2025屆廣西柳州市融水中學數學高二上期末學業水平測試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．一條直線過原點和點，則這條直線的傾斜角是（）A. B.C. D.2．已知集合，則（）A. B.C. D.3．函數的導函數為，對任意，都有成立，若，則滿足不等式的的取值范圍是（）A. B.C. D.4．已知三維數組，，且，則實數（）A.-2 B.-9C. D.25．方程表示的圖形是A.兩個半圓 B.兩個圓C.圓 D.半圓6．命題“，使”的否定是（）A.，有 B.，有C.，使 D.，使7．已知直線和互相垂直，則實數的值為（）A. B.C.或 D.8．已知，若與的展開式中的常數項相等，則（）A.1 B.3C.6 D.99．設等差數列，的前n項和分別是，若，則（）A. B.C. D.10．在的展開式中，只有第4項的二項式系數最大，則（）A.5 B.6C.7 D.811．若，則x的值為（）A.4 B.6C.4或6 D.812．在數列中，若，則稱為“等方差數列”，下列對“等方差數列”的判斷，其中不正確的為（）A.若是等方差數列，則是等差數列 B.若是等方差數列，則是等方差數列C.是等方差數列 D.若是等方差數列，則是等方差數列二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在某項測量中，測量結果ξ服從正態分布（），若ξ在內取值的概率為0.4，則ξ在內取值的概率為______14．滕王閣，江南三大名樓之一，因初唐詩人王勃所作《滕王閣序》中的“落霞與孤鶩齊飛，秋水共長天一色”而名傳千古，流芳后世.如圖，在滕王閣旁地面上共線的三點，，處測得閣頂端點的仰角分別為，，.且米，則滕王閣高度___________米.15．某商場對華為手機近28天的日銷售情況進行統計，得到如下數據，t36811ym357利用最小二乘法得到日銷售量y（百部）與時間t（天）的線性回歸方程為，則表格中的數據___________.16．若平面內兩定點A，B間的距離為2，動點P滿足，則的最小值為_________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）籃天技校為了了解車床班學生的操作能力，設計了一個考查方案；每個考生從道備選題中一次性隨機抽取道題，按照題目要求獨立完成零件加工，規定：至少正確加工完成其中個零件方可通過．道備選題中，考生甲有個零件能正確加工完成，個零件不能完成；考生乙每個零件正確完成的概率都是，且每個零件正確加工完成與否互不影響（1）分別求甲、乙兩位考生正確加工完成零件數的概率分布列（列出分布列表）；（2）試從甲、乙兩位考生正確加工完成零件數的數學期望及兩人通過考查的概率分析比較兩位考生的操作能力18．（12分）球形物體天然萌，某食品廠沿襲老字號傳統，獨家制造并使用球形玻璃瓶用于售賣酸梅湯，其中瓶子的制造成本c（分）與瓶子的半徑r（cm）的平方成正比，且當cm時，制造成本c為3.2π分，已知每出售1mL的酸梅湯，可獲得0.2分，且制作的瓶子的最大半徑為6cm（1）寫出每瓶酸梅湯的利潤y與r的關系式（提示：）；（2）瓶子半徑多大時，每瓶酸梅湯的利潤最大，最大為多少？（結果用含π的式子表示）19．（12分）設，為雙曲線：（，）的左、右頂點，直線過右焦點且與雙曲線的右支交于，兩點，當直線垂直于軸時，△為等腰直角三角形（1）求雙曲線的離心率；（2）若雙曲線左支上任意一點到右焦點點距離的最小值為3，①求雙曲線方程；②已知直線，分別交直線于，兩點，當直線傾斜角變化時，以為直徑的圓是否過軸上的定點，若過定點，求出定點的坐標；若不過定點，請說明理由20．（12分）已知為數列的前項和，且（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列的前項和（3）設，若不等式對一切恒成立，求實數取值范圍21．（12分）已知橢圓的焦距為，離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）若斜率為1的直線與橢圓交于不同的兩點，，求的最大值.22．（10分）如圖，在三棱錐中，平面平面，且，（1）求證：；（2）求直線與所成角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】求出直線的斜率，結合傾斜角的取值范圍可求得所求直線的傾斜角.【詳解】設這條件直線的傾斜角為，則，，因此，.故選：C.2、B【解析】先求得集合A，再根據集合的交集運算可得選項.【詳解】解：因為，所以故選：B.3、C【解析】構造函數，利用導數分析函數的單調性，將所求不等式變形為，結合函數的單調性即可得解.【詳解】對任意，都有成立，即令，則，所以函數上單調遞增不等式即，即因為，所以所以，，解得，所以不等式的解集為故選：C.4、D【解析】由空間向量的數量積運算即可求解【詳解】∵，，，，，，且，∴，解得故選：D5、D【解析】其中，再兩邊同時平方，由此確定圖形【詳解】根據題意，，再兩邊同時平方，由此確定圖形為半圓.故選：D【點睛】幾何圖像中要注意與方程式是一一對應，故方程的中未知數的的取值范圍對應到圖形中的坐標的取值范圍6、B【解析】根據特稱命題的否定是全稱命題即可得正確答案【詳解】存在量詞命題的否定，只需把存在量詞改成全稱量詞，并把后面的結論否定，所以“，使”的否定為“，有”，故選：B.7、B【解析】由兩直線垂直可得出關于實數的等式，求解即可.