2024屆廣東省深圳市實驗學校高三下學期4月份高考模擬訓練（一）數學試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在中，，，，若，則實數()A． B． C． D．2．已知若（1-ai）(3+2i)為純虛數，則a的值為（）A． B． C． D．3．已知雙曲線的左焦點為，直線經過點且與雙曲線的一條漸近線垂直，直線與雙曲線的左支交于不同的兩點，，若，則該雙曲線的離心率為（）．A． B． C． D．4．已知定義在R上的函數（m為實數）為偶函數，記，，則a，b，c的大小關系為()A． B． C． D．5．已知點，是函數的函數圖像上的任意兩點，且在點處的切線與直線AB平行，則()A．，b為任意非零實數 B．，a為任意非零實數C．a、b均為任意實數 D．不存在滿足條件的實數a，b6．已知函數是定義在上的偶函數，且在上單調遞增，則（）A． B．C． D．7．已知直線與圓有公共點，則的最大值為（）A．4 B． C． D．8．在各項均為正數的等比數列中，若，則（）A． B．6 C．4 D．59．2019年某校迎國慶70周年歌詠比賽中，甲乙兩個合唱隊每場比賽得分的莖葉圖如圖所示（以十位數字為莖，個位數字為葉）.若甲隊得分的中位數是86，乙隊得分的平均數是88，則（）A．170 B．10 C．172 D．1210．為比較甲、乙兩名高中學生的數學素養，對課程標準中規定的數學六大素養進行指標測驗（指標值滿分為100分，分值高者為優），根據測驗情況繪制了如圖所示的六大素養指標雷達圖，則下面敘述不正確的是（）A．甲的數據分析素養優于乙 B．乙的數據分析素養優于數學建模素養C．甲的六大素養整體水平優于乙 D．甲的六大素養中數學運算最強11．根據散點圖，對兩個具有非線性關系的相關變量x，y進行回歸分析，設u=lny，v=(x-4)2，利用最小二乘法，得到線性回歸方程為=0.5v+2，則變量y的最大值的估計值是（）A．e B．e2 C．ln2 D．2ln212．把函數的圖象向右平移個單位，得到函數的圖象．給出下列四個命題①的值域為②的一個對稱軸是③的一個對稱中心是④存在兩條互相垂直的切線其中正確的命題個數是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓的左、右焦點分別為、，過橢圓的右焦點作一條直線交橢圓于點、.則內切圓面積的最大值是_________.14．設為拋物線的焦點，為上互相不重合的三點，且、、成等差數列，若線段的垂直平分線與軸交于，則的坐標為_______.15．若函數的圖像與直線的三個相鄰交點的橫坐標分別是,,,則實數的值為________．16．在中，內角的對邊分別為，已知，則的面積為___________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數列中，a1=1，其前n項和為，且滿足．（1）求數列的通項公式；（2）記，若數列為遞增數列，求λ的取值范圍．18．（12分）已知等差數列滿足，.（l）求等差數列的通項公式；（2）設，求數列的前項和.19．（12分）為了拓展城市的旅游業，實現不同市區間的物資交流，政府決定在市與市之間建一條直達公路，中間設有至少8個的偶數個十字路口，記為，現規劃在每個路口處種植一顆楊樹或者木棉樹，且種植每種樹木的概率均為.（1）現征求兩市居民的種植意見，看看哪一種植物更受歡迎，得到的數據如下所示：A市居民B市居民喜歡楊樹300200喜歡木棉樹250250是否有的把握認為喜歡樹木的種類與居民所在的城市具有相關性；（2）若從所有的路口中隨機抽取4個路口，恰有個路口種植楊樹，求的分布列以及數學期望；（3）在所有的路口種植完成后，選取3個種植同一種樹的路口，記總的選取方法數為，求證：.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82820．（12分）設數列，其前項和，又單調遞增的等比數列，，.(Ⅰ)求數列，的通項公式；(Ⅱ)若，求數列的前n項和，并求證：.21．（12分）已知如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D為AC中點，AEBD于E，延長AE交BC于F，將△ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，如圖2所示。（Ⅰ）求證：AE平面BCD；（Ⅱ）求二面角A-DC-B的余弦值；（Ⅲ）求三棱錐B-AEF與四棱錐A-FEDC的體積的比（只需寫出結果，不要求過程）．22．（10分）已知函數，，（1）討論的單調性；（2）若在定義域內有且僅有一個零點，且此時恒成立，求實數m的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

將、用、表示，再代入中計算即可.【詳解】由，知為的重心，所以，又，所以，，所以，.故選：D【點睛】本題考查平面向量基本定理的應用，涉及到向量的線性運算，是一道中檔題.2、A【解析】

