條件是什么？

(---對應(yīng)函數(shù))

求反函數(shù)的步驟掌握了嗎？

(①反解x；②互換x、y；③注明定義域)

14-X(X>0)

如：求函數(shù)f(x)=,)的反函數(shù)

-x2(X<0)

X-1(x>l))

(答:L(X)=<

-V-x(x<。)

13.反函數(shù)的性質(zhì)有哪些?

①互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱;

②保存了原來函數(shù)的單調(diào)性、奇函數(shù)性；

③設(shè)y=f(x)的定義域?yàn)锳,值域?yàn)镃,aeA,beC,則f(a)=b=L(b)=a

/.f-1[f(a)]=—(b)=a,f[f'(b)]=f(a)=b

14.如何用定義證明函數(shù)的單調(diào)性？

(取值、作差、判正負(fù))

如何判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性？

(y=f(u),u=(p(x),^Jy=f[(p(x)]

(外層)(內(nèi)層)

當(dāng)內(nèi)、外層函數(shù)單調(diào)性相同時f[(p(x)]為增函數(shù)，否則為減函數(shù)。)

如：求y=log,(-x2+2x)的單調(diào)區(qū)間

2

(設(shè)u=-x2+2x,由u>0則0<x<2

且u=-(x-l)2+1,如圖：

當(dāng)xw(0,1]時，uT,又Ay

2

當(dāng)XE[1,2)時，uJ,又log]uJ,AyT

15.如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性?

在區(qū)間(a,b)內(nèi)，若總有”x)20則f(x)為增函數(shù)。(在個別點(diǎn)上導(dǎo)數(shù)等于

零，不影響函數(shù)的單調(diào)性)，反之也對，若f，(x)WO呢？

如：已知a>0,函數(shù)f(x)=-ax在［1,+8)上是單調(diào)增函數(shù)，則a的最大

值是()

A.OB.1C.2D.3

則XW一A或X>4

由已知f(已在［1,+8)上為增函數(shù),貝哈VI，即aW3

二.a的最大值為3)

16.函數(shù)f(x)具有奇偶性的必要(非充分)條件是什么？

(f(x)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱)

若f(-x)=-f(x)總成立of(x)為奇函數(shù)O函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱

若f(-x)=f(x)總成立of(x)為偶函數(shù)=函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱

注意如下結(jié)論：

(1)在公共定義域內(nèi)：兩個奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；兩個偶函數(shù)的乘積是

偶函數(shù)；一個偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)。

(2)若f(x)是奇函數(shù)且定義域中有原點(diǎn)，則f(0)=0。

如：若=為奇函數(shù)’則實(shí)數(shù)a

(：f(x)為奇函數(shù)，xeR,又OeR,Af(0)=0

a?20+a—2.八

H即I1----------=0,..a=1)

2°+1

又如:f(x)為定義在(-1,1)上的奇函數(shù),當(dāng)X€(0,1)時，f(x)=-------,

4+1

求f(x)在(-1,1)上的解析式。

2f

(令X￡(—1,0),則一xw(0,1),f(-x)=—~-

又f(x)為奇函數(shù)，，f(x)==一一J

4-x+11+4、

2Xxe(-l,0)

▽4、+lX=0、

乂f(0)—0f??f(x)—〈)

------XG(0,1)

14'+1v'

17.你熟悉周期函數(shù)的定義嗎？

(若存在實(shí)數(shù)T(T/0),在定義域內(nèi)總有f(x+T)=f(x),則f(x)為周期

函數(shù)，T是一個周期。)

如：若f(x+a)=-f(x),則

(答：f(x)是周期函數(shù),T=2a為f(x)的一個周期)

又如：若f(x)圖象有兩條對稱軸x=a,x=b(=)

即f(a+x)=f(a-x),f(b+x)=f(b-x)

則f(x)是周期函數(shù)，2|a-b|為一個周期

如：

18.你掌握常用的圖象變換了嗎?

f(x)與f(-X)的圖象關(guān)于例_對稱

f(x)與-f(x)的圖象關(guān)于X軸對稱

f(x)與-f(-x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱

f(x)與fT(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱

f(x)與f(2a-x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱

f(x)與-f(2a-x)的圖