【詳解】由已知可得，解得.故選：B.8、B【解析】根據二項展開式的通項公式即可求出【詳解】的展開式中的常數項為，而的展開式中的常數項為，所以，又，所以故選：B9、C【解析】結合等差數列前項和公式求得正確答案.【詳解】依題意等差數列，的前n項和分別是，由于，故可設，，當時，，，所以，所以.故選：C10、B【解析】當n為偶數時，展開式中第項二項式系數最大，當n為奇數時，展開式中第和項二項式系數最大.【詳解】因為只有一項二項式系數最大，所以n為偶數，故，得.故選：B11、C【解析】根據組合數的性質可求解.【詳解】,或，即或.故選：C12、B【解析】根據等方差數列的定義逐一進行判斷即可【詳解】選項A中，符合等差數列的定義，所以是等差數列，A正確；選項B中，不是常數，所以不是等方差數列，選項B錯誤；選項C中，，所以是等方差數列，C正確；選項D中，所以是等方差數列，D正確故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4##【解析】根據正態分布曲線的對稱性求解【詳解】因為ξ服從正態分布（），即正態分布曲線的對稱軸為，根據正態分布曲線的對稱性，可知ξ在與取值的概率相同，所以ξ在內取值的概率為0.4.故答案為：0.414、【解析】設，由邊角關系可得，，，在和中，利用余弦定理列方程，結合可解得的值，進而可得長.【詳解】設，因為，，，所以，，，.在中，，即①.，在中，，即②，因為，所以①②兩式相加可得：，解得：，則，故答案為：.15、1【解析】根據已知條件，求出，的平均值，再結合線性回歸方程過樣本中心，即可求解【詳解】解：由表中數據可得，，，線性回歸方程為，，解得故答案為：116、【解析】建立直角坐標系，設出P的坐標，求出軌跡方程，然后推出的表達式，轉化求解最小值即可.【詳解】以經過A，B的直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標系.則設，由，則，所以兩邊平方并整理得，所以P點的軌跡是以(3，0)為圓心，為半徑的圓，所以，，則有，則的最小值為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）分布列見解析（2）甲的試驗操作能力較強，理由見解析【解析】（1）設考生甲、乙正確加工完成零件的個數分別為、，則的可能取值有、、，的可能取值有、、、，且，計算出兩個隨機變量在不同取值下的概率，可得出這兩個隨機變量的概率分布列；（2）計算出、、、的值，比較、的大小，以及、的大小，由此可得出結論.【小問1詳解】解：設考生甲、乙正確加工完成零件的個數分別為、，則的可能取值有、、，的可能取值有、、、，且，，，，所以，考生甲正確加工完成零件數的概率分布列如下表所示：，，，，所以，考生乙正確加工完成零件數的概率分布列如下表所示：【小問2詳解】解：，，，，所以，，從做對題的數學期望分析，兩人水平相當；從通過考查的概率分析，甲通過的可能性大，因此可以判斷甲的試驗操作能力較強.18、（1），（2）當時，每瓶酸梅湯的利潤最大，最大利潤為28.8π【解析】（1）直接由條件寫出關系式即可；（2）直接求導確定單調性后，求出最大值即可.【小問1詳解】設瓶子的制造成本c與瓶子的半徑r的平方成正比的比例系數等于k，則瓶子的制造成本，由題意，當時，∴，即瓶子的制造成本∴每瓶酸梅湯的利潤是，∴每瓶酸梅湯的利潤關于r的函數關系式為：，【小問2詳解】由（1）知，則，令，則，當時，；當時，∴函數在上單調遞減，在上單調遞增，∴當時，每瓶酸梅湯的利潤最大，最大利潤為28.8π.19、（1）；（2）①；②定點有兩個，【解析】（1）由雙曲線方程有、、，根據已知條件有，即可求離心率.（2）①由題設有，結合（1）求雙曲線參數，寫出雙曲線方程即可；②由題設可設為，，，聯立雙曲線方程結合韋達定理求，，，，再由、的方程求，坐標，若在為直徑的圓上點，由結合向量垂直的坐標表示列方程，進而求出定點坐標.【小問1詳解】由題設，若，且，又△為等腰直角三角形，∴，即，則又，可得.【小問2詳解】由題設，，由（1）有，則，即，①由上可知：雙曲線方程為.②由①知：，且直線的斜率不為0，設為，，，聯立直線與雙曲線得：，∴，，則，∴，∴直線為；直線為；∴，，若在為直徑的圓上點，∴，且，∴，令，則，∴，即，∴或，即過定點.【點睛】關鍵點點睛：第二問的②，設直線為，聯立直線與雙曲線，應用韋達定理求，，，，進而根據、的方程求，坐標，再由圓的性質及向量垂直的坐標表示求定點坐標.20、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）利用的關系，根據等比數列的定義求通項公式.（2）由（1）可得，應用裂項相消法求.（3）應用錯位相減法求得，由題設有，討論為奇數、偶數求的取值范圍【小問1詳解】當時，，可得，當時，，可得，∴是首項、公比都為的等比數列，故.【小問2詳解】由（1），，∴.【小問3詳解】由題設，，∴，則，∴，由對一切恒成立，令，則，∴數列單調遞減，∴當為奇數，恒成立且在上遞減，則，當為偶數，恒成立且在上遞增，則，綜上，.21、（1）；（2）.【解析】（1）由題設可得且，結合橢圓參數關系求，即可得橢圓的方程；（2）設直線為，聯立拋物線整理成一元二次方程的形式，由求m的范圍，再應用韋達定理及弦長公式求關于m的表達式，根據二次函數性質求最值即可.小問1詳解】由題設，且，故，，則，所以橢圓的方程為.【小問2詳解】設直線為，聯立橢圓并整理得：，所以，