根據復數的乘法運算法則化簡可得，根據純虛數的概念可得結果.【詳解】由題可知原式為，該復數為純虛數，所以.故選：A【點睛】本題考查復數的運算和復數的分類，屬基礎題.3、A【解析】

直線的方程為，令和雙曲線方程聯立，再由得到兩交點坐標縱坐標關系進行求解即可.【詳解】由題意可知直線的方程為,不妨設.則，且將代入雙曲線方程中，得到設則由，可得，故則，解得則所以雙曲線離心率故選：A【點睛】此題考查雙曲線和直線相交問題，聯立直線和雙曲線方程得到兩交點坐標關系和已知條件即可求解，屬于一般性題目.4、B【解析】

根據f（x）為偶函數便可求出m＝0，從而f（x）＝﹣1，根據此函數的奇偶性與單調性即可作出判斷.【詳解】解：∵f（x）為偶函數；∴f（﹣x）＝f（x）；∴﹣1＝﹣1；∴|﹣x﹣m|＝|x﹣m|；（﹣x﹣m）2＝（x﹣m）2；∴mx＝0；∴m＝0；∴f（x）＝﹣1；∴f（x）在[0，+∞）上單調遞增，并且a＝f（||）＝f（），b＝f（），c＝f（2）；∵0＜＜2＜；∴a<c<b．故選B．【點睛】本題考查偶函數的定義，指數函數的單調性，對于偶函數比較函數值大小的方法就是將自變量的值變到區間[0，+∞）上，根據單調性去比較函數值大小．5、A【解析】

求得的導函數，結合兩點斜率公式和兩直線平行的條件：斜率相等，化簡可得，為任意非零實數.【詳解】依題意，在點處的切線與直線AB平行，即有，所以，由于對任意上式都成立，可得，為非零實數.故選：A【點睛】本題考查導數的運用，求切線的斜率，考查兩點的斜率公式，以及化簡運算能力，屬于中檔題．6、C【解析】

根據題意，由函數的奇偶性可得，，又由，結合函數的單調性分析可得答案．【詳解】根據題意，函數是定義在上的偶函數，則，，有，又由在上單調遞增，則有，故選C.【點睛】本題主要考查函數的奇偶性與單調性的綜合應用，注意函數奇偶性的應用，屬于基礎題．7、C【解析】

根據表示圓和直線與圓有公共點，得到，再利用二次函數的性質求解.【詳解】因為表示圓，所以，解得，因為直線與圓有公共點，所以圓心到直線的距離，即，解得，此時，因為，在遞增，所以的最大值.故選：C【點睛】本題主要考查圓的方程，直線與圓的位置關系以及二次函數的性質，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.8、D【解析】

由對數運算法則和等比數列的性質計算．【詳解】由題意．故選：D．【點睛】本題考查等比數列的性質，考查對數的運算法則．掌握等比數列的性質是解題關鍵．9、D【解析】

中位數指一串數據按從小（大）到大（小）排列后，處在最中間的那個數，平均數指一串數據的算術平均數.【詳解】由莖葉圖知，甲的中位數為，故；乙的平均數為，解得，所以.故選：D.【點睛】本題考查莖葉圖的應用，涉及到中位數、平均數的知識，是一道容易題.10、D【解析】

根據所給的雷達圖逐個選項分析即可.【詳解】對于A，甲的數據分析素養為100分，乙的數據分析素養為80分，故甲的數據分析素養優于乙，故A正確；對于B，乙的數據分析素養為80分，數學建模素養為60分，故乙的數據分析素養優于數學建模素養，故B正確；對于C，甲的六大素養整體水平平均得分為，乙的六大素養整體水平均得分為，故C正確；對于D，甲的六大素養中數學運算為80分，不是最強的，故D錯誤；故選：D【點睛】本題考查了樣本數據的特征、平均數的計算，考查了學生的數據處理能力，屬于基礎題.11、B【解析】

將u=lny，v=(x-4)2代入線性回歸方程=-0.5v+2，利用指數函數和二次函數的性質可得最大估計值.【詳解】解：將u=lny，v=(x4)2代入線性回歸方程=0.5v+2得：，即，當時，取到最大值2，因為在上單調遞增，則取到最大值.故選：B.【點睛】本題考查了非線性相關的二次擬合問題，考查復合型指數函數的最值，是基礎題,.12、C【解析】

由圖象變換的原則可得,由可求得值域；利用代入檢驗法判斷②③；對求導,并得到導函數的值域,即可判斷④.【詳解】由題,,則向右平移個單位可得,,的值域為,①錯誤；當時,,所以是函數的一條對稱軸,②正確；當時,,所以的一個對稱中心是,③正確；,則,使得,則在和處的切線互相垂直,④正確.即②③④正確,共3個.故選:C【點睛】本題考查三角函數的圖像變換,考查代入檢驗法判斷余弦型函數的對稱軸和對稱中心,考查導函數的幾何意義的應用.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】令直線：，與橢圓方程聯立消去得，可設，則，．可知，又，故．三角形周長與三角形內切圓的半徑的積是三角形面積的二倍，則內切圓半徑，其面積最大值為．故本題應填．點睛：圓錐曲線中最值與范圍的求法有兩種：(１)幾何法：若題目的條件和結論能明顯體現幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質來解決，這就是幾何法．(２)代數法：若題目的條件和結論能體現一種明確的函數，則可首先建立起目標函數，再求這個函數的最值，求函數最值的常用方法有配方法，判別式法，重要不等式及函數的單調性法等．14、或【解析】

設出三點的坐標，結合等差數列的性質、線段垂直平分線的性質、拋物線的定義進行求解即可.【詳解】拋物線的準線方程為：，設，由拋物線的定義可知：，，，因為、、成等差數列，所以有，所以，因為線段的垂直平分線與軸交于，所以，因此有，化簡整理得：或.若，由可知；，這與已知矛盾，故舍去；若，所以有，因此.故答案為：或【點睛】本題考查了拋物線的定義的應用，考查了等差數列的性質，考查了數學運算能力.15、4【解析】

由題可分析函數與的三個相鄰交點中不相鄰的兩個交點距離為,即,進而求解即可【詳解】由題意得函數的最小正周期,解得故答案為：4【點睛】本題考查正弦型函數周期的應用,考查求正弦型函數中的16、【解析】

由余弦定理先算出c，再利用面積公式計算即可.【詳解】由余弦定理，得，即，解得，故的面積.故答案為：【點睛】本題考查利用余弦定理求解三角形的面積，考查學生的計算能力，是一道基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）項和轉換可得，繼而得到，可得解；（2）代入可得，由數列為遞增數列可得，，令，可證明為遞增數列，即，即得解【詳解】（1）∵，∴，∴，即，∴，∴，∴．（2）．=2·-λ（2n+1）．∵數列為遞增數列，∴，即．令，即．∴為遞增數列，∴，即的取值范圍為．【點睛】本題考查了數列綜合問題，考查了項和轉換，數列的單調性，最值等知識點，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于較難題.18、(1)；(2).【解析】試題分析：（1）設等差數列滿的首項為，公差為，代入兩等式可解。（2）由（1），代入得，所以通過裂項求和可求得。試題解析：（1）設等差數列的公差為，則由題意可得，解得.所以.（2）因為，所以.所以.19、（1）沒有（2）分布列見解析，（3）證明見解析【解析】

（1）根據公式計算卡方值，再對應卡值表判斷..（2）根據題意，隨機變量的可能取值為0，1，2，3，4，分別求得概率，寫出分布列，根據期望公式求值.（3）因為至少8個的偶數個十字路口，所以，即.要證，即證，根據組合數公式，即證；易知有.成立.設個路口中有個路口種植楊樹，下面分類討論①當時，由論證.②當時，由論證.③當時，，設，再論證當時，取得最小值即可.【詳解】（1）本次實驗中，，故沒有99.9%的把握認為喜歡樹木的種類與居民所在的城市具有相關性.（2）依題意，的可能取值為0，1，2，3，4，故，，01234故.（3）∵，∴.要證，即證；首先證明：對任意，有.證明：因為，所以.設個路口中有個路口種植楊樹，①當時，，因為，所以，于是.②當時，，同上可得③當時，，設，當時，，顯然，當即時，，當即時，，即；，因此，即.綜上，，即.【點睛】本題考查獨立性檢驗、離散型隨機變量的分布列以及期望、排列組合，還考查運算求解能力以及必然與或然思想，屬于難題.20、（1），；（2）詳見解析.【解析】

（1）當時，，當時，，當時，也滿足，∴，∵等比數列，∴，∴，又∵，∴或（舍去），∴；（2）由（1）可得：，∴，顯然數列是遞增數列，∴，即.）21、（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）1:5【解析】

（Ⅰ）由平面ABD⊥平面BCD，交線為BD，AE⊥BD于E，能證明AE⊥平面BCD;（Ⅱ）以E為坐標原點，分別以EF、ED、EA所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系E-xyz，利用向量法求出二面角A-DC-B的余弦值;（Ⅲ）利用體積公式分別求出三棱錐B-AEF與四棱錐A-FEDC的體積，再作比寫出答案即可．【詳解】（Ⅰ）證明：∵平面ABD⊥平面BCD，交線為BD，又在△ABD中，AE⊥BD于E，AE?平面ABD，∴AE⊥平面BCD．（Ⅱ）由（1）知